Суперобласть

Dom::DistributedPolynomial

Аксиомы

Если R имеет Ax::normalRep, то Ax::normalRep.

Если R имеет Ax::canonicalRep, то Ax::canonicalRep.

Категории

Если Vars имеет одну переменную, то Cat::UnivariatePolynomial (R), еще Cat::Polynomial (R).

Пример 1

Чтобы создать звонок многомерных полиномов в x, y и z по rationals, можно задать

MP := Dom::MultivariatePolynomial([x, y, z], Dom::Rational)

Элементарные симметричные полиномы этой области

s1 := MP(x + y + z)

s2 := MP(x*y + x*z + y*z)

s3:=MP(x*y*z)

Полином называется симметричный, если это остается неизменным при каждой возможной перестановке переменных как, например:

s3=s3(MP(y), MP(z), MP(x))

Эти полиномы возникают естественно в изучении корней полинома. Чтобы показать это, мы сначала должны создать одномерный полином, например, в U по MP, и сгенерировать полином в U с корнями в x, y и z.

UP:=Dom::UnivariatePolynomial(U, MP)

f := UP((U - x)*(U - y)*(U - z))

UP(U^3)-s1*UP(U^2)+s2*UP(U)+(-1)^3*s3

Это иллюстрирует это, коэффициенты f являются (элементарными) симметричными полиномами в его корнях.

От основной теоремы симметричных полиномов мы знаем, что каждый симметричный полином может быть записан исключительно как полином в элементарных симметричных полиномах. Таким образом мы можем переписать следующий симметричный полиномиальный s в элементарных симметричных полиномах s1, s2 и s3,

s:=MP(x^3*y+x^3*z+x*y^3+x*z^3+y^3*z+y*z^3)

S:=MP::rewritePoly(s,[s1=S1,s2=S2,s3=S3])

где эти полиномы представлены тремя новыми переменными S1, S2 и S3 соответственно. Чтобы видеть, что этот новый полиномиальный S в новых переменных действительно представляет старый исходный полиномиальный s, мы просто должны включить три элементарных симметричных полинома в S:

poly(S, Expr)(s1,s2,s3)

Когда у каждого есть данный список полиномов, например, как:

l:=[3*s1,2*s1,s1,s3]

и каждый хочет отсортировать их в соответствующем порядке, можно использовать один из следующих двух методов.

MP::sortList(l,Dom::MonomOrdering(DegLex(3)))

MP::stableSort(l,Dom::MonomOrdering(DegLex(3)))

В первом отсортированном списке изменился порядок трех полиномов той же степени, в то время как со вторым методом этот порядок остается стабильным.

Пример 2

Позвольте быть конечной (матричной) подгруппой полной линейной группы. Затем полином называется инвариантом underG, если для всего A ∈ G

где. Симметричные полиномы s1, s2 и s3 от предыдущего примера являются инвариантами под симметричной группой S ₃. На самом деле эти три основных инварианта все же генерируют целый звонок инвариантов S ₃.

Теперь давайте исследуем инварианты известной двадцатигранной группы. Можно найти представление этой группы на странице 73 Х. Ф. Блихфелдта: Конечные группы коллинеации, Нажатие Чикагского университета, 1917.

Группа сгенерирована из этих трех матриц, имеет 120 элементов и является таким образом конечной подгруппой, даже специальной линейной группы SL (2, ℚ (ε)). Это также известно это

основной инвариант степени 12 из этой группы. Чтобы объявить i ₁ в MuPAD^®, нужно сначала задать полиномиальную область.

MP:=Dom::MultivariatePolynomial([x1,x2],Dom::Rational)

i1:=MP(x1*x2^(11)-11*x1^6*x2^6-x1^(11)*x2)

От инвариантного i ₁ можно вычислить дальнейший основной инвариантный i ₂ с

i2:=MP::hessianDet(i1)

Но получить более простые коэффициенты мы выбираем i ₂ как

i2:=-1/121*MP::hessianDet(i1)

вместо этого. Подобный мы получаем третий основной инвариантный i ₃ с

i3:=1/20*MP::jacobianDet([i1,i2])

В отличие от симметричных групп, где все инварианты могут быть исключительно представлены основными инвариантами, основные инварианты этой группы имеют алгебраическое отношение, так называемую сизигию между ними. Возможно представлять i ₃₂ двумя способами:

MP::rewritePoly(i3^2,[i1=I1,i2=I2,i3=I3])

MP::rewritePoly(i3^2,[i1=I1,i2=I2,i3=I3],Unsorted)

И следовательно мы получаем сизигию:

MP::rewritePoly(i3^2,[i1=I1,i2=I2,i3=I3],Unsorted)-
MP::rewritePoly(i3^2,[i1=I1,i2=I2,i3=I3]) = 0

Записи