Документация

Создание матриц

MATLAB имеет множество функций, создающих различные типы матриц. Например, можно создать симметричную матрицу с элементами на основе треугольника Паскаля:

A = pascal(3)

A =
       1     1     1
       1     2     3
       1     3     6

Или можно создать несимметричную магическую квадратную матрицу, которая имеет равные суммы строк и столбцов:

B = magic(3)

B =
       8     1     6
       3     5     7
       4     9     2

Другой пример - прямоугольная матрица случайных чисел 3 на 2. В этом случае первый вход в randi описывает диапазон возможных значений для целых чисел, а два вторых ввода описывают количество строк и столбцов.

C = randi(10,3,2)

C =

     9    10
    10     7
     2     1

Вектор-столбец является матрицей m-by-1, вектор-строка - матрицей 1 на n, а скаляр - матрицей 1 на 1. Для определения матрицы вручную используйте квадратные скобки. [ ] для обозначения начала и конца массива. В скобках используйте точку с запятой ; для обозначения конца строки. В случае скаляра (матрица 1 на 1) скобки не требуются. Например, эти операторы создают вектор столбца, вектор строки и скаляр:

u = [3; 1; 4]

v = [2 0 -1]

s = 7

u =
       3
       1
       4

v =
       2     0    -1

s =
       7

Дополнительные сведения о создании и работе с матрицами см. в разделах Создание, конкатенация и расширение матриц.

Добавление и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц и массивов выполняют поэлементно или поэлементно. Например, добавление A кому B а затем вычитание A после результата восстанавливается B:

X = A + B

X =
       9     2     7
       4     7    10
       5    12     8

Y = X - A

Y =
       8     1     6
       3     5     7
       4     9     2

Сложение и вычитание требуют, чтобы обе матрицы имели совместимые размеры. Если размеры несовместимы, возникает ошибка:

X = A + C

Error using  + 
Matrix dimensions must agree.

Дополнительные сведения см. в разделе Операции с массