Класс: dssm
Прогнозные состояния и наблюдения моделей диффузного состояния и пространства
[ возвращает прогнозируемые наблюдения (Y,YMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,Y0)Y) и их соответствующие отклонения (YMSE) от прогнозирования модели диффузного состояния-пространства Mdl использование numPeriods прогнозный горизонт и выборочные наблюдения Y0.
[ использует дополнительные параметры, указанные одним или несколькими Y,YMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,Y0,Name,Value)Name,Value аргументы пары. Например, для моделей пространства состояний, которые включают компонент линейной регрессии в модель наблюдения, включают данные предсказателя в выборке, данные предсказателя для горизонта прогноза и коэффициент регрессии.
Предположим, что скрытый процесс - это случайная прогулка. Уравнение состояния
ut,
где - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Создайте случайную серию из 100 наблюдений из , предполагая, что серия начинается с 1.5.
T = 100;
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
u = randn(T,1);
x = cumsum([x0;u]);
x = x(2:end);Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения
αt,
где - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,75. В совокупности скрытый процесс и уравнения наблюдения составляют модель состояния-пространства.
Использовать процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = x + 0.75*randn(T,1);
Укажите четыре матрицы коэффициентов.
A = 1; B = 1; C = 1; D = 0.75;
Создайте модель диффузного состояния-пространства, используя матрицы коэффициентов. Укажите, что начальное распределение состояний является диффузным.
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',2)Mdl =
State-space model type: dssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = x1(t-1) + u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 Inf
State types
x1
Diffuse
Mdl является dssm модель. Убедитесь, что модель правильно задана с помощью отображения в окне команд.
Прогнозирование наблюдений на 10 периодов в будущем и оценка среднеквадратических ошибок прогнозов.
numPeriods = 10; [ForecastedY,YMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,y);
Постройте график прогнозов с ответами в выборке и 95% интервалами прогноза типа Wald.
ForecastIntervals(:,1) = ForecastedY - 1.96*sqrt(YMSE); ForecastIntervals(:,2) = ForecastedY + 1.96*sqrt(YMSE); figure plot(T-20:T,y(T-20:T),'-k',T+1:T+numPeriods,ForecastedY,'-.r',... T+1:T+numPeriods,ForecastIntervals,'-.b',... T:T+1,[y(end)*ones(3,1),[ForecastedY(1);ForecastIntervals(1,:)']],':k',... 'LineWidth',2) hold on title({'Observed Responses and Their Forecasts'}) xlabel('Period') ylabel('Responses') legend({'Observations','Forecasted observations','95% forecast intervals'},... 'Location','Best') hold off
Интервалы прогноза расширяются, поскольку процесс не является статическим.
Предположим, что интерес представляет линейная зависимость между уровнем безработицы и номинальным валовым национальным продуктом (нВНП). Предположим далее, что уровень безработицы является серией AR (1). Символично и в форме state-space модель
где:
- уровень безработицы в момент времени t.
- наблюдаемое изменение уровня безработицы, дефлируемое возвратом nGNP ().
- гауссова серия возмущений состояния, имеющих среднее значение 0 и неизвестное стандартное отклонение .
Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит, среди прочего, уровень безработицы и ряды nGNP.
load Data_NelsonPlosserВыполните предварительную обработку данных, взяв натуральный логарифм ряда nGNP и удалив начальный NaN значения из каждой серии.
isNaN = any(ismissing(DataTable),2); % Flag periods containing NaNs gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN); y = diff(DataTable.UR(~isNaN)); T = size(gnpn,1); % The sample size Z = price2ret(gnpn);
В этом примере используется серия без NaN значения. Однако, используя структуру фильтра Калмана, программное обеспечение может разместить серии, содержащие отсутствующие значения.
Определите, насколько хорошо модель прогнозирует наблюдения, удалив последние 10 наблюдений для сравнения.
numPeriods = 10; % Forecast horizon isY = y(1:end-numPeriods); % In-sample observations oosY = y(end-numPeriods+1:end); % Out-of-sample observations ISZ = Z(1:end-numPeriods); % In-sample predictors OOSZ = Z(end-numPeriods+1:end); % Out-of-sample predictors
Укажите матрицы коэффициентов.
A = NaN; B = NaN; C = 1;
Создание модели состояния-пространства с помощью dssm путем подачи матриц коэффициентов и указания, что значения состояний происходят из диффузного распределения. Диффузная спецификация указывает на полное незнание моментов начального распределения.
