Для оценки сезонного компонента временного ряда можно использовать сезонный фильтр (скользящее среднее). Например, сезонные скользящие средние значения играют большую роль в сезонной программе регулирования X-11-ARIMA Statistics Canada [1] и сезонной программе регулирования X-12-ARIMA американского Бюро переписи [2].
Для наблюдений, сделанных в период k, k = 1,..., s (где s - известная периодичность сезонности), сезонный фильтр - это свёртка весов и наблюдений, сделанных в течение прошлого и будущего периодов k. Например, учитывая ежемесячные данные (s = 12), сглаженное январское наблюдение является симметричным взвешенным средним январских данных.
В общем случае для временного ряда xt = 1,...,N сезонно сглаженное наблюдение в момент времени k + js, j = 1,..., N/s - 1, равно
| ) s, | (1) |
Двумя наиболее часто используемыми сезонными фильтрами являются стабильный сезонный фильтр и сезонный фильтр Sn × m.
Используйте стабильный сезонный фильтр, если сезонный уровень не изменяется с течением времени или если имеется короткий временной ряд (менее 5 лет).
Пусть nk - общее число наблюдений, сделанных в периоде k. Стабильный сезонный фильтр задается
+ js,
для k = 1,..., s и s˜k=s˜k−s для k > s.
∑k=1ss˜k = (1/с). Для идентификации из компонента тренда,
Используйте , чтобы оценить сезонный компонент для модели аддитивного разложения (то есть ограничить компонент колебаниями около нуля).
Используйте , чтобы оценить сезонный компонент для модели мультипликативной декомпозиции (то есть ограничить компонент колебаниями около единицы).
Для применения сезонного фильтра Sn × m следует использовать симметричное скользящее среднее m-term. Это эквивалентно взятию симметричного, неравновзвешенного скользящего среднего с n + m - 1 слагаемыми (то есть использовать − 1 )/2 в уравнении 1).
Фильтр S3 × 3 имеет пять членов с весами
Предположим, что у вас есть ежемесячные данные за 10 лет. Пусть Janyy обозначает значение, наблюдаемое в январе 20yy. Отфильтрованное значение S3 × 3 для января 2005
Jan05 + Jan06 + Jan07)].
Аналогично, фильтр S3 × 5 имеет семь членов с весами
При использовании симметричного фильтра наблюдения теряются в начале и конце ряда. Для предотвращения потери данных наблюдения можно применять асимметричные веса на концах серии.
Для центрирования сезонной оценки определите скользящее среднее сезонно отфильтрованной серии, Разумный выбор для весов 1/4q для j = ± q 1/2q в противном случае. Здесь q = 2 для квартальных данных (среднее за 5 периодов) или q = 6 для ежемесячных данных (среднее за 13 периодов).
Для идентификации из компонента тренда,
Используйте , чтобы оценить сезонный компонент аддитивной модели (то есть ограничить колебание компонента приблизительно нулем).
Используйте , чтобы оценить сезонный компонент мультипликативной модели (то есть ограничить компонент колебаниями приблизительно около единицы).
[1] Dagum, E. B. Сезонный метод регулирования X-11-ARIMA. Номер 12-564E. Статистическое управление Канады, Оттава, 1980 год.
[2] Финдли, Д. Ф., Б. С. Монселл, У. Р. Белл, М. К. Отто и Б. -С. Чен. «Новые возможности и методы программы X-12-ARIMA Сезонного Регулирования». Журнал деловой и экономической статистики. Том 16, номер 2, 1998, стр. 127-152.