Шаг 1. Укажите модель GARCH.

Определите модель GARCH (1,1) $${}_{}\epsilon t{}_{}{}_{}=\sigma tzt$$, где распределение $${}_{}$$zt Гауссовское и

Mdl = garch('Constant',0.01,'GARCH',0.7,'ARCH',0.25)

Mdl = 
  garch with properties:

     Description: "GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               Q: 1
        Constant: 0.01
           GARCH: {0.7} at lag [1]
            ARCH: {0.25} at lag [1]
          Offset: 0

Шаг 2. Моделирование из модели без использования данных предварительной выборки.

Моделирование пяти путей длиной 100 из модели GARCH (1,1) без указания каких-либо предварительных нововведений или условных отклонений. Отображение первой условной дисперсии для каждого из пяти путей выборки. Моделируемая модель не имеет среднего смещения, поэтому серия ответов является серией инноваций .

rng default; % For reproducibility
[Vn,Yn] = simulate(Mdl,100,'NumPaths',5);

Vn(1,:) % Display variances

ans = 1×5

    0.1645    0.3182    0.4051    0.1872    0.1551

figure
subplot(2,1,1)
plot(Vn)
xlim([0,100])
title('Conditional Variances')

subplot(2,1,2)
plot(Yn)
xlim([0,100])
title('Innovations')

Начальные условные отклонения различаются для каждой реализации, поскольку не были указаны данные предварительной выборки.

Шаг 3. Моделирование из модели с использованием данных предварительной выборки.

Смоделировать пять путей длиной 100 от модели, указав один необходимый предварительный пример инноваций и условной дисперсии. Отображение первой условной дисперсии для каждого из пяти путей выборки.

rng default;
[Vw,Yw] = simulate(Mdl,100,'NumPaths',5,...
    'E0',0.05,'V0',0.001);
 
Vw(1,:)

ans = 1×5

    0.0113    0.0113    0.0113    0.0113    0.0113

 
figure
subplot(2,1,1)
plot(Vw)
xlim([0,100])
title('Conditional Variances')
 
subplot(2,1,2)
plot(Yw)
xlim([0,100])
title('Innovations')

Все пять путей выборки имеют одинаковую начальную условную дисперсию, рассчитанную с использованием данных предварительной выборки.

Следует отметить, что даже при одинаковой начальной дисперсии реализация ряда инноваций имеет различные начальные точки. Это связано с тем, что каждый $${}_{\mathrm{\alpha 1}}$$ является случайным выводом из гауссова распределения со средним значением 0 и дисперсией $${\mathrm{start1}}_{\mathrm{}}=\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}$$0,0113 .

Шаг 4. Посмотрите на безусловные отклонения.

Смоделировать 10000 путей выборки длиной 500 от указанной модели GARCH. Постройте график выборочных безусловных отклонений моделирования Монте-Карло и сравните их с теоретической безусловной дисперсией.

sig2 = 0.01/(1-0.7-0.25);

rng default;
[V,Y] = simulate(Mdl,500,'NumPaths',10000);

figure
plot(var(Y,0,2),'Color',[.7,.7,.7],'LineWidth',1.5)
xlim([0,500])
hold on
plot(1:500,ones(500,1)*sig2,'k--','LineWidth',2)
legend('Simulated','Theoretical','Location','NorthWest')
title('Unconditional Variance')
hold off

Смоделированные безусловные дисперсии колеблются вокруг теоретической безусловной дисперсии.