Параметрические модели

Создание моделей броуновского движения (BM)

Модель Brownian Motion (BM) (bm) выводит непосредственно из линейного дрейфа (sdeld) модель:

$d X_{t} = μ (t) d t + V (t) d W_{t}$

Пример: модели BM

Создайте одномерное Броуновское движение (bm) объект представлять модель с помощью bm:

$d X_{t} = 0.3 d W_{t} .$

obj = bm(0, 0.3) % (A = Mu, Sigma)

obj = 
   Class BM: Brownian Motion
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 0
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
             Mu: 0
          Sigma: 0.3

bm объекты отображают параметр A как более знакомый Mu.

bm объект также предоставляет перегруженный Эйлеров метод симуляции, который улучшает производительность во время выполнения в определенных общих ситуациях. Этот специальный метод вызывается автоматически, только если всем следующим условиям отвечают:

Ожидаемый дрейф или тренд, уровень Mu вектор-столбец.
Уровень энергозависимости, Sigma, матрица.
Никакие корректировки конца периода и/или процессы не сделаны.
Если задано, случайный шумовой процесс Z 3D массив.
Если Z не задано, принятая Гауссова структура корреляции является двойной матрицей.

Создание постоянной эластичности отклонения (CEV) модели

Модель Constant Elasticity of Variance (CEV) (cev) также выводит непосредственно из линейного дрейфа (sdeld) модель:

$d X_{t} = μ (t) X_{t} d t + D (t, X_{t}^{α (t)}) V (t) d W_{t}$

cev объект ограничивает A к NVars- 1 нулевой вектор. D является диагональной матрицей, элементами которой является соответствующий элемент вектора состояния X, повышенный до экспоненты α (t).

Пример: одномерные модели CEV

Создайте одномерный cev объект представлять модель с помощью cev:

$d X_{t} = 0.25 X_{t} + 0.3 X_{t}^{\frac{1}{2}} d W_{t} .$

obj = cev(0.25, 0.5, 0.3) % (B = Return, Alpha, Sigma)

obj = 
   Class CEV: Constant Elasticity of Variance
   ------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.25
          Alpha: 0.5
          Sigma: 0.3

cev и gbm объекты отображают параметр B как более знакомый Return.

Создание моделей геометрического броуновского движения (GBM)

Модель Geometric Brownian Motion (GBM) (gbm) выводит непосредственно из CEV (cev) модель:

$d X_{t} = μ (t) X_{t} d t + D (t, X_{t}) V (t) d W_{t}$

По сравнению с cev объект, gbm объект ограничивает все элементы вектора экспоненты alpha к одному таким образом, что D является теперь диагональной матрицей с вектором состояния X по основной диагонали.

gbm объект также предоставляет два метода симуляции, которые могут использоваться отделимыми моделями:

Перегруженный Эйлеров метод симуляции, который улучшает производительность во время выполнения в определенных общих ситуациях. Этот специальный метод вызывается автоматически, только если все следующие условия верны:
- Ожидаемая норма прибыли (Return) диагональная матрица.
- Уровень энергозависимости (Sigma) матрица.
- Никакие корректировки/процессы конца периода не сделаны.
- Если задано, случайный шумовой процесс Z 3D массив.
- Если Z не задано, принятая Гауссова структура корреляции является двойной матрицей.
Аппроксимированное аналитическое решение (simBySolution) полученный путем применения Эйлерового подхода к преобразованному (использование формулы ITO) логарифмический процесс. В общем случае это не точное решение этой модели GBM, когда вероятностные распределения симулированных и истинных векторов состояния идентичны только для кусочных постоянных параметров. Если параметры модели являются кусочной константой за каждый период наблюдения, вектор состояния_{, Xt} логарифмически нормально распределяется, и симулированный процесс точен в течение времен наблюдения, в которые производится _Xt.

Пример: одномерные модели GBM

Создайте одномерный gbm объект представлять модель с помощью gbm:

$d X_{t} = 0.25 X_{t} d t + 0.3 X_{t} d W_{t}$

obj = gbm(0.25, 0.3)  % (B = Return, Sigma)

obj = 
   Class GBM: Generalized Geometric Brownian Motion
   ------------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.25
          Sigma: 0.3

Создание стохастических дифференциальных уравнений от возвращающегося среднее значение дрейфа (SDEMRD) модели

sdemrd объект выводит непосредственно из sdeddo объект. Это обеспечивает интерфейс, в котором функция уровня дрейфа выражается в возвращающейся среднее значение форме дрейфа:

$d X_{t} = S (t) [L (t) - X_{t}] d t + D (t, X_{t}^{α (t)}) V (t) d W_{t}$

sdemrd объекты обеспечивают параметрическую альтернативу линейной форме дрейфа путем перепараметризации общего линейного дрейфа, таким образом что:

$A (t) = S (t) L (t), B (t) = - S (t)$

Пример: модели SDEMRD

Создайте sdemrd объект с помощью sdemrd с экспонентой квадратного корня, чтобы представлять модель:

$d X_{t} = 0.2 (0.1 - X_{t}) d t + 0.05 X_{t}^{\frac{1}{2}} d W_{t} .$

obj = sdemrd(0.2, 0.1, 0.5, 0.05)

obj = 
   Class SDEMRD: SDE with Mean-Reverting Drift
   -------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   -------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Alpha: 0.5
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

    % (Speed, Level, Alpha, Sigma)

sdemrd объекты отображают знакомый Speed и Level параметры вместо A и B.

