Конфлюентная гипергеометрическая функция Куммера У
kummerU(a,b,z)
dsolve
может возвратить решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с точки зрения функции Куммера У.
Решите это уравнение. Решатель возвращает результаты с точки зрения функции Куммера У и другой гипергеометрической функции.
syms t z y(z) dsolve(z^3*diff(y,2) + (z^2 + t)*diff(y) + z*y)
ans = (C4*hypergeom(1i/2, 1 + 1i, t/(2*z^2)))/z^1i +... (C3*kummerU(1i/2, 1 + 1i, t/(2*z^2)))/z^1i
В зависимости от его аргументов kummerU
может возвратить или точные символьные результаты с плавающей точкой.
Вычислите функцию Куммера У для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.
A = [kummerU(-1/3, 2.5, 2) kummerU(1/3, 2, pi) kummerU(1/2, 1/3, 3*i)]
A = 0.8234 + 0.0000i 0.7284 + 0.0000i 0.4434 - 0.3204i
Вычислите функцию Куммера У для чисел, преобразованных в символьные объекты. Для большинства символьных (точных) чисел kummerU
отвечает на неразрешенные символьные звонки.
symA = [kummerU(-1/3, 2.5, sym(2)) kummerU(1/3, 2, sym(pi)) kummerU(1/2, sym(1/3), 3*i)]
symA = kummerU(-1/3, 5/2, 2) kummerU(1/3, 2, pi) kummerU(1/2, 1/3, 3i)
Используйте vpa
, чтобы аппроксимировать символьные результаты с необходимым количеством цифр.
vpa(symA,10)
ans = 0.8233667846 0.7284037305 0.4434362538 - 0.3204327531i
Функция Куммера У имеет специальные значения для некоторых параметров.
Если a
является отрицательным целым числом, функция Куммера У уменьшает до полинома.
syms a b z [kummerU(-1, b, z) kummerU(-2, b, z) kummerU(-3, b, z)]
ans = z - b b - 2*z*(b + 1) + b^2 + z^2 6*z*(b^2/2 + (3*b)/2 + 1) - 2*b - 6*z^2*(b/2 + 1) - 3*b^2 - b^3 + z^3
Если b = 2*a
, функция Куммера У уменьшает до выражения, включающего измененную Функцию Бесселя второго вида.
kummerU(a, 2*a, z)
ans = (z^(1/2 - a)*exp(z/2)*besselk(a - 1/2, z/2))/pi^(1/2)
Если a = 1
или a = b
, функция Куммера У уменьшает до выражения, включающего неполную гамма функцию.
kummerU(1, b, z)
ans = z^(1 - b)*exp(z)*igamma(b - 1, z)
kummerU(a, a, z)
ans = exp(z)*igamma(1 - a, z)
Если a = 0
, функцией Куммера У является 1
.
kummerU(0, a, z)
ans = 1
Много функций, таких как diff
, int
, и limit
, могут обработать выражения, содержащие kummerU
.
Найдите первую производную функции Куммера У относительно z
.
syms a b z diff(kummerU(a, b, z), z)
ans = (a*kummerU(a + 1, b, z)*(a - b + 1))/z - (a*kummerU(a, b, z))/z
Найдите неопределенный интеграл функции Куммера У относительно z
.
int(kummerU(a, b, z), z)
ans = ((b - 2)/(a - 1) - 1)*kummerU(a, b, z) +... (kummerU(a + 1, b, z)*(a - a*b + a^2))/(a - 1) -... (z*kummerU(a, b, z))/(a - 1)
Найдите предел этой функции Куммера У.
limit(kummerU(1/2, -1, z), z, 0)
ans = 4/(3*pi^(1/2))
kummerU
возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.
Действия kummerU
, поэлементные на нескалярных входных параметрах.
Все нескалярные аргументы должны иметь тот же размер. Если один или два входных параметра являются нескалярными, то kummerU
расширяет скаляры в векторы или матрицы, одного размера в качестве нескалярных аргументов со всеми элементами, равными соответствующему скаляру.
[1] Кровельщик, L. J. “Вырожденные гипергеометрические функции”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.