Применение рекурсивных регрессий с использованием вложенных окон для поиска нестабильности в объяснительной модели реального ВНП на период, охватывающий Вторую мировую войну.

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера.

load Data_NelsonPlosser

Временные ряды в наборе данных содержат ежегодные макроэкономические измерения в период с 1860 по 1970 год. Для получения дополнительных сведений, списка переменных и описаний введите Description в командной строке.

В нескольких сериях отсутствуют данные. Фокусируйте выборку на измерениях с 1915 по 1970 год. Определите индекс точки останова, соответствующий 1945 году, концу войны.

span = (1915 <= dates) & (dates <= 1970);
bp = find(dates(span) == 1945);

Рассмотрим модель множественной линейной регрессии

Соберите переменные модели в табличный массив. Расположите предикторы в первых трех столбцах и ответ в последнем столбце. Вычислите количество коэффициентов в модели.

Mdl = DataTable(span,[4,5,10,1]);
numCoeff = size(Mdl,2); % Three predictors and an intercept

Оцените коэффициенты, используя рекурсивные регрессии, и верните отдельные графики для итеративных оценок. Определите итерацию, соответствующую окончанию войны.

recreg(Mdl);

bpIter = bp - numCoeff

bpIter = 27

По умолчанию recreg формирует подприборы с помощью вложенных окон. Окончание войны (1945) происходит на 27-й итерации.

Все коэффициенты показывают некоторую начальную переходную нестабильность во время периода «пригорания» (см. Tip). Сюжет WR кажется стабильным, поскольку линия относительно плоская. Однако сюжеты E, IPIи перехват (Const) показать нестабильность, особенно сразу после итерации 27.

Проверка оценок коэффициентов на нестабильность в модели спроса на продукты питания во время мировой войны II. Реализация прямой и обратной рекурсивных регрессий в скользящем окне.

Загрузите набор данных о потреблении продовольствия в США, который содержит ежегодные измерения с 1927 по 1962 год с отсутствующими данными из-за войны.

load Data_Consumption

Для получения дополнительной информации о данных введите Description в командной строке.

Постройте график серии.

P = Data(:,1); % Food price index
I = Data(:,2); % Disposable income index
Q = Data(:,3); % Food consumption index 

figure;
plot(dates,[P I Q],'o-')
axis tight
grid on
xlabel('Year')
ylabel('Index')
title('{\bf Time Series Plot of All Series}')
legend({'Price','Income','Consumption'},'Location','SE')

Измерения отсутствуют с 1942 по 1947 год, что соответствует Второй мировой войне.

Чтобы проверить эластичность, примените преобразование журнала к каждой серии.

LP = log(P);
LI = log(I);
LQ = log(Q);

Рассмотрим модель, в которой потребление логарифма является линейной функцией логарифмов цен на продукты питания и доходов. Другими словами,

$${}_{\mathrm{\epsilon t}}$$ Гауссовская случайная переменная со средним 0 и стандартным отклонением $${}^{\mathrm{\sigma 2}}$$.

Определить индекс точки останова в конце войны, 1945. Игнорировать пропущенные годы с отсутствующими данными.

numCoeff = 4; % Three predictors and an intercept
T = numel(dates(~isnan(P))); % Sample size
bpIdx = find(dates(~isnan(P)) >= 1945,1) - numCoeff

bpIdx = 12

12-я итерация соответствует окончанию войны.

Постройте прямой график оценок коэффициента рекурсивной регрессии с использованием скользящего окна размера 1/4 размера выборки. Указать для построения графика коэффициенты LP и LI только на том же рисунке.

X = [LP LI];
y = LQ;
window = ceil(T*1/4);
recreg(X,y,'Window',window,'Plot','combined','PlotVars',[0 1 1],...
    'VarNames',{'Log-price' 'Log-income'});

Постройте прямой график оценок коэффициента рекурсивной регрессии с использованием скользящего окна размера 1/3 размера выборки.

window = ceil(T*1/3);
recreg(X,y,'Window',window,'Plot','combined','PlotVars',[0 1 1],...
    'VarNames',{'Log-price' 'Log-income'});

Постройте прямой график оценок коэффициента рекурсивной регрессии с использованием скользящего окна размера 1/2 размера выборки.

window = ceil(T*1/2);
recreg(X,y,'Window',window,'Plot','combined','PlotVars',[0 1 1],...
    'VarNames',{'Log-price' 'Log-income'});

По мере увеличения размера окна линии показывают меньшую волатильность, но коэффициенты проявляют нестабильность.

Если модель линейной регрессии нарушает предположения классической линейной модели, то стандартные ошибки коэффициента OLS неверны. Однако recreg имеет варианты оценки коэффициентов и стандартных ошибок, которые устойчивы к гетероскедастическим или автокоррелированным инновациям.

Смоделировать ряд из этой кусочно-регрессионной модели с AR (1) ошибками, коэффициент регрессии которых изменяется в момент времени 51.

$${}_{\mathrm{\alpha t}}$$ - серия гауссовых инноваций со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,5. $${}_{\mathrm{xt}}$$ - гауссов со средним значением 1 и стандартным отклонением 0,25.

rng(1); % For reproducibility
T = 100;
muX = 1;
sigmaX = 0.25;
x = sigmaX*randn(T,1) + muX;
ar = 0.6;
sigma = 0.5;
c = 5;
b = [3 -1];
y = zeros(T,1);
Mdl1 = regARIMA('AR',ar,'Variance',sigma,'Intercept',c,'Beta',b(1));
y(1:T/2) = simulate(Mdl1,T/2,'X',x(1:T/2));
Mdl2 = regARIMA('AR',ar,'Variance',sigma,'Intercept',c,'Beta',b(2));
y((T/2 + 1):T) = simulate(Mdl2,T/2,'X',x((T/2 + 1):T));

Оценка коэффициентов рекурсивной регрессии с использованием ОЛС.

[CoeffOLS,SEOLS] = recreg(x,y,'Plot','separate');

После переходных эффектов, 5 находится в пределах доверительных границ оценок перехвата. Есть незначительный, но стойкий шок на итерации 50. Оценки коэффициентов показывают структурное изменение после итерации 60.

Чтобы учесть автокоррелированные инновации, оцените коэффициенты рекурсивной регрессии с использованием OLS, но с надежными стандартными ошибками Newey-West. Для оценки стандартных ошибок HAC используется схема квадратично-спектрального взвешивания.

hacOptions.Weights = 'QS';
[CoeffNW,SENW] = recreg(x,y,'Estimator','hac','Options',hacOptions,...
    'Plot','separate');

Оценки коэффициентов HAC аналогичны оценкам OLS. Доверительные границы немного отличаются, поскольку стандартные оценщики ошибок отличаются.