Размещение полюса

Расположения полюсов с замкнутым контуром оказывают непосредственное влияние на характеристики временной характеристики, такие как время нарастания, время оседания и переходные колебания. Корневой локус использует коэффициенты усиления компенсатора для перемещения полюсов с замкнутым контуром для достижения проектных спецификаций для систем SISO. Однако для назначения полюсов с замкнутым контуром можно использовать методы «состояние-пространство». Этот метод проектирования известен как размещение полюсов, которое отличается от локуса корня следующими способами:

С помощью методов размещения полюсов можно проектировать динамические компенсаторы.
Методы размещения полюсов применимы к системам MIMO.

Для размещения полюса требуется государственно-пространственная модель системы (использовать ss для преобразования других форматов модели в пространство состояний). В непрерывном времени такие модели имеют вид

$\begin{array}{l} \overset{}{} \\ x˙=Ax+Buy=Cx+Du \end{array}$

где u - вектор управляющих входов, x - вектор состояния, а y - вектор измерений.

Выбор коэффициента усиления обратной связи по состоянию

При обратной связи состояния $u = -$ Kx динамика замкнутого цикла задаются

$\overset{}{} x˙= (A -$ BK) x

и полюса с замкнутым контуром являются собственными значениями A-BK. Использование place можно вычислить матрицу K усиления, которая присваивает эти полюса любым требуемым местоположениям в комплексной плоскости (при условии, что (A, B) является управляемой).

Например, для матриц состояний A и B, и вектор p который содержит требуемые местоположения полюсов замкнутого контура,

K = place(A,B,p);

вычисляет соответствующую матрицу усиления K.

Проектирование оценщика состояния

Нельзя реализовать закон обратной связи состояния $u = -$ Kx, если не измерено полное состояние x. Тем не менее, можно построить оценку состояния, такую, что $закон u$ = − K, сохраняет сходное назначение полюсов и свойства замкнутого цикла. Этого можно достичь, разработав оценщика состояния (или наблюдателя) формы

$\overset{}{} ξ˙=Aξ+Bu+L (y - C,$ − Du)

Полюса оценщика являются собственными значениями A-LC, которые могут быть произвольно назначены посредством правильного выбора матрицы L усиления оценщика при условии, что (C, A) является наблюдаемым. Как правило, динамика оценщика должна быть быстрее, чем динамика контроллера (собственные значения A-BK).

Используйте place функция для вычисления матрицы L

L = place(A',C',q).'

где A и C - матрицы состояния и вывода, и q - вектор, содержащий желаемые полюса замкнутого контура для наблюдателя.

Замена x на его оценку $в$ $u = -$ Kx дает динамический компенсатор «выход-обратная связь»

$\begin{array}{l} \overset{}{} ξ˙=[A-LC- (B - LD) K] \\ + \end{array}$ Lyu = − K,

Обратите внимание, что результирующая динамика замкнутого цикла

$[\begin{matrix} \overset{}{} \\ \overset{}{} \end{matrix} \begin{matrix} x˙e˙]=[A−BKBK0A−LC \end{matrix}] \begin{matrix} [ \end{matrix} xe], e =$ x −

Следовательно, фактически присваиваются все полюса с замкнутым контуром, независимо размещая собственные значения A-BK и A-LC.

Пример

Данная модель состояния-пространства непрерывного времени

sys_pp = ss(A,B,C,D)

с семью выходами и четырьмя входами, предположим, что вы разработали

Коэффициент усиления контроллера обратной связи K использование входов 1, 2 и 4 установки в качестве управляющих входов
Оценщик состояния с коэффициентом усиления L использование выходов 4, 7 и 1 установки в качестве датчиков
Вход 3 установки в качестве дополнительного известного входа

Затем можно подключить контроллер и оценщик и сформировать динамический компенсатор, используя следующий код:

controls = [1,2,4];
sensors = [4,7,1];
known = [3];
regulator = reg(sys_pp,K,L,sensors,known,controls)

Инструменты размещения полюсов

Можно использовать функции для

Вычисляют матрицы K и L усиления, которые достигают желаемых местоположений полюсов замкнутого контура.
Формирование оценщика состояния и динамического компенсатора с использованием этих коэффициентов усиления.

В следующей таблице представлены функции для размещения полюсов.

Функции	Описание
`estim`	Коэффициент усиления оценщика состояния формы
`place`	Конструкция размещения полюсов
`reg`	Формирование компенсатора «выход-обратная связь» с учетом коэффициентов усиления «состояние-обратная связь» и «оценка»

Внимание

Размещение полюсов может быть плохо обусловлено, если выбрать нереальные положения полюсов. В частности, следует избегать:

Размещение нескольких полюсов в одном месте.
Подвижные полюса, которые являются слабо управляемыми или наблюдаемыми. Это обычно требует высокого коэффициента усиления, что, в свою очередь, делает всю собственную конструкцию с замкнутым контуром очень чувствительной к возмущению.

См. также

estim | place | reg

Документация