Рассмотрим эту теоретическую, правостохастическую матрицу перехода стохастического процесса.

Элемент $${}_{\mathrm{Pij}}$$ - это вероятность того, что процесс переходит в состояние j в момент времени t + 1, учитывая, что он находится в состоянии i в момент времени t, для всех t.

Создайте цепочку Маркова, которая характеризуется матрицей перехода P.

P = [0.5 0.5 0 0; 0.5 0 0.5 0; 0 0 0 1; 0 0 1 0];
mc = dtmc(P);

mc является dtmc объект, представляющий цепь Маркова.

Отображение количества состояний в цепочке Маркова.

numstates = mc.NumStates

numstates = 4

Постройте направленный график цепи Маркова.

figure;
graphplot(mc);

Обратите внимание, что состояния 3 и 4 образуют класс поглощения, в то время как состояния 1 и 2 являются переходными.

Рассмотрим эту матрицу перехода, в которой элемент $$(i,j$$) является наблюдаемым числом раз, когда состояние i переходит в состояние j.

Например, $${}_{\mathrm{}\mathrm{P32}}\mathrm{=}$$ 7 подразумевает, что состояние 3 переходит в состояние 2 семь раз.

P = [16 2  3  13;
     5  11 10 8;
     9  7  6  12;
     4  14 15 1];

Создайте цепочку Маркова, которая характеризуется матрицей перехода P.

mc = dtmc(P);

Отображение нормализованной матрицы перехода, сохраненной в mc. Убедитесь, что элементы в строках суммируют 1 для всех строк.

mc.P

ans = 4×4

    0.4706    0.0588    0.0882    0.3824
    0.1471    0.3235    0.2941    0.2353
    0.2647    0.2059    0.1765    0.3529
    0.1176    0.4118    0.4412    0.0294

sum(mc.P,2)

ans = 4×1

     1
     1
     1
     1

Постройте направленный график цепи Маркова.

figure;
graphplot(mc);

Рассмотрим двухгосударственный бизнес-цикл реального валового национального продукта (ВНП) США в [3] стр. 697. В момент времени t реальный ВНП может находиться в состоянии расширения или сокращения. Предположим, что следующие операторы верны в течение периода выборки.

Создайте матрицу перехода для модели.

p11 = 0.90;
p22 = 0.75;

P = [p11 (1 - p11); (1 - p22) p22];

Создайте цепочку Маркова, которая характеризуется матрицей перехода P. Пометьте два состояния.

mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Contraction"])

mc = 
  dtmc with properties:

             P: [2x2 double]
    StateNames: ["Expansion"    "Contraction"]
     NumStates: 2

Постройте направленный график цепи Маркова. Укажите вероятность перехода с помощью краевых цветов.

figure;
graphplot(mc,'ColorEdges',true);

Чтобы помочь вам изучить dtmc функции объекта, mcmix создает цепочку Маркова из матрицы случайного перехода, используя только заданное число состояний.

Создайте цепочку Маркова из пяти состояний из матрицы случайного перехода.

rng(1); % For reproducibility
mc = mcmix(5)

mc = 
  dtmc with properties:

             P: [5x5 double]
    StateNames: ["1"    "2"    "3"    "4"    "5"]
     NumStates: 5

mc является dtmc объект.

Постройте график собственных значений матрицы перехода на комплексной плоскости.

figure;
eigplot(mc)

Этот спектр определяет структурные свойства цепи Маркова, такие как периодичность и скорость смешивания.

Рассмотрим авторегрессию с переключением Маркова (msVAR) модель ВВП США, содержащая четыре экономических режима: депрессию, рецессию, стагнацию и экспансию. Чтобы оценить вероятности перехода механизма переключения, необходимо предоставить dtmc модель с неизвестными записями матрицы перехода в msVAR рамки.

Создать цепочку Маркова 4-го режима с неизвестной матрицей перехода (все NaN записи). Укажите имена режимов.

P = nan(4);
statenames = ["Depression" "Recession" ...
    "Stagnation" "Expansion"];

mcUnknown = dtmc(P,'StateNames',statenames)

mcUnknown = 
  dtmc with properties:

             P: [4x4 double]
    StateNames: ["Depression"    "Recession"    "Stagnation"    "Expansion"]
     NumStates: 4

mcUnknown.P

ans = 4×4

   NaN   NaN   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN   NaN

Предположим, экономическая теория утверждает, что экономика США никогда не переходит к экспансии из рецессии или депрессии. Создайте цепочку Маркова 4-го режима с частично известной матрицей перехода, представляющей ситуацию.

P(1,4) = 0;
P(2,4) = 0;

mcPartial = dtmc(P,'StateNames',statenames)

mcPartial = 
  dtmc with properties:

             P: [4x4 double]
    StateNames: ["Depression"    "Recession"    "Stagnation"    "Expansion"]
     NumStates: 4

mcPartial.P

ans = 4×4

   NaN   NaN   NaN     0
   NaN   NaN   NaN     0
   NaN   NaN   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN   NaN

estimate функция msVAR рассматривает известные элементы mcPartial.P как ограничения равенства во время оптимизации.

Дополнительные сведения о моделях динамической регрессии с коммутацией Маркова см. в разделе msVAR.