Создание Кокса-Инджерсолла-Росса (CIR) модели диффузии квадратного корня

Кокс-Инджерсолл-Росс (CIR) объект короткого уровня, cir, выводит непосредственно из SDE с возвращающимся среднее значение дрейфом (sdemrdКласс:

$d X_{t} = S (t) [L (t) - X_{t}] d t + D (t, X_{t}^{\frac{1}{2}}) V (t) d W_{t}$

где D является диагональной матрицей, элементами которой является квадратный корень из соответствующего элемента вектора состояния.

Пример: модели CIR

Создайте cir объект с помощью cir представлять ту же модель как в Примере: Модели SDEMRD:

obj = cir(0.2, 0.1, 0.05)  % (Speed, Level, Sigma)

obj = 
   Class CIR: Cox-Ingersoll-Ross
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

Несмотря на то, что последние два объекта имеют различные классы, они представляют ту же математическую модель. Они отличаются по этому, вы создаете cir объект путем определения только трех входных параметров. Это различие укреплено тем, что Alpha параметр не отображается – он задан, чтобы быть 1/2.

Создание Hull-White/Vasicek (HWV) Гауссовы Модели Диффузии

Hull-White/Vasicek (HWV) объект короткого уровня, hwv, выводит непосредственно из SDE с возвращающимся среднее значение дрейфом (sdemrdКласс:

$d X_{t} = S (t) [L (t) - X_{t}] d t + V (t) d W_{t}$

Пример: модели HWV

Используя те же параметры как в предыдущем примере, создайте hwv объект с помощью hwv представлять модель:

$d X_{t} = 0.2 (0.1 - X_{t}) d t + 0.05 d W_{t} .$

obj = hwv(0.2, 0.1, 0.05)  % (Speed, Level, Sigma)

obj = 
   Class HWV: Hull-White/Vasicek
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

cir и hwv совместно используйте тот же интерфейс и методы отображения. Единственным различием является тот cir и hwv объекты модели ограничивают Alpha экспоненты к 1/2 и 0, соответственно. Кроме того, hwv объект также обеспечивает дополнительный метод, который симулирует аппроксимированные аналитические решения (simBySolution) из отделимых моделей. Этот метод симулирует вектор состояния _Xt с помощью приближения решения закрытой формы диагонального дрейфа HWV модели. Каждый элемент вектора состояния _Xt выражается как сумма NBrowns коррелированые Гауссовы случайные ничьи добавляются к детерминированному переменному временем дрейфу.

При выполнении выражений все параметры модели приняты кусочная константа за каждый период симуляции. В общем случае это не точное решение этого hwv модель, потому что вероятностные распределения симулированных и истинных векторов состояния идентичны только для кусочных постоянных параметров. Если _S(t,Xt), _L(t,Xt) и _V(t,Xt) являются кусочной константой за каждый период наблюдения, вектор состояния_{, Xt} нормально распределен, и симулированный процесс точен в течение времен наблюдения, в которые производится _Xt.

Белый как оболочка по сравнению с моделями Вашичека

Много ссылок дифференцируются между моделями Вашичека и моделями Hull-White. Где такие различия сделаны, параметры Вашичека ограничиваются быть константами, в то время как Белые как оболочка параметры варьируются детерминировано со временем. Думайте о моделях Вашичека в этом контексте как модели Hull-White постоянного коэффициента и эквивалентно, модели Hull-White как изменяющиеся во времени модели Вашичека. Однако с архитектурной точки зрения, различие между статическими и динамическими параметрами тривиально. Поскольку обе модели совместно используют ту же общую параметрическую спецификацию, как ранее описано, один hwv объект охватывает модели.

Создание Хестона стохастические модели энергозависимости

Хестон (heston) объект выводит непосредственно из SDE от Дрейфа и Диффузии (sdeddoКласс. Каждая модель Хестона является двумерной составной моделью, состоя из двух двойных одномерных моделей:

d X_{1 t} = B (t) X_{1 t} d t + \sqrt{X_{2 t}} X_{1 t} d W_{1 t}

(1)

d X_{2 t} = S (t) [L (t) - X_{2 t}] d t + V (t) \sqrt{X_{2 t}} d W_{2 t}

(2)

Уравнение 1 обычно сопоставляется с ценовым процессом. Уравнение 2 представляет эволюцию ценового отклонения процесса. Модели типа heston обычно используются к ценовым опциям акции.

Пример: Хестон моделирует

Создайте heston объект с помощью heston представлять модель:

$\begin{array}{l} d X_{1 t} = 0.1 X_{1 t} d t + \sqrt{X_{2 t}} X_{1 t} d W_{1 t} \\ d X_{2 t} = 0.2 [0.1 - X_{2 t}] d t + 0.05 \sqrt{X_{2 t}} d W_{2 t} \end{array}$

obj = heston (0.1, 0.2, 0.1, 0.05)

obj = 
   Class HESTON: Heston Bivariate Stochastic Volatility
   ----------------------------------------------------
     Dimensions: State = 2, Brownian = 2
   ----------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1 (2x1 double array) 
    Correlation: 2x2 diagonal double array 
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.1
          Speed: 0.2
          Level: 0.1
     Volatility: 0.05

Документация