Модель пространства состояний
Использовать ss создание действительных или комплексных моделей пространства состояний или преобразование динамических системных моделей в форму модели пространства состояний. Также можно использовать ss для создания обобщенного состояния-пространства (genss) модели или неопределенное состояние-пространство (uss (Надёжная панель инструментов управления)) модели.
Модель «состояние-пространство» - это математическое представление физической системы как набора входных, выходных и переменных состояния, связанных дифференциальными уравнениями первого порядка. Переменные состояния определяют значения выходных переменных. ss объект модели может представлять модели состояния-пространства SISO или MIMO за непрерывное или дискретное время.
В непрерывном времени модель state-space имеет следующий вид:
Здесь, x, u и y представляют состояния, входы и выходы соответственно, в то время как A, B, C и D - матрицы состояния-пространства. ss объект представляет модель состояния-пространства при хранении MATLAB ®A, B, C и D наряду с другой информацией, такой как время выборки, имена и задержки, относящиеся к входам и выходам.
Объект модели state-space можно создать либо путем непосредственного указания состояния, входной и выходной матриц, либо путем преобразования модели другого типа (например, модели передаточной функции). tf) в форму state-space. Дополнительные сведения см. в разделе Модели пространства состояний. Вы можете использовать ss объект модели для:
Выполнение линейного анализа
Представление линейной инвариантной по времени (LTI) модели для выполнения проектирования управления
Объединение с другими моделями LTI для представления более сложной системы
sys = ss(A,B,C,D)
Например, рассмотрим растение с Nx состояния, Ny выходы, и Nu входные данные. Матрицами состояния-пространства являются:
A является Nxоколо-Nx real- или комплекснозначная матрица.
B является Nxоколо-Nu real- или комплекснозначная матрица.
C является Nyоколо-Nx real- или комплекснозначная матрица.
D является Nyоколо-Nu real- или комплекснозначная матрица.
sys = ss(ltiSys,component)ss объект образует измеренный компонент, компонент шума или оба указанных component идентифицированной линейной инвариантной по времени (LTI) модели ltiSys. Использовать этот синтаксис только тогда, когда ltiSys является идентифицированной (LTI) моделью, такой как idtf(Панель инструментов идентификации системы), idss(Панель инструментов идентификации системы), idproc(Панель инструментов идентификации системы), idpoly(Панель инструментов идентификации системы) или idgrey(Панель инструментов идентификации системы).
sys = ss(ssSys,'minimal')minreal(ss(sys)) где матрица A имеет наименьшее возможное измерение.
Преобразование в форму state-space не определено однозначно в случае SISO. Это также не гарантированно обеспечивает минимальную реализацию в случае MIMO. Дополнительные сведения см. в разделе Рекомендуемое рабочее представление.
sys = ss(ssSys,'explicit')ssSys. ss возвращает ошибку, если ssSys является неправильным. Дополнительные сведения о явной реализации пространства состояний см. в разделе Модели пространства состояний.
Следующие списки содержат репрезентативное подмножество функций, которые можно использовать с ss объекты модели. Как правило, любая функция, применимая к динамическим моделям систем, применима к ss объект.
Создайте модель пространства состояний SISO, определяемую следующими матрицами пространства состояний:
[01] D = 0
Задайте матрицы A, B, C и D и создайте модель пространства состояний.
A = [-1.5,-2;1,0]; B = [0.5;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D)
sys =
A =
x1 x2
x1 -1.5 -2
x2 1 0
B =
u1
x1 0.5
x2 0
C =
x1 x2
y1 0 1
D =
u1
y1 0
Continuous-time state-space model.
Создайте модель state-space со временем выборки 0,25 секунды и следующими матрицами state-space:
01] D = [0]
Укажите матрицы state-space.
A = [0 1;-5 -2]; B = [0;3]; C = [0 1]; D = 0;
Укажите время выборки.
Ts = 0.25;
Создайте модель «состояние-пространство».
sys = ss(A,B,C,D,Ts);
Для этого примера рассмотрим куб, вращающийся вокруг своего угла с тензором инерции J и демпфирующее усилие F 0,2 величины. Входным сигналом в систему является крутящий момент, в то время как угловые скорости являются выходными сигналами. Матрицы state-space для куба:
Укажите A, B, C и D и создайте непрерывную модель состояния-пространства.
