Нецентральное распределение хи-квадрат

Определение

Существует много эквивалентных формул для нецентральной функции распределения хи-квадрат. Одна формулировка использует измененную Функцию Бесселя первого вида. Другой использует обобщенные полиномы Лагерра. Кумулятивная функция распределения вычисляется с помощью взвешенной суммы χ ² вероятности с весами, равными вероятностям распределения Пуассона. Параметр Пуассона является половиной параметра нецентрированности нецентрального хи-квадрата

$F (x | ν, δ) = \sum_{j = 0}^{\infty} (\frac{{(\frac{}{12} δ)}^{j}}{j!} e^{\frac{- δ}{2}}) PR [χ_{ν + 2 j}^{2} \leq x]$

где δ является параметром нецентрированности.

Фон

χ ² распределения является на самом деле простым особым случаем нецентрального распределения хи-квадрат. Один способ сгенерировать случайные числа с χ ² распределения (с ν степенями свободы) состоит в том, чтобы суммировать квадраты ν стандартных нормальных случайных чисел (равное нулю среднее значение.)

Что, если нормально распределенные количества имеют среднее значение кроме нуля? Сумма квадратов этих чисел приводит к нецентральному распределению хи-квадрат. Нецентральное распределение хи-квадрат требует двух параметров: степени свободы и параметр нецентрированности. Параметр нецентрированности является суммой средних значений в квадрате нормально распределенных количеств.

Нецентральный хи-квадрат имеет научное приложение в термодинамике и обработке сигналов. Литература в этих областях может назвать его Распределением Rician или обобщенным Распределением Релея.

Примеры

Вычислите Нецентральное Распределение хи-квадрат PDF

Скрипт Open Live Script

Вычислите PDF нецентрального распределения хи-квадрат со степенями свободы V = 4 и параметр нецентрированности DELTA = 2. Для сравнения также вычислите PDF распределения хи-квадрат с теми же степенями свободы.

x = (0:0.1:10)';
ncx2 = ncx2pdf(x,4,2);
chi2 = chi2pdf(x,4);

Постройте PDF нецентрального распределения хи-квадрат на той же фигуре как PDF распределения хи-квадрат.

figure;
plot(x,ncx2,'b-','LineWidth',2)
hold on
plot(x,chi2,'g--','LineWidth',2)
legend('ncx2','chi2')

Документация