Можно реализовать пользовательские конечные условия с помощью csape функция. Предположим, что необходимо выполнить следующее условие в крайней левой конечной точке, $\mathit{e}$=x(1)

для заданных скаляров $\mathit{a}$, $\mathit{}$b и $\mathit{}$C. Можно вычислить интерполяцию s кубического спина $\mathit{}$как сумму $${}_{\mathrm{}}$$s1 (интерполяция кубического спина данных с использованием конечных условий по умолчанию) и $${}_{\mathrm{}}$$s0 (интерполяция кубического спина нулевых данных с использованием некоторых нетривиальных конечных условий):

Конечные условия, указанные в $${}_{\mathrm{s0}}$$, не обязательно должны быть конечными требуемыми конечными условиями $$\lambda (s$$).

В этом примере используются данные испытаний на титан - стандартный набор данных, используемый при подборе данных. Загрузите данные с помощью titanium функция.

[x,y] = titanium;

Определите коэффициенты для $$\lambda (s$$).

a = -2;
b = -1;
c = 0;

Конечное условие применяется к крайнему левому концу набора данных.

e = x(1);

Теперь вычислите интерполяцию кубического сплайна набора данных без навязывания конечных условий.

s1 = csape(x,y);

Для вычисления $${}_{\mathrm{s0}}$$используйте нулевые данные той же длины, что и y с дополнительным набором нетривиальных конечных условий.

yZero = zeros(1,length(y));

Матрица «1 на 2» conds задание конечных условий путем задания производных сплайна для фиксации. В этом примере условия окончания используются только на левом конце данных, поэтому используйте conds для фиксации первой производной на левом конце. В правом конце зафиксируйте значение самой функции.

conds = [1 0];

Чтобы указать значения для фиксации функции или ее производных, добавьте их в качестве дополнительных значений в набор данных для подгонки - в данном случае yZero. Первый элемент указывает значение на левом конце, а последний элемент указывает значение на правом конце.

На левом конце зафиксируйте первую производную сплайна, чтобы она имела значение 1. В правом конце зафиксируйте саму функцию как 0 (исходное значение конечного элемента yZero). Соедините эти конечные значения условий на соответствующих концах yZero и использовать csape для поиска сплайна, который соответствует данным с этими значениями конечных условий.

s0 = csape(x,[1 yZero 0],conds);

Рассчитайте полностью подогнанный сплайн из этих данных, используя вышеупомянутое выражение для $\mathit{}$s. Для этого вычислите значения $${}_{\mathrm{\lambda \; 0}}={\lambda }_{\mathrm{}}($$s0) $${}_{\mathrm{и}}\lambda \; 1{}_{\mathrm{=}}$$λ (s1), используя первую и вторую производные $${}_{\mathrm{}}$$сплайнов $${\mathrm{s0}}_{\mathrm{}}$$и s1.

d1s1 = fnder(fnbrk(s1,1));
d2s1 = fnder(d1s1);
d1s0 = fnder(fnbrk(s0,1));
d2s0 = fnder(d1s0);

Вычислите производные первого участка полинома сплайна, поскольку конечные условия применяются только к левому концу данных.

lam1 = a*fnval(d1s1, e) + b*fnval(d2s1,e);
lam0 = a*fnval(d1s0, e) + b*fnval(d2s0,e);

Теперь для $${}_{\mathrm{}}$$$${}_{\mathrm{}}$$вычисления конечного полностью подогнанного сплайна используйте λ 1 и λ 0.

pp = fncmb(s0,(c-lam1)/lam0,s1);

Постройте график сплайна для сравнения результатов посадки по умолчанию и конечных условий.

fnplt(pp,[594, 632])
hold on
fnplt(s1,'b--',[594, 632])
plot(x,y,'ro','MarkerFaceColor','r')
hold off
axis([594, 632, 0.62, 0.655])
legend 'Desired end conditions' ...
'Default end-conditions' 'Data' ...
    Location SouthEast

Стационарная точка рядом с первой точкой данных показывает, что конечные условия реализованы в посадке.

Использовать csape для соответствия многомерным данным с векторными значениями. Этот пример подходит для векторных данных с использованием различных конечных условий для каждой независимой переменной.

Сначала определите данные. Для этого примера определите 3-мерные векторы v над 2-мерным полем, с зажатыми условиями или предписанными уклонами в x направление и периодические конечные условия в y направление.

x = 0:4;
y = -2:2;

s2 = 1/sqrt(2);

v = zeros( 3, 7, 5 );
v(1,:,:) = [1 0 s2 1 s2 0 -1].'*[1 0 -1 0 1];
v(2,:,:) = [1 0 s2 1 s2 0 -1].'*[0 1 0 -1 0];
v(3,:,:) = [0 1 s2 0 -s2 -1 0].'*[1 1 1 1 1];

v является 3-мерным массивом с v(:,i+1,j) в качестве значения вектора в координате x(i),y(j). Две дополнительные записи в x размер задает значения уклона: точки данных v(:,1,j) и v(:,7,j) предоставить значение первой производной по линиям x = 0 и x = 4 для условий зажатого конца. В y размер, условия периодического окончания не требуют каких-либо дополнительных спецификаций.

Теперь вычислите многомерную интерполяцию кубического сплайна с помощью csape.

sph = csape({x,y},v,{'clamped','periodic'});

Чтобы нарисовать результат, сначала вычислите сплайн на соответствующем интервале.

values = fnval(sph,{0:.1:4,-2:.1:2});

surf(squeeze(values(1,:,:)), ...
squeeze(values(2,:,:)), squeeze(values(3,:,:)));

axis equal
axis off

Можно также вычислить и распечатать поверхность сплайна с помощью простой команды fnplt(sph). Обратите внимание, что v является 3-мерным массивом, и v(:,i+1,j) является 3-вектором, который должен соответствовать (x(i),y(j)), i=1:5, j=1:5. Дополнительно, в соответствии с conds{1} существование 'clamped', size(v,2) равно 7 (а не 5), и первая и последняя запись v(r,:,j) задайте значения конечного откоса.

В некоторых случаях необходимо указать конечные условия конечных условий. В этом двухмерном примере воспроизводится бикубический многочлен g (x, y) = x3y3 полной бикубической интерполяцией. Затем необходимо выполнить деривацию необходимых данных, включая значения конечных условий, непосредственно из g, чтобы упростить просмотр способа размещения значений конечных условий. Наконец, вы проверяете результат.

sites = {[0 1],[0 2]}; coefs = zeros(4, 4); coefs(1,1) = 1;
g = ppmak(sites,coefs);
Dxg = fnval(fnder(g,[1 0]),sites);
Dyg = fnval(fnder(g,[0 1]),sites);
Dxyg = fnval(fnder(g,[1 1]),sites);

f = csape(sites,[Dxyg(1,1),   Dxg(1,:),    Dxyg(1,2); ...
                 Dyg(:,1), fnval(g,sites), Dyg(:,2) ; ...
                 Dxyg(2,1),   Dxg(2,:),    Dxyg(2,2)], ...
                                          {'complete','complete'});
if any(squeeze(fnbrk(f,'c'))-coefs)
    disp( 'this is wrong' )
end