Интерполяция кубического сплайна
Примечание
Для более простого, но менее гибкого метода интерполяции кубических сплайнов воспользуйтесь приложением «Фитинг кривой» или fit и см. раздел О сглаживании сплайнов.
pp=csapi(x,y)x который принимает значения y(:,j) в x(j) для j=1:length(x). Ценности y(:,j) могут быть скалярами, векторами, матрицами и ND-массивами. Функция усредняет точки данных с одним и тем же сайтом данных, а затем сортирует их по своим сайтам. С x результирующие отсортированные участки данных, сплайн s удовлетворяет не-узловым концевым условиям, таким как
− 1) D3 (ы)
где D3s - третья производная s.
Если x - клеточный массив последовательностей x1, ..., xm длин n1, ..., nm, то y является массивом размера [n1,...,nm] (или размера [d,n1,...,nm] если интерполятор d-значение). В этом случае pp является ppform m-cubic spline interpolant s к таким данным. В частности,
i1,..., im)
с nl 1: nm.
Для выполнения операций интерполяции кубического сплайна, таких как вычисление, дифференциация, печать, используйте структуру pp. Дополнительные сведения см. в разделе fnval, fnder, fnplt функции.
values = csapi(x,y,xx)xx. Этот синтаксис совпадает с fnval(csapi(x,y),xx).
Эта команда по существу является функцией MATLAB ®spline, которая, в свою очередь, является урезанной версией подпрограммы Fortran CUBSPL в PGS, за исключением того, что csapi (и теперь также spline) принимает векторные данные и может обрабатывать данные с сеткой.
В этом примере показано, как использовать csapi команда из Toolbox™ Фитинг кривой (Curve Fitting) для построения интерполяций кубических сплайнов.
Интерполяция в две точки
Команда
values = csapi(x,y,xx)
возвращает значения в xx интерполяции кубического сплайна к заданным данным (x,y), используя условие «не-а-узел». Этот интерполятор является кусочно-кубической функцией с последовательностью разрывов x, кубические куски которых соединяются, образуя функцию с двумя непрерывными производными. Концевое условие «не а-узел» означает, что при первом и последнем разрыве салона даже третья производная непрерывна (вплоть до ошибки округления).
Задание только двух точек данных приводит к прямолинейному интерполятору.
x = [0 1]; y = [2 0]; xx = linspace(0,6,121); plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro') title('Interpolant to Two Points')
Интерполяция до трех точек
При указании трех точек данных функция выводит параболу.
x = [2 3 5]; y = [1 0 4]; plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro') title('Interpolant to Three Points')
Интерполяция до пяти точек
Если указать четыре или пять точек данных, функция выводит кубический сплайн.
x = [1 1.5 2 4.1 5]; y = [1 -1 1 -1 1]; plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro') title('Cubic Spline Interpolant to Five Points')
Вплоть до ошибок округления и при условии, что x - вектор, содержащий не менее четырех записей, оператор pp = csapi(x,y) поместить тот же сплайн в pp как и утверждение:
pp = fn2fm(spapi(augknt(x([1 3:(end-2) end]),4),x,y),'pp');
за исключением того, что описание сплайна, полученного этим вторым способом, не будет использовать разрыв в x(2) и x(n-1).
В качестве простого двухмерного примера постройте график бикубического сплайна, интерполированного в функцию Мексиканской шляпы:
x =.0001+[-4:.2:4];
y = -3:.2:3;
[yy,xx] = meshgrid(y,x);
r = pi*sqrt(xx.^2+yy.^2);
z = sin(r)./r;
bcs = csapi( {x,y}, z );
fnplt( bcs )
axis([-5 5 -5 5 -.5 1])
Поскольку MATLAB ® учитывает эту записьz(i,j) как значение при (x(j),y(i)), код сторнируется x и y в вызове для meshgrid. Вместо этого панель инструментов «Фитинг кривой» (Curve Fitting Toolbox) ® следует стандарту «Теория аппроксимации» (Approximation Theory), тогда какz(i,j) - значение при значении (x(i),y(j)).
Поэтому при печати значений такого двумерного сплайна с помощью MATLAB необходимо проявлять осторожность. mesh функция, как показано здесь:
xf = linspace(x(1),x(end),41);
yf = linspace(y(1),y(end),41);
mesh(xf, yf, fnval( bcs, {xf, yf}).')
Обратите внимание на использование транспонирования матрицы значений, полученных из fnval.
csapi является реализацией подпрограммы Fortran CUBSPL от PGS.
Алгоритм конструирует и решает соответствующую тридиагональную линейную систему, используя возможность разреженной матрицы MATLAB.
Алгоритм также использует условие неузлового конца, заставляя совпадать первый и второй полиномиальный отрезок интерполятора, а также второй-последний и последний полиномиальный отрезок.