J = [8 -3 -3; -3 8 -3; -3 -3 8]; F = 0.2*eye(3); A = -J\F; B = inv(J); C = eye(3); D = 0; sys = ss(A,B,C,D)
sys =
A =
x1 x2 x3
x1 -0.04545 -0.02727 -0.02727
x2 -0.02727 -0.04545 -0.02727
x3 -0.02727 -0.02727 -0.04545
B =
u1 u2 u3
x1 0.2273 0.1364 0.1364
x2 0.1364 0.2273 0.1364
x3 0.1364 0.1364 0.2273
C =
x1 x2 x3
y1 1 0 0
y2 0 1 0
y3 0 0 1
D =
u1 u2 u3
y1 0 0 0
y2 0 0 0
y3 0 0 0
Continuous-time state-space model.
sys MIMO, поскольку система содержит 3 входа и 3 выхода, наблюдаемых из матриц C и D. Дополнительные сведения о моделях пространства состояний MIMO см. в разделе Модели пространства состояний MIMO.
Создание модели пространства состояний с использованием следующих матриц состояний с дискретным временем, множеством входов и множеством выходов с временем выборки ts = 0.2 секунды:
D = [0-220]
Укажите матрицы состояния-пространства и создайте модель состояния-пространства MIMO с дискретным временем.
A = [-7,0;0,-10]; B = [5,0;0,2]; C = [1,-4;-4,0.5]; D = [0,-2;2,0]; ts = 0.2; sys = ss(A,B,C,D,ts)
sys =
A =
x1 x2
x1 -7 0
x2 0 -10
B =
u1 u2
x1 5 0
x2 0 2
C =
x1 x2
y1 1 -4
y2 -4 0.5
D =
u1 u2
y1 0 -2
y2 2 0
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time state-space model.
Создайте матрицы state-space и укажите время выборки.
A = [0 1;-5 -2]; B = [0;3]; C = [0 1]; D = 0; Ts = 0.05;
Создайте модель state-space, указав имена состояний и входных данных с помощью пар name-value.
sys = ss(A,B,C,D,Ts,'StateName',{'Position' 'Velocity'},... 'InputName','Force');
Количество имен состояний и входных данных должно соответствовать измерениям A, B, C, и D.
Именование входов и выходов может быть полезным при работе с графиками ответов для систем MIMO.
step(sys)
Обратите внимание на имя ввода Force в заголовке графика ответа на шаг.
В этом примере создайте модель пространства состояния со свойствами времени и единицы ввода, унаследованными от другой модели пространства состояния. Рассмотрим следующие модели пространства состояний:
0,852] C2 = [1014] D2 = 2
Сначала создайте модель пространства состояний sys1 с TimeUnit и InputUnit свойство имеет значение «»minutes'.
A1 = [-1.5,-2;1,0]; B1 = [0.5;0]; C1 = [0,1]; D1 = 5; sys1 = ss(A1,B1,C1,D1,'TimeUnit','minutes','InputUnit','minutes');
Убедитесь, что время и входные единицы свойства sys1 имеют значение 'minutes'.
propValues1 = [sys1.TimeUnit,sys1.InputUnit]
propValues1 = 1x2 cell
{'minutes'} {'minutes'}
Создание второй модели пространства состояния со свойствами, унаследованными от sys1.
A2 = [7,-1;0,2]; B2 = [0.85;2]; C2 = [10,14]; D2 = 2; sys2 = ss(A2,B2,C2,D2,sys1);
Убедитесь, что единицы времени и ввода sys2 были унаследованы от sys1.
propValues2 = [sys2.TimeUnit,sys2.InputUnit]
propValues2 = 1x2 cell
{'minutes'} {'minutes'}
В этом примере создается статическая модель состояния-пространства MIMO с усилением.
Рассмотрим следующую матрицу статического усиления с двумя входами и двумя выходами:
2435]
Укажите матрицу усиления и создайте модель статического состояния усиления в пространстве.
D = [2,4;3,5]; sys1 = ss(D)
sys1 =
D =
u1 u2
y1 2 4
y2 3 5
Static gain.
Вычислите модель состояния-пространства следующей передаточной функции:
2s2 + 3s2 + s + 1]
Создайте модель передаточной функции.
H = [tf([1 1],[1 3 3 2]) ; tf([1 0 3],[1 1 1])];
Преобразовать эту модель в модель пространства состояний.
sys = ss(H);
Проверьте размер модели state-space.
size(sys)
State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 5 states.
