В этом примере показано, как создать данные из известной модели, подогнать модель диффузного состояния-пространства к данным, а затем спрогнозировать состояния и состояния наблюдений из подогнанной модели.
Предположим, что скрытый процесс содержит модель AR (2) и MA (1). Существует 50 периодов, и процесс MA (1) выпадает из модели для последних 25 периодов. Следовательно, уравнение состояния для первых 25 периодов
и за последние 25 периодов, это
где
и
являются гауссовыми со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Предполагая, что серия начинается с 1,5 и 1 соответственно, генерируйте случайную серию из 50 наблюдений из
и 
T = 50; ARMdl = arima('AR',{0.7,-0.2},'Constant',0,'Variance',1); MAMdl = arima('MA',0.6,'Constant',0,'Variance',1); x0 = [1.5 1; 1.5 1]; rng(1); x = [simulate(ARMdl,T,'Y0',x0(:,1)),... [simulate(MAMdl,T/2,'Y0',x0(:,2));nan(T/2,1)]];
Последние 25 значений для моделируемых данных MA (1): NaN значения.
Скрытые процессы измеряются с использованием
за первые 25 периодов, и
для последних 25 периодов, где
- гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Использовать процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = 2*sum(x','omitnan')'+randn(T,1);
В совокупности скрытый процесс и уравнения наблюдения составляют модель состояния-пространства. Если коэффициенты являются неизвестными параметрами, модель state-space имеет значение
![$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}\\
{{x_{3,t}}}\\
{{x_{4,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&{{\theta _1}}\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&0\\
0&1\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_{1,t}}}\\
{{u_{2,t}}}
\end{array}} \right]\\
{y_t} = a({x_{1,t}} + {x_{3,t}}) + {\varepsilon _t}
\end{array}$$](../examples/econ/win64/ForecastTimeVaryingDiffuseStateSpaceModelExample_eq06384238688281611023.png)
за первые 25 периодов,
![$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$$](../examples/econ/win64/ForecastTimeVaryingDiffuseStateSpaceModelExample_eq06140899585903970043.png)
на период 26, и
![$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}\\
1&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$$](../examples/econ/win64/ForecastTimeVaryingDiffuseStateSpaceModelExample_eq09337055536091307358.png)
за последние 24 периода.
Запись функции, указывающей, как параметры в params сопоставить с матрицами модели state-space, начальными значениями состояния и типом состояния.
% Copyright 2015 The MathWorks, Inc. function [A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = diffuseAR2MAParamMap(params,T) %diffuseAR2MAParamMap Time-variant diffuse state-space model parameter %mapping function % % This function maps the vector params to the state-space matrices (A, B, % C, and D) and the type of state (StateType). From periods 1 to T/2, the % state model is an AR(2) and an MA(1) model, and the observation model is % the sum of the two states. From periods T/2 + 1 to T, the state model is % just the AR(2) model. The AR(2) model is diffuse. A1 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 params(3); 0 0 0 0]}; B1 = {[1 0; 0 0; 0 1; 0 1]}; C1 = {params(4)*[1 0 1 0]}; Mean0 = []; Cov0 = []; StateType = [2 2 0 0]; A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]}; B2 = {[1; 0]}; A3 = {[params(1) params(2); 1 0]}; B3 = {[1; 0]}; C3 = {params(5)*[1 0]}; A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)]; B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)]; C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)]; D = 1; end
Сохранить этот код как файл с именем diffuseAR2MAParamMap на пути MATLAB ®.
Создание модели диффузного состояния-пространства путем передачи функции diffuseAR2MAParamMap как дескриптор функции для dssm.
Mdl = dssm(@(params)diffuseAR2MAParamMap(params,T));
dssm неявно создает модель диффузного состояния-пространства. Обычно невозможно проверить неявно созданные модели диффузного состояния и пространства.
Для оценки параметров передайте наблюдаемые ответы (yКому estimate. Укажите произвольный набор положительных начальных значений для неизвестных параметров.
params0 = 0.1*ones(5,1); EstMdl = estimate(Mdl,y,params0);
Method: Maximum likelihood (fminunc)
Effective Sample size: 48
Logarithmic likelihood: -110.313
Akaike info criterion: 230.626
Bayesian info criterion: 240.186
| Coeff Std Err t Stat Prob
---------------------------------------------------
c(1) | 0.44041 0.27687 1.59069 0.11168
c(2) | 0.03949 0.29585 0.13349 0.89380
c(3) | 0.78364 1.49222 0.52515 0.59948
c(4) | 1.64260 0.66736 2.46134 0.01384
c(5) | 1.90409 0.49374 3.85648 0.00012
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | -0.81932 0.46706 -1.75420 0.07940
x(2) | -0.29909 0.45939 -0.65107 0.51500
EstMdl является dssm модель, содержащая оцененные коэффициенты. Поверхности правдоподобия моделей состояния-пространства могут содержать локальные максимумы. Поэтому попробуйте использовать несколько начальных значений параметров или рассмотрите возможность использования refine.
Прогнозирование наблюдений и определение пяти периодов в будущем. Также получите показатели изменчивости для прогнозов.
numPeriods = 5; [fY,yMSE,FX,XMSE] = forecast(EstMdl,numPeriods,y);
forecast использование EstMdl.A{end}, ..., EstMdl.D{end} для прогнозирования модели диффузного состояния и пространства. fY и yMSE являются numPeriods-по-1 числовые векторы прогнозируемых наблюдений и дисперсии прогнозируемых наблюдений соответственно. FX и XMSE являются numPeriods-по-2 матрицы прогнозов состояния и дисперсии прогнозов состояния. Столбцы указывают состояние, а строки - период. Для всех аргументов вывода последняя строка соответствует последнему прогнозу.
Постройте графики наблюдений, истинных состояний, прогнозируемых наблюдений и прогнозов состояния.
figure; plot(T-10:T,x(T-10:T,1),'-k',T+1:T+numPeriods,FX(:,1),'-r',... T-10:T,y(T-10:T),'--g',T+1:T+numPeriods,fY,'--b',... T:T+1,[y(T),fY(1);x(T,1),FX(1,1)]',':k','LineWidth',2); xlabel('Period') ylabel('States and Observations') legend({'True state values','State forecasts',... 'Observed responses','Forecasted responses'});