StateType = 2;
Mdl = dssm(A,B,C,'StateType',StateType);Оцените параметры. Укажите компонент регрессии и его начальное значение для оптимизации с помощью 'Predictors' и 'Beta0' аргументы пары имя-значение соответственно. Просмотрите оценки и всю диагностическую информацию по оптимизации. Ограничьте оценку всеми положительными, вещественными числами.
params0 = [0.3 0.2]; % Initial values chosen arbitrarily Beta0 = 0.1; [EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,'Beta0',Beta0,... 'lb',[-Inf 0 -Inf]);
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Effective Sample size: 60
Logarithmic likelihood: -110.477
Akaike info criterion: 226.954
Bayesian info criterion: 233.287
| Coeff Std Err t Stat Prob
--------------------------------------------------------
c(1) | 0.59436 0.09408 6.31738 0
c(2) | 1.52554 0.10758 14.17991 0
y <- z(1) | -24.26161 1.55730 -15.57930 0
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | 2.54764 0 Inf 0
EstMdl является dssm и доступ к его свойствам можно получить с помощью точечной нотации.
Прогнозные наблюдения на горизонте прогноза. EstMdl не сохраняет набор данных, поэтому необходимо передать его в соответствующие аргументы пары имя-значение.
[fY,yMSE] = forecast(EstMdl,numPeriods,isY,'Predictors0',ISZ,... 'PredictorsF',OOSZ,'Beta',estParams(end));
fY является вектором 10 на 1, содержащим прогнозируемые наблюдения, и yMSE - вектор 10 на 1, содержащий дисперсии прогнозируемых наблюдений.
Получение 95% интервалов прогноза типа Wald. Постройте график прогнозируемых наблюдений с их истинными значениями и интервалами прогноза.
ForecastIntervals(:,1) = fY - 1.96*sqrt(yMSE); ForecastIntervals(:,2) = fY + 1.96*sqrt(yMSE); figure h = plot(dates(end-numPeriods-9:end-numPeriods),isY(end-9:end),'-k',... dates(end-numPeriods+1:end),oosY,'-k',... dates(end-numPeriods+1:end),fY,'--r',... dates(end-numPeriods+1:end),ForecastIntervals,':b',... dates(end-numPeriods:end-numPeriods+1),... [isY(end)*ones(4,1),[oosY(1);ForecastIntervals(1,:)';fY(1)]],':k',... 'LineWidth',2); xlabel('Period') ylabel('Change in unemployment rate') legend(h([1,3,4]),{'Observations','Forecasted responses',... '95% forecast intervals'}) title('Observed and Forecasted Changes in the Unemployment Rate')
Предположим, что скрытый процесс - это случайная прогулка. Уравнение состояния
ut,
где - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Создайте случайную серию из 100 наблюдений из , предполагая, что серия начинается с 1.5.
T = 100;
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
u = randn(T,1);
x = cumsum([x0;u]);
x = x(2:end);Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения
αt,
где - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,75. В совокупности скрытый процесс и уравнения наблюдения составляют модель состояния-пространства.
Использовать процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = x + 0.75*randn(T,1);
Укажите четыре матрицы коэффициентов.
A = 1; B = 1; C = 1; D = 0.75;
Создайте модель диффузного состояния-пространства, используя матрицы коэффициентов. Укажите, что начальное распределение состояний является диффузным.
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',2)Mdl =
State-space model type: dssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = x1(t-1) + u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 Inf
State types
x1
Diffuse
Mdl является dssm модель. Убедитесь, что модель правильно задана с помощью отображения в окне команд.
Прогноз указывает 10 периодов в будущем и оценивает среднеквадратичные ошибки прогнозов.
numPeriods = 10; [~,~,ForecastedX,XMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,y);
Постройте график прогнозов с состояниями в выборке и 95% интервалами прогноза типа Wald.
ForecastIntervals(:,1) = ForecastedX - 1.96*sqrt(XMSE); ForecastIntervals(:,2) = ForecastedX + 1.96*sqrt(XMSE); figure plot(T-20:T,x(T-20:T),'-k',T+1:T+numPeriods,ForecastedX,'-.r',... T+1:T+numPeriods,ForecastIntervals,'-.b',... T:T+1,[x(end)*ones(3,1),[ForecastedX(1);ForecastIntervals(1,:)']],':k',... 'LineWidth',2) hold on title({'State Values and Their Forecasts'}) xlabel('Period') ylabel('State value') legend({'State Values','Forecasted states','95% forecast intervals'},... 'Location','Best') hold off
Интервалы прогноза расширяются, поскольку процесс не является статическим.
Mdl не сохраняет данные ответа, данные предиктора и коэффициенты регрессии. При необходимости введите их с помощью соответствующих аргументов пары «ввод-значение».
Фильтр Калмана принимает отсутствующие данные, не обновляя отфильтрованные оценки состояния, соответствующие отсутствующим наблюдениям. Другими словами, предположим, что отсутствует наблюдение в периоде T. Тогда прогноз состояния для периода t, основанный на предыдущих наблюдениях t-1, и отфильтрованное состояние для периода t эквивалентны.
[1] Дурбин Дж., и С. Дж. Копман. Анализ временных рядов по методам пространства состояний. 2-й ред. Оксфорд: Oxford University Press, 2012.