Проверка цепи Маркова на эргодичность
Рассмотрим эту матрицу перехода с тремя состояниями.
].
Создайте цепочку Маркова, которая характеризуется матрицей перехода P.
P = [0 1 0; 0 0 1; 1 0 0]; mc = dtmc(P);
Определите, эргодична ли цепочка Маркова.
isergodic(mc)
ans = logical
0
0 указывает, что цепь Маркова не эргодична.
Визуально подтвердить, что цепь Маркова не эргодична, построив свои собственные значения на комплексной плоскости.
figure; eigplot(mc);
Все три собственных значения имеют модуль 1. Этот результат указывает на то, что период марковской цепи составляет три. Периодические цепи Маркова не эргодичны.
По теореме Виландта [3] цепочка Маркова mc эргодичен тогда и только тогда, когда все элементы Pm положительны для m = (n-1) 2 + 1. P - матрица перехода (mc.P) и n - число состояний (mc.NumStates). Для определения эргодичности, isergodic вычисляет Pm.
По теореме Перрона - Фробениуса [2] эргодические цепи Маркова имеют уникальные ограничивающие распределения. То есть они имеют уникальные стационарные распределения, к которым сходится каждое начальное распределение. Эргодические униханы, состоящие из одного эргодического класса плюс переходных классов, также имеют уникальные предельные распределения (с нулевой массой вероятности в переходных классах).
[1] Галлагер, Р. Г. Стохастические процессы: теория для применения. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 2013.
[2] Рог, R. и К. Р. Джонсон. Матричный анализ. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 1985.
[3] Виландт, Х. «Unzerlegbare, Nicht Negativen Matrizen». Mathematische Zeitschrift. Том 52, 1950, стр. 642-648.