Для этого примера используйте график сингулярных значений Ханкеля, чтобы выбрать подходящий порядок и вычислить модель уменьшенного порядка.

Для этого случая создайте случайную дискретно-временную модель состояния-пространства с 40 состояниями.

rng(0)
sys = drss(40);

Постройте график сингулярных значений Ханкеля с помощью balred.

balred(sys)

В этом примере выберите порядок 16 поскольку это первый порядок с абсолютной ошибкой менее 1e-4. Как правило, порядок выбирается на основе требуемой абсолютной или относительной точности. Затем вычислите модель уменьшенного порядка.

rsys = balred(sys,16);

Проверьте абсолютную ошибку, выведя на график отклик сингулярного значения с помощью sigma.

sigma(sys,sys-rsys)

На графике видно, что ошибка, представленная красной кривой, находится ниже -80 dB (1e-4).

В этом примере рассмотрим случайную модель состояния-пространства непрерывного времени с 65 состояниями.

rng(0)
sys = rss(65);
size(sys)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 65 states.

Визуализируйте сингулярные значения Ханкеля на графике.

balred(sys)

В этом случае вычислите модели уменьшенного порядка с 25, 30 и 35 состояниями.

order = [25,30,35];
rsys = balred(sys,order);
size(rsys)

3x1 array of state-space models.
Each model has 1 outputs, 1 inputs, and between 25 and 35 states.

Вычислите аппроксимацию системы с уменьшенным порядком, заданную следующим образом:

Создайте модель.

sys = zpk([-0.5 -1.1 -2.9],[-1e-6 -2 -1 -3],1);

Исключить полюс при $$s\mathrm{=}{\mathrm{}}^{\mathrm{}}$$10-6 из стабильного члена стабильного/нестабильного разложения. Для этого установите Offset вариант balredOptions до значения, большего, чем значение полюса, которое требуется исключить.

opts = balredOptions('Offset',0.001,'StateProjection','Truncate');

Визуализируйте сингулярные значения Ханкеля (HSV) и аппроксимационную ошибку.

balred(sys,opts)

Обратите внимание, что первый HSV имеет красный цвет, что указывает на его связь с нестабильным режимом.

Теперь вычислите приближение второго порядка с указанными опциями.

[rsys,info] = balred(sys,2,opts);
rsys

rsys =
 
  0.99113 (s+0.5235)
  -------------------
  (s+1e-06) (s+1.952)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Обратите внимание, что столб на -1e-6 отображается без изменений в уменьшенной модели rsys.

Сравните отклики исходной модели и модели с уменьшенным порядком.

bodeplot(sys,rsys,'r--')

Обратите внимание, что реакция bode исходной модели и модели с уменьшенным порядком почти совпадают.

Уменьшите модель высокого порядка с акцентом на динамику в определенном диапазоне частот.

Загрузите модель и проверьте ее частотную характеристику.

load('highOrderModel.mat','G')
bodeplot(G)

G модель 48-го порядка с несколькими большими пиковыми областями около 5,2 рад/с, 13,5 рад/с и 24,5 рад/с и меньшими пиками, рассеянными по многим частотам. Предположим, что для вашего приложения вас интересует только динамика вблизи второго большого пика, между 10 рад/с и 22 рад/с. Сосредоточьте сокращение модели на интересующей области, чтобы получить хорошее совпадение с приближением низкого порядка. Использовать balredOptions для указания интервала частот для balred.

bopt = balredOptions('StateProjection','Truncate','FreqIntervals',[10,22]);
GLim10 = balred(G,10,bopt);
GLim18 = balred(G,18,bopt);

Проверьте частотные характеристики моделей с уменьшенным порядком. Также изучите разницу между этими ответами и исходным ответом (абсолютная ошибка).

subplot(2,1,1);
bodemag(G,GLim10,GLim18,logspace(0.5,1.5,100));
title('Bode Magnitude Plot')
legend('Original','Order 10','Order 18');
subplot(2,1,2);
bodemag(G-GLim10,G-GLim18,logspace(0.5,1.5,100));
title('Absolute Error Plot')
legend('Order 10','Order 18');

При вычислении энергии с ограниченной частотой даже аппроксимация 10-го порядка достаточно хороша в интересующей области.

В этом примере рассмотрим модель состояния-пространства SISO cdrom со 120 состояниями. Можно использовать абсолютное или относительное управление ошибками при аппроксимации моделей с помощью balred. В этом примере сравниваются два подхода при применении к 120-государственной модели портативного устройства проигрывателя компакт-дисков. crdom [1,2].

Загрузить модель проигрывателя компакт-дисков cdrom.

load cdromData.mat cdrom
size(cdrom)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 120 states.

Для сравнения результатов с абсолютным и относительным управлением ошибками создайте один набор опций для каждого подхода.

opt_abs = balredOptions('ErrorBound','absolute','StateProjection','truncate');
opt_rel = balredOptions('ErrorBound','relative','StateProjection','truncate');

Вычислите модели с уменьшенным порядком порядка 15 с обоими подходами.

rsys_abs = balred(cdrom,15,opt_abs);
rsys_rel = balred(cdrom,15,opt_rel);
size(rsys_abs)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 15 states.

size(rsys_rel)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 15 states.

Постройте график реакции Боде исходной модели вместе с моделями с абсолютной и относительной погрешностью.

bo = bodeoptions; 
bo.PhaseMatching = 'on';
bodeplot(cdrom,'b.',rsys_abs,'r',rsys_rel,'g',bo)
legend('Original (120 states)','Absolute Error (15 states)','Relative Error (15 states)')

Обратите внимание, что реакция Боде: