Байесовская линейная регрессия

Линейная регрессия является статистическим инструментом, используемым для:

Изучите линейные зависимости или влияния предикторных или объяснительных переменных на переменные ответа.
Прогнозировать или прогнозировать будущие ответы с учетом будущих данных предиктора.

Модель множественной линейной регрессии (MLR)

$_{yt} =_{} {xtβ}_{} +$ αt.

Для времени t = 1,...,T:

_yt - наблюдаемый ответ.
_xt - вектор строки 1-by- (p + 1) наблюдаемых значений p предикторов. Чтобы разместить пересечение модели, _x1t = 1 для всех t.
β - вектор (p + 1) -by-1-столбца коэффициентов регрессии, соответствующих переменным, составляющим столбцы _xt.
_{δ t} - случайное возмущение, которое имеет среднее значение ноль и Cov (λ) = Λ. В общем, Λ - это симметрическая, положительная определенная матрица T-by-T. Для простоты предположим, что возмущения некоррелированы и имеют общую дисперсию, то есть Λ = ^start2IT × T.

Значения β представляют ожидаемый предельный вклад соответствующих предикторов в _yt. Когда предиктор _xj увеличивается на одну единицу, ожидается, что y увеличится на _βj единиц, предполагая, что все другие переменные остаются фиксированными. _{δ t} - случайная разница между истинным и ожидаемым откликом в момент времени t.

Классический и байесовский анализы

Чтобы изучить линейные влияния предикторов на отклик, или построить прогностическую MLR, необходимо сначала оценить параметры β и start2. Частые статистики используют классический подход к оценке, то есть рассматривают параметры как фиксированные, но неизвестные величины. Популярные инструменты оценки частотности включают наименьшие квадраты и максимальную вероятность. Если возмущения являются независимыми, гомоскедастическими и гауссовыми или нормальными, то наименьшие квадраты и максимальная вероятность дают эквивалентные оценки. Выводы, такие как доверительные интервалы на оценках параметров или интервалы прогнозирования, основаны на распределении возмущений. Дополнительные сведения о частотном подходе к анализу MLR см. в разделе Регрессия временных рядов I: Линейные модели или [6], гл. 3. Большинство инструментов в Econometrics Toolbox™ являются частыми.

Байесовский подход к оценке и выводам моделей MLR рассматривает β и start2 как случайные величины, а не фиксированные, неизвестные величины. В общем, целью байесовского анализа является обновление вероятностных распределений параметров путем включения информации о параметрах из наблюдения данных. Перед выборкой данных имеются некоторые представления о совместном распределении параметров. После выборки вы объединяете вероятность, вызванную распределением данных, с вашими предыдущими убеждениями, чтобы составить совместное условное распределение параметров, заданных данными. Особенности и функции результирующего распределения являются основой для оценки и вывода.

Основные байесовские компоненты анализа

Одной из основных целей байесовского анализа является вычисление или выборка из заднего распределения (или заднего). Задним является распределение параметров, обновленных с помощью (или заданных) данных, и состоит из этих величин:

Функция правдоподобия - информация, которую образец предоставляет о параметрах. Если взять случайную выборку, то вероятность для MLR равна

$ℓ (β,^{} start2 | y,_{x)}^{}_{}_{=∏t=1TP} (^{} yt 'xt$ , β, start2).
$P (_{}_{} yt 'xt, β^{,}$ start2) - функция плотности условной вероятности yt, заданная параметрами и индуцированная условным распределением αt. Обычно xt - фиксированное количество. Если нарушения независимы, гомоскедастические и гауссовы, то

$ℓ (β,^{} start2 | y,_{x)}^{}_{}_{=∏t=1Tϕ} (^{yt};$ xtβ, start2).
(yt; xtβ^, start2) - гауссова плотность вероятности со _{средним} значением xtβ и дисперсией start2, оцениваемая _при yt.
Предыдущие распределения (или приоры) по параметрам - распределение параметров, которое предполагается перед наблюдением за данными. Навязывание предварительных допущений распределения параметрам имеет преимущество перед частотным анализом: приоры позволяют включить знания о модели перед просмотром данных. Можно управлять уверенностью в своих знаниях о параметре, корректируя предыдущее отклонение. Указание высокого отклонения означает, что вы очень мало знаете о параметре, и вы хотите взвесить информацию в данных о параметрах более сильно. Указание низкой дисперсии подразумевает высокую уверенность в ваших знаниях о параметре, и вы хотите учесть эти знания в анализе.
На практике приоры используются для удобства, а не для следования мнению исследователя о фактическом распределении параметров. Например, можно выбрать приоры так, чтобы соответствующее апостериорное распределение находилось в одном семействе распределений. Эти предшествующие и задние пары называются сопряженными распределениями. Однако выбор приоров может повлиять на оценку и вывод, поэтому следует выполнить анализ чувствительности с оценкой.
Приоры могут содержать параметры, называемые гиперпараметрами, которые могут иметь сами распределения вероятностей. Такие модели называются иерархическими байесовскими моделями.
Для MLR предшествующие распределения обычно обозначаются как λ (β) и λ ⁽λ 2). Популярным выбором является нормально-обратно-гамма-сопряжённая модель, в которой λ (^{β 'start2}) является многомерным гауссовым или многомерным нормальным распределением, а (^λ 2) - обратным гамма-распределением.

Можно содержать совместное апостериорное распределение β и start2 с помощью Правила Байеса, то есть

$δ (β,^{} λ 2 | y \frac{, x) =^{λ} (β) λ^{} (λ 2)}{\underset{(β^{,}}{ℓ} start2 | y^{,} x)^{} \intβ,σ2π (β) λ^{}} (start2) ℓ (^{β}, start2 |^{} y, x)$ dβdσ2∝π (β) δ (start2) ℓ (β, start2 | y, x).

Если β зависит от start2, то его предшествующую следует заменить на λ (β 'start2). Знаменателем является распределение отклика, заданного предикторами, и он становится константой после наблюдения y. Поэтому задняя часть часто записывается как пропорциональная числителю.

Апостериор похож на любое другое совместное распределение вероятности случайных величин, и он содержит всю информацию, известную о параметрах после включения данных. Оценки и выводы параметров основаны главным образом на интегралах функций параметров по отношению к заднему распределению.

Апостериорная оценка и вывод

Задняя оценка и вывод включают интегрирование функций параметров относительно задней. Популярные оценки и выводы для параметров MLR включают в себя следующее:

Ожидаемое значение β, указанное в данных, равно

$\overset{}{β}^= E (β 'y \underset{x)^{}}{,}^{} =\intβ,σ2βπ (β^{}$ ,
Эта величина обеспечивает естественную интерпретацию и является оценщиком минимальной среднеквадратичной ошибки (MSE), то есть минимизирует $E {[\overset{β}{(}^}^{−} β) 2$ | y, x]. Медиана, режим или квантиль могут быть оценщиками Байеса относительно других потерь.
Максимальная априорная оценка (MAP) - значение параметра, которое максимизирует апостериорное распределение.
Учитывая данные, прогнозируемый ответ $\overset{}{y}$ ^ предсказателя $\overset{x}{}$ ^ является случайной величиной с задним прогнозирующим распределением.

$δ \overset{y}{(}^| \overset{,}{y} x \underset{x^{^}}{,}) \overset{}{} =\intβ,σ2f \overset{(}{} y^|^{β}, λ, x^)^{} λ$ (β,
Эту величину можно рассматривать как условное ожидаемое значение распределения вероятности y по отношению к заднему распределению параметров.
95% доверительный интервал на β (или достоверный интервал) - набор S так, что P (β ∊ S 'y, x) = 0,95. Это уравнение дает бесконечно много интервалов, включая:
- Равный интервал, который является интервалом (L, U), таким, что P (β < L 'y, x) = 0,025 и P (β > U' y, x) = 0,025.
- Область наибольшей задней плотности (HPD), которая является самым узким интервалом (или интервалами), дающим заданную вероятность. Он обязательно содержит наибольшие задние значения.
В отличие от интерпретации частотных доверительных интервалов, интерпретация байесовских доверительных интервалов такова, что, учитывая данные, вероятность того, что случайный β находится в интервале (интервалах) S, равна 0,95. Эта интерпретация интуитивно понятна, что является преимуществом байесовских доверительных интервалов по сравнению с частотными доверительными интервалами.
Предельные задние вероятности включения переменных, также называемые вероятностями режима, являются результатом реализации стохастического выбора переменных поиска (SSVS) и указывают, являются ли прогнозирующие переменные незначительными или избыточными в байесовской модели линейной регрессии. В SSVS β имеет многомерное, двухкомпонентное распределение гауссовой смеси. Оба компонента имеют среднее нулевое значение, но один компонент имеет большую дисперсию, а другой компонент имеет малую дисперсию. Незначительные предикторы, вероятно, будут близки к нулю; следовательно, они из компонента с небольшой дисперсией. SSVS-выборки из пространства ^{2p + 1} перестановок модели, каждая перестановка включает или исключает коэффициент, а модели с наибольшей задней плотностью дискретизируются чаще. Вероятности режимов получаются из отобранных моделей.

Методы интегрирования зависят от функциональной формы произведения $λ (β) λ^{} (start2) ℓ^{} (β,$ start2 | y, x) и интегранда, например, h (β, start2).

Если произведение образует ядро известного распределения вероятностей, то интегралы h (β, start2) по отношению к заднему могут быть аналитически прослеживаемыми. Известные ядра часто возникают при выборе приоров и потомков для образования сопряжённых пар. В этих случаях первые несколько моментов распределения обычно известны, и оценки основаны на них. Для получения подробной информации об аналитически отслеживаемых задних распределениях, предлагаемых структурой байесовской модели линейной регрессии в Econometrics Toolbox, см. Аналитически отслеживаемые апостериоры.
В противном случае необходимо использовать методы численного интегрирования для вычисления интегралов h (β, start2) относительно задних распределений. При определенных условиях можно реализовать числовую интеграцию с помощью выборки Monte Carlo или Markov chain Monte Carlo (MCMC).
- Для выполнения оценки Монте-Карло из распределения вероятностей извлекается множество выборок, к каждому розыгрышу применяется соответствующая функция (h (β, start2) - множитель в функции), а результирующие розыгрыши усредняются для аппроксимации интеграла. Популярная методика Монте-Карло - выборка важности ресамплинга [6].
- MCMC реализуется, когда вы не знаете распределения вероятности до константы, или вы знаете условные распределения всех параметров по крайней мере до константы. Популярные методы MCMC включают выборку Гиббса [2], алгоритм Метрополиса-Гастингса [5] и выборку среза [9].
Для получения подробной информации о задней оценке байесовской модели линейной регрессии в Econometrics Toolbox, когда задняя часть трудноразрешима, см. Аналитически трудноразрешимые задние части.

Аналитически отслеживаемые апостериоры

Байесовская структура линейной регрессии в Econometrics Toolbox предлагает несколько предыдущих спецификаций модели, которые дают аналитически прослеживаемые, сопряженные маргинальные или условные апостериоры. Эта таблица идентифицирует предыдущие модели и их соответствующие апостериоры. При передаче предыдущей модели и данных estimateMATLAB ® использует эти формулы. Когда программное обеспечение конструирует апостериоры, оно предполагает, что данные ответа _yt, t = 1,...,T, являются случайной выборкой из гауссова распределения со средним _{значением xtβ} и дисперсией ^start2.

Предшествующий объект модели	Уголовное прошлое	Предельные апостериоры	Условные апостериоры
`conjugateblm`	$\begin{array}{l} ^{β 'start2} ~_{Np} + 1^{} (λ, \\ ^{} σ2V) . start2 ~ \end{array}$ IG (A, B). β и start2 независимы.	$\begin{array}{l} β'y,_{x~tp+1} {(^{}}^{} (V-1+X'X) -1 [\overset{}{}^{(X′X) β^} + \frac{{V−1μ}^{],} {2B-1 + \overset{}{}}^{} (y−Xβ^) \overset{'}{} {\overset{}{} (y-Xβ^)}^{} {+ {(β^-μ)}^{′} [}^{V +} \overset{}{}}{(X'X) -1]} −1 \\ ^{(β^−μ)} 2A+T, 2A+T \frac{)}{} {^{.σ2\|y,} \frac{}{} {x~IG (\overset{}{} A+T2}^{,} [\overset{}{} \frac{}{} {\overset{}{} B−1+12 (y−Xβ^)}^{'} {(y-Xβ^)}^{}^{+12} \overset{}{} (β^-μ)}^{' [} V + \end{array}$ (X′X) −1] −1 (β^−μ)] −1).	$\begin{array}{l} ^{β 'start2}, y, x_{~} {Np^{+} 1 ((}^{} V-1+X'X) \overset{}{-} 1^{[(} X'X)^{} {β^{^} + V -}^{} 1λ] \\ ,^{} start2 (V−1+X′X) \frac{- 1)}{} . {{start2}^{\|} \frac{β}{,} {y, x}^{~} IG (A \frac{+}{} {T + p}^{} +^{} 12, [B}^{-} 1 \end{array}$ + 12 (y − Xβ) ′ (y − Xβ) + 12 (β − λ) ′ V
`semiconjugateblm`	$\begin{array}{l} ^{β 'start2} ~_{Np} + 1 ( \\ λ^{,} V) . start2 ~ \end{array}$ IG (A, B). β и start2 являются зависимыми.	Аналитически труднореализуемый	$\begin{array}{l} ^{β "start2}, y, x_{~} {Np^{+} 1^{((}}^{}^{V−1+σ−2X′X}) - 1 \overset{[}{} λ^{-} 2 ({^{X'X)} β^}^{+} V \\ -^{} 1λ], (\frac{V−1+X′X}{)} {-^{1)} \frac{.}{} {start2 \| β,}^{} y, x ~}^{IG} ( \end{array}$ A + T2, [B − 1 + 12 (y − Xβ) ′ (y − Xβ)] − 1).
`diffuseblm`	Совместное предыдущее pdf $_{^{}}^{} \frac{}{^{}} fβ,σ2(β,σ2)\propto1σ2.$	$\begin{array}{l} β 'y, x_{~} tp \overset{+}{} \frac{{1 (β \hat{},}^{} (y - \overset{}{} Xβ}{^) ′} {(^{y} -}^{} Xβ^) T - \\ ^{p} - 1 (\frac{X′X) -}{1}, {\frac{T}{} {- p \overset{}{-} 1}^{)} . start2 \overset{\|}{} y}^{,} x \end{array}$ ~ IG (T − p − 12, [12 (y − Xβ ^) ′ (y − Xβ ^)] − 1).	$\begin{array}{l} ^{β 'start2}, y, x_{~} \overset{}{Np} +^{1} {(^{β}^}^{,} start2 \\ ^{(} X'X) - 1) \frac{.}{} start2 {\frac{\|}{} {β, y,}^{x} ~ IG (}^{T2}, \end{array}$ [12 (y − Xβ) ′ (y − Xβ)] − 1).
`mixconjugateblm`	$\begin{array}{l} γ =_{{} γ 1,. . ._{,} γ p + 1} \\ ~ p (_{γ}) . ∀j, \\ _{} γj\in{0,1}^{.}_{∀j},_{}_{βj}_{}_{}_{}_{} \\ _{} \\ ^{} \end{array}$ '	Хотя предельные апостериоры являются аналитически отслеживаемыми, MATLAB рассматривает их как трудноразрешимые для масштабируемости (см. [1]).	Аналитически прослеживается, если _{γ j} и _{γ k} независимы, для всех j ≠ k $\begin{array}{l} _{γj}'β {,γ}_{\neq j},^{σ2}, X, y~Bernoulli \frac{_{}}{_{}_{}} (ajaj+bj); j=1 ..., p+1. \\ \forall j,_{} aj=P_{} (γj=1) ϕ (^{0},_{}^{} \\ σ2Vj1 ) . ∀ j_{,}_{bj=P} (γj=0)^{ϕ}_{(0}^{,} \\ ^{} σ2Vj2 ).β 'σ2, γ_{, X,} {^{}^{y~Np+1} ((V}^{}^{} *-1+X'X)^{} {^{}^{−1X′Y}, σ2 (}^{V} \\ ^{} ∗−1+X′X) −1) .σ2 \|β,γ \frac{, X,}{} y~IG {(^{} \frac{}{} {A+T+p+12, [}^{} \frac{}{}^{B-1+12 (y-Xβ)}^{'}^{}}^{} (y-Xβ) \end{array}$ +12β ′ V ∗−1β]−1).
`mixsemiconjugateblm`	$\begin{array}{l} γ =_{{} γ 1,. . ._{,} γ p + 1} \\ ~ p (_{γ}) . ∀j, \\ _{} γj\in{0,1}^{.}_{∀j},_{}_{} {βj}_{}_{}_{}_{} \\ _{} \\ ^{} \end{array}$ '	Аналитически труднореализуемый	Аналитически прослеживается, если _{γ j} и _{γ k} независимы, для всех j ≠ k $\begin{array}{l} _{γj}'β {,γ}_{\neq j},^{σ2}, X, y~Bernoulli \frac{_{}}{_{}_{}} (ajaj+bj); j=1 ..., p+1. \\ \forall j,_{} aj=P_{} (γj=1) ϕ (_{0,}^{} \\ Vj1 ) . ∀ j_{,}_{bj=P} (γj=0)_{ϕ}^{(} 0, \\ ^{} Vj2 ).β 'σ2, γ_{, X,} {^{}^{y~Np+1} (^{(V} ∗−1}^{}^{} +σ-2X'X {)^{}^{} {−1X′Y}^{,} (V}^{*-1} \\ ^{} +σ−2X′X) −1) .σ2 \|β,γ \frac{,}{X}, {^{y~IG} \frac{(}{} {A+T2, [}^{}}^{} B-1+12 (y-Xβ) \end{array}$ ′ (y−Xβ)] −1).
`lassoblm`	$\begin{array}{l} _{}^{βj 'start2}, λ ~ Лаплас (0, λ/λ); j = 0 \\ ,^{.} ., p.start2 ~ \end{array}$ IG (A, B). Коэффициенты независимы, априори.	Аналитически труднореализуемый	$\begin{array}{l} \frac{}{_{1ψj}}_{'βj},^{σ2}, λ ~ InvGaussian (σλ /_{} \|βj \|^{},λ2); j=1 ..., p+1. \\ D=diag (_{} ψ1 ...,_{} ψp+1) \\ .β^{}'σ2, λ, X, y, ψ ~_{} Np+1 {(^{}}^{}^{}^{(X′X+D) −1X′y} {,^{σ2}}^{} \\ ^{} (X'X+D) -1) .σ2 \|β, X, y, ψ ~ \frac{IG (}{} {^{} A+T+p+12 \frac{,}{[}^{} B-1+12 (y-Xβ) \frac{′}{}^{}}^{(y-Xβ)} \end{array}$ +12β ′ Dβ]−1).

В таблице:

Np ₊ 1 (m, Λ) обозначает (p + 1) -мерное многомерное нормальное распределение, где m - среднее (a (p + 1) -by-1 вектор), а Λ - дисперсию (a (p + 1) -by- (p + 1) симметричную, положительную определённую матрицу).
IG (A, B) обозначает обратное гамма-распределение с формой A > 0 и шкалой B > 0. PDF-файла IG (A, B):

$f (x; A, \frac{B}{) =^{1Γ}}^{(A)}^{\frac{BAx}{-}}$ A − 1e − 1xB.
X является T-by- (p + 1) матрицей данных предсказателя, то есть _xjk является наблюдением j предсказателя k. Первый столбец полностью состоит из столбцов для перехвата.
y - T-by-1 вектор ответов.
tp+1 (m, Σ,ν) обозначает (p + 1) - размерное многомерное t распределение, где m - местоположение, Σ - масштаб, и ν - степени свободы.
$\overset{}{β}^{=^{} (}^{X′X})^{}$ −1X′y, то есть оценка наименьших квадратов β.
V _* j1 - предыдущий коэффициент дисперсии (mixconjugate) или отклонение (mixsemiconjugate) _βj, когда _{γ j} = 1, и V _* j2 является его предыдущим коэффициентом дисперсии или дисперсией, когда γ j = 0.
V * - (p + 1) -by- (p + 1) диагональная матрица, а элемент j, j _- _{γ jV} * j1 + ₍1 ^- _{γ j}) V * j2.
mixconjugateblm и mixsemiconjugateblm модели поддерживают предыдущие средние спецификации для β, отличные от нулевого вектора по умолчанию для обоих компонентов модели гауссовой смеси. Если изменить предыдущее среднее β по умолчанию, то соответствующие условные апостериорные распределения включают предшествующие средства так же, как условные апостериорные распределения conjugateblm и semiconjugateblm модели включают предыдущие средства.
λ - фиксированный параметр усадки лассо.
InvGaussian (m, v) обозначает обратный гауссов (Wald) со средним значением m и формой v.

Неразрешимые с точки зрения анализа апостериоры

Байесовская структура линейной регрессии в Econometrics Toolbox предлагает несколько предыдущих спецификаций модели, которые дают аналитически трудноразрешимые, но гибкие, маргинальные и условные апостериоры. Эта таблица идентифицирует предыдущие модели и методы выборки Монте-Карло, которые MATLAB использует для выполнения задней оценки, моделирования и вывода при передаче предыдущей модели и данных в estimate, simulate, или forecast.

Предшествующий объект модели	Уголовное прошлое	Методика моделирования для краевого заднего отдела	Методика моделирования для условного заднего
`semiconjugateblm`	$\begin{array}{l} ^{β 'start2} ~_{Np} + 1 ( \\ λ^{,} V) . start2 ~ \end{array}$ IG (A, B). β и start2 являются зависимыми.	Пробоотборник Гиббса [2]	Условный задний является аналитически прослеживаемым
`empiricalblm`	Характеризуется извлечениями из соответствующих предыдущих распределений	Повторная выборка важности выборки [4]	Не поддерживается
`customblm`	Характеризуется сочетанием pdf. в объявленной функции	Гамильтонианский образец Монте-Карло [8] Пробоотборник Random Walk Metropolis [7] Пробоотборник срезов [9]	Гамильтонианский образец Монте-Карло Выборка Random Walk Metropolis Пробоотборник срезов
`mixconjugateblm`	$\begin{array}{l} γ =_{{} γ 1,. . ._{,} γ p + 1} \\ ~ p (_{γ}) . ∀j, \\ _{} γj\in{0,1}^{.}_{∀j},_{}_{βj}_{}_{}_{}_{} \\ _{} \\ ^{} \end{array}$ '	Пробоотборник Гиббса [1]	Условный задний является аналитически прослеживаемым
`mixsemiconjugateblm`	$\begin{array}{l} γ =_{{} γ 1,. . ._{,} γ p + 1} \\ ~ p (_{γ}) . ∀j, \\ _{} γj\in{0,1}^{.}_{∀j},_{}_{} {βj}_{}_{}_{}_{} \\ _{} \\ ^{} \end{array}$ '	Пробоотборник Гиббса [1]	Условный задний является аналитически прослеживаемым
`lassoblm`	$\begin{array}{l} _{}^{βj 'start2}, λ ~ Лаплас (0, λ/λ); j = 0 \\ ,^{.} ., p.start2 ~ \end{array}$ IG (A, B). Коэффициенты независимы, априори.	Пробоотборник Гиббса [10]	Условный задний является аналитически прослеживаемым

Ссылки

[1] Джордж, Э. И. и Р. Э. Маккаллох. «Выбор переменной с помощью выборки Гиббса». Журнал Американской статистической ассоциации. т. 88, № 423, 1993, стр. 881-889.

[2] Гельфанд, А. Э. и А. Ф. М. Смит. «Подходы на основе выборки к расчету предельных плотностей». Журнал Американской статистической ассоциации. Том 85, 1990, стр. 398-409.

[3] Гельман, А., Дж. Б. Карлин, Х. С. Стерн и Д. Б. Рубин. Байесовский анализ данных, 2-й. Эд. Бока Ратон, FL: Chapman & Hall/CRC, 2004.

[4] Гордон, N. J., Д. Дж. Салмонд и А. Ф. М. Смит. «Новый подход к нелинейной/негауссовой байесовской оценке состояния». Процедуры IEEE F по радиолокационной и сигнальной обработке. Том 140, 1993, стр. 107-113.

[5] Гастингс, В. К. «Методы выборки Монте-Карло с использованием цепей Маркова и их применений». Биометрика. Том 57, 1970, стр. 97-109.

[6] Марин, Дж. М. и К. П. Роберт. Байесовская основа: практический подход к вычислительной байесовской статистике. Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, LLC, 2007 .

[7] Метрополис, Н., А. В. Розенблут, М. Н. Розенблут, А. Х. Теллер и Э. Теллер. «Уравнения вычислений состояний с помощью быстродействующей вычислительной машины». Дж. Хим. физ. т. 21, 1953, с. 1087-1091.

[8] Нил, Р. М. «MCMC с использованием гамильтоновой динамики». В С. Бруксе, А. Гельмане, Г. Джонсе и X.-L. Мэн (ред.) Справочник Марковской цепи Монте-Карло. Бока Ратон, ФЛ: Чепмен энд Холл/КПР, 2011.

[9] Нил, Р. М. «Проба ломтиков». Анналы статистики. Том 31, 2003, стр. 705-767.

[10] Парк, T. и Г. Казелла. «Байесовский Лассо.» Журнал Американской статистической ассоциации. т. 103, № 482, 2008, стр. 681-686.

См. также

Документация