Логарифмическая гамма функция для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов gammaln возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Вычислите логарифмическую гамма функцию для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

A = gammaln([1/5, 1/2, 2/3, 8/7, 3])

A =
    1.5241    0.5724    0.3032   -0.0667    0.6931

Вычислите логарифмическую гамма функцию для чисел, преобразованных в символьные объекты. Для многих символьных (точных) чисел gammaln возвращает результаты с точки зрения gammaln, log и функций gamma.

symA = gammaln(sym([1/5, 1/2, 2/3, 8/7, 3]))

symA =
[ gammaln(1/5), log(pi^(1/2)), gammaln(2/3),...
log(gamma(1/7)/7), log(2)]

Используйте vpa, чтобы аппроксимировать символьные результаты с числами с плавающей запятой:

vpa(symA)

ans =
[ 1.5240638224307845248810564939263,...
0.57236494292470008707171367567653,...
0.30315027514752356867586281737201,...
-0.066740877459477468649396334098109,...
0.69314718055994530941723212145818]

Определение логарифмической гамма функции на комплексной плоскости

gammaln задан для всех сложных аргументов, кроме отрицательной бесконечности.

Вычислите логарифмическую гамма функцию для положительных целочисленных аргументов. Для таких аргументов логарифмическая гамма функция задана как натуральный логарифм гамма функции, gammaln(x) = log(gamma(x)).

pos = gammaln(sym([1/4, 1/3, 1, 5, Inf]))

pos =
[ log((pi*2^(1/2))/gamma(3/4)), log((2*pi*3^(1/2))/(3*gamma(2/3))), 0, log(24), Inf]

Вычислите логарифмическую гамма функцию для неположительных целочисленных аргументов. Для неположительных целых чисел gammaln возвращает Inf.

nonposint = gammaln(sym([0, -1, -2, -5, -10]))

nonposint =
[ Inf, Inf, Inf, Inf, Inf]

Вычислите логарифмическую гамма функцию для комплексных и отрицательных рациональных аргументов. Для этих аргументов gammaln отвечает на неразрешенные символьные звонки.

complex = gammaln(sym([i, -1 + 2*i , -2/3, -10/3]))

complex =
[ gammaln(1i), gammaln(- 1 + 2i), gammaln(-2/3), gammaln(-10/3)]

Используйте vpa, чтобы аппроксимировать символьные результаты с числами с плавающей запятой:

vpa(complex)

ans =
[ - 0.65092319930185633888521683150395 - 1.8724366472624298171188533494366i,...
- 3.3739449232079248379476073664725 - 3.4755939462808110432931921583558i,...
1.3908857550359314511651871524423 - 3.1415926535897932384626433832795i,...
- 0.93719017334928727370096467598178 - 12.566370614359172953850573533118i]

Вычислите логарифмическую гамма функцию отрицательной бесконечности:

gammaln(sym(-Inf))

ans =
NaN

Постройте логарифмическую гамма функцию

Постройте логарифмическую гамма функцию на интервале от 0 до 10.

syms x
fplot(gammaln(x),[0 10])
grid on

Чтобы видеть отрицательные величины лучше, постройте ту же функцию на интервале от 1 до 2.

fplot(gammaln(x),[1 2])
grid on

Обработайте выражения, содержащие логарифмическую гамма функцию

Много функций, таких как diff и limit, могут обработать выражения, содержащие lngamma.

Дифференцируйте логарифмическую гамма функцию:

syms x
diff(gammaln(x), x)

ans =
psi(x)

Вычислите пределы этих выражений, содержащих логарифмическую гамма функцию:

syms x
limit(1/gammaln(x), x, Inf)

ans =
0

limit(gammaln(x - 1) - gammaln(x - 2), x, 0)

ans =
log(2) + pi*1i