Количество состояний равно совокупному порядку записей SISO в H (s).
Для получения минимальной реализации H (s) введите
sys = ss(H,'minimal');
size(sys)State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 3 states.
Полученная модель имеет порядок три, который является минимальным количеством состояний, необходимых для представления H (s). Чтобы увидеть это количество состояний, выполните рефакторинг H (s) как произведение системы первого порядка и системы второго порядка.
1s2 + 3s2 + s + 1]
Для этого примера извлеките измеренные и шумовые компоненты идентифицированной модели полинома в две отдельные модели состояния-пространства.
Загрузить модель полинома Бокса (Box) - Дженкинса (Jenkins) ltiSys в identifiedModel.mat.
load('identifiedModel.mat','ltiSys');
ltiSys - идентифицированная дискретно-временная модель вида: CDe (t), где BF представляет измеренную и CD составляющую шума.
Извлеките измеренные и шумовые компоненты в виде моделей пространства состояний.
sysMeas = ss(ltiSys,'measured') sysMeas =
A =
x1 x2
x1 1.575 -0.6115
x2 1 0
B =
u1
x1 0.5
x2 0
C =
x1 x2
y1 -0.2851 0.3916
D =
u1
y1 0
Input delays (sampling periods): 2
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time state-space model.
sysNoise = ss(ltiSys,'noise')sysNoise =
A =
x1 x2 x3
x1 1.026 -0.26 0.3899
x2 1 0 0
x3 0 0.5 0
B =
v@y1
x1 0.25
x2 0
x3 0
C =
x1 x2 x3
y1 0.319 -0.04738 0.07106
D =
v@y1
y1 0.04556
Input groups:
Name Channels
Noise 1
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time state-space model.
Измеряемый компонент может служить моделью установки, в то время как шумовой компонент может использоваться в качестве модели возмущения для проектирования системы управления.
Создайте модель состояния-пространства дескриптора (E ≠ I).
a = [2 -4; 4 2]; b = [-1; 0.5]; c = [-0.5, -2]; d = [-1]; e = [1 0; -3 0.5]; sysd = dss(a,b,c,d,e);
Вычислите явную реализацию системы (E = I).
syse = ss(sysd,'explicit')syse =
A =
x1 x2
x1 2 -4
x2 20 -20
B =
u1
x1 -1
x2 -5
C =
x1 x2
y1 -0.5 -2
D =
u1
y1 -1
Continuous-time state-space model.
Убедитесь, что дескриптор и явные реализации имеют эквивалентную динамику.
bodeplot(sysd,syse,'g--')
В этом примере показано, как создать область состояния genss модель, имеющая как фиксированные, так и настраиваемые параметры.
0,30], D = 0,
где a и b - перестраиваемые параметры, начальными значениями которых являются -1 и 3соответственно.
Создание настраиваемых параметров с помощью realp.
a = realp('a',-1); b = realp('b',3);
Определение обобщенной матрицы с помощью алгебраических выражений a и b.
A = [1 a+b;0 a*b];
A является обобщенной матрицей, Blocks свойство содержит a и b. Начальное значение A является [1 2;0 -3], от начальных значений a и b.
Создайте матрицы состояния-пространства с фиксированным значением.
B = [-3.0;1.5]; C = [0.3 0]; D = 0;
Использовать ss для создания модели состояния-пространства.
sys = ss(A,B,C,D)
sys =
Generalized continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 2 states, and the following blocks:
a: Scalar parameter, 2 occurrences.
b: Scalar parameter, 2 occurrences.
Type "ss(sys)" to see the current value, "get(sys)" to see all properties, and "sys.Blocks" to interact with the blocks.
sys является обобщенной моделью LTI (genss) с настраиваемыми параметрами a и b.
В этом примере рассмотрим модель SISO state-space, определяемую следующими матрицами state-space:
[01] D = 0
Учитывая задержку на входе 0,5 секунды и задержку на выходе 2,5 секунды, создайте объект модели состояния-пространства для представления матриц A, B, C и D.
A = [-1.5,-2;1,0]; B = [0.5;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D,'InputDelay',0.5,'OutputDelay',2.5)
sys =
A =
x1 x2
x1 -1.5 -2
x2 1 0
B =
u1
x1 0.5
x2 0
C =
x1 x2
y1 0 1
D =
u1
y1 0
Input delays (seconds): 0.5
Output delays (seconds): 2.5
Continuous-time state-space model.
Вы также можете использовать get для отображения всех свойств объекта MATLAB.
get(sys)
A: [2x2 double]
B: [2x1 double]
C: [0 1]
D: 0
E: []
Scaled: 0
StateName: {2x1 cell}
StatePath: {2x1 cell}
StateUnit: {2x1 cell}
InternalDelay: [0x1 double]
InputDelay: 0.5000
OutputDelay: 2.5000
Ts: 0
TimeUnit: 'seconds'
InputName: {''}
InputUnit: {''}
InputGroup: [1x1 struct]
OutputName: {''}
OutputUnit: {''}
OutputGroup: [1x1 struct]
Notes: [0x1 string]
UserData: []
Name: ''
SamplingGrid: [1x1 struct]
Дополнительные сведения об указании временной задержки для модели LTI см. в разделе Указание временных задержек.
В этом примере рассмотрим объект state-space system, который представляет следующие матрицы состояний:
матрицы State-space
Создание объекта state-space sys с использованием ss команда.
A = [-1.2,-1.6,0;1,0,0;0,1,0]; B = [1;0;0]; C = [0,0.5,1.3]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D);
Затем вычислите модель «состояние-пространство» с замкнутым контуром для единичного отрицательного усиления и найдите полюса объекта системы «состояние-пространство» с замкнутым контуром. sysFeedback.
sysFeedback = feedback(sys,1); P = pole(sysFeedback)
P = 3×1 complex
-0.2305 + 1.3062i
-0.2305 - 1.3062i
-0.7389 + 0.0000i
Цикл обратной связи для единичного усиления стабилен, так как все полюса имеют отрицательные вещественные части. Проверка полюсов замкнутого контура обеспечивает бинарную оценку стабильности. На практике более полезно знать, насколько надежна (или хрупка) стабильность. Одним из признаков надежности является то, насколько усиление петли может измениться до потери стабильности. График корневого локуса можно использовать для оценки диапазона k значения, для которых цикл стабилен.
rlocus(sys)
Изменения коэффициента усиления контура являются лишь одним из аспектов надежной стабильности. В общем, несовершенное моделирование растений означает, что и усиление, и фаза точно не известны. Поскольку ошибки моделирования оказывают наиболее вредное влияние вблизи частоты пересечения усиления (частота, где коэффициент усиления с разомкнутым контуром составляет 0 дБ), также важно, насколько изменение фазы может быть допустимо на этой частоте.
Поля усиления и фазы можно отобразить на графике Бода следующим образом.
bode(sys) grid
Более подробный пример см. в разделе Оценка выигрыша и полей фазы.
Для этого примера проектируйте контроллер PID с 2 финансовыми департаментами с целевой пропускной способностью 0,75 рад/с для системы, представленной следующими матрицами:
01], D = 0.
Создание объекта state-space sys с использованием ss команда.
A = [-0.5,-0.1;1,0]; B = [1;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D)
sys =
A =
x1 x2
x1 -0.5 -0.1
x2 1 0
B =
u1
x1 1
x2 0
C =
x1 x2
y1 0 1
D =
u1
y1 0
Continuous-time state-space model.
Используя целевую полосу пропускания, используйте pidtune для создания контроллера 2-DOF.
wc = 0.75;
C2 = pidtune(sys,'PID2',wc)C2 =
1
u = Kp (b*r-y) + Ki --- (r-y) + Kd*s (c*r-y)
s
with Kp = 0.513, Ki = 0.0975, Kd = 0.577, b = 0.344, c = 0
Continuous-time 2-DOF PID controller in parallel form.
Использование типа 'PID2' причины pidtune для создания контроллера 2-DOF, представленного в виде pid2 объект. Этот результат подтверждается на дисплее. На дисплее также показано, что pidtune настраивает все коэффициенты контроллера, включая веса уставок b и c, чтобы сбалансировать производительность и надежность.
Для получения информации о интерактивной настройке PID в интерактивном редакторе см. задачу Настройка контроллера PID в интерактивном редакторе. Эта задача позволяет в интерактивном режиме проектировать контроллер PID и автоматически генерировать код MATLAB для сценария в реальном времени.
Для интерактивной настройки PID в автономном приложении используйте PID-тюнер. Пример разработки контроллера с помощью приложения см. в документе «Проектирование контроллера PID для быстрого отслеживания ссылок».
Рассмотрим государственный космический завод G с пятью входами и четырьмя выходами и контроллером обратной связи в пространстве состояний K с тремя входами и двумя выходами. Выходы 1, 3 и 4 установки G должен быть подключен контроллер K входы и выходы контроллера на входы 4 и 2 установки.
В этом примере рассмотрим две модели состояния-пространства непрерывного времени для обеих G и K представлены следующим набором матриц:
AG = [-3,0.4,0.3;-0.5,-2.8,-0.8;0.2,0.8,-3]; BG = [0.4,0,0.3,0.2,0;-0.2,-1,0.1,-0.9,-0.5;0.6,0.9,0.5,0.2,0]; CG = [0,-0.1,-1;0,-0.2,1.6;-0.7,1.5,1.2;-1.4,-0.2,0]; DG = [0,0,0,0,-1;0,0.4,-0.7,0,0.9;0,0.3,0,0,0;0.2,0,0,0,0]; sysG = ss(AG,BG,CG,DG)
sysG =
A =
x1 x2 x3
x1 -3 0.4 0.3
x2 -0.5 -2.8 -0.8
x3 0.2 0.8 -3
B =
u1 u2 u3 u4 u5
x1 0.4 0 0.3 0.2 0
x2 -0.2 -1 0.1 -0.9 -0.5
x3 0.6 0.9 0.5 0.2 0
C =
x1 x2 x3
y1 0 -0.1 -1
y2 0 -0.2 1.6
y3 -0.7 1.5 1.2
y4 -1.4 -0.2 0
D =
u1 u2 u3 u4 u5
y1 0 0 0 0 -1
y2 0 0.4 -0.7 0 0.9
y3 0 0.3 0 0 0
y4 0.2 0 0 0 0
Continuous-time state-space model.
AK = [-0.2,2.1,0.7;-2.2,-0.1,-2.2;-0.4,2.3,-0.2]; BK = [-0.1,-2.1,-0.3;-0.1,0,0.6;1,0,0.8]; CK = [-1,0,0;-0.4,-0.2,0.3]; DK = [0,0,0;0,0,-1.2]; sysK = ss(AK,BK,CK,DK)
sysK =
A =
x1 x2 x3
x1 -0.2 2.1 0.7
x2 -2.2 -0.1 -2.2
x3 -0.4 2.3 -0.2
B =
u1 u2 u3
x1 -0.1 -2.1 -0.3
x2 -0.1 0 0.6
x3 1 0 0.8
C =
x1 x2 x3
y1 -1 0 0
y2 -0.4 -0.2 0.3
D =
u1 u2 u3
y1 0 0 0
y2 0 0 -1.2
Continuous-time state-space model.
Определите feedout и feedin векторы, основанные на входах и выходах, которые должны быть подключены в контуре обратной связи.
feedin = [4 2]; feedout = [1 3 4]; sys = feedback(sysG,sysK,feedin,feedout,-1)
sys =
A =
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 -3 0.4 0.3 0.2 0 0
x2 1.18 -2.56 -0.8 -1.3 -0.2 0.3
x3 -1.312 0.584 -3 0.56 0.18 -0.27
x4 2.948 -2.929 -2.42 -0.452 1.974 0.889
x5 -0.84 -0.11 0.1 -2.2 -0.1 -2.2
x6 -1.12 -0.26 -1 -0.4 2.3 -0.2
B =
u1 u2 u3 u4 u5
x1 0.4 0 0.3 0.2 0
x2 -0.44 -1 0.1 -0.9 -0.5
x3 0.816 0.9 0.5 0.2 0
x4 -0.2112 -0.63 0 0 0.1
x5 0.12 0 0 0 0.1
x6 0.16 0 0 0 -1
C =
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 0 -0.1 -1 0 0 0
y2 -0.672 -0.296 1.6 0.16 0.08 -0.12
y3 -1.204 1.428 1.2 0.12 0.06 -0.09
y4 -1.4 -0.2 0 0 0 0
D =
u1 u2 u3 u4 u5
y1 0 0 0 0 -1
y2 0.096 0.4 -0.7 0 0.9
y3 0.072 0.3 0 0 0
y4 0.2 0 0 0 0
Continuous-time state-space model.
size(sys)
State-space model with 4 outputs, 5 inputs, and 6 states.
sys - результирующая модель состояния-пространства замкнутого контура, полученная путем соединения указанных входов и выходов G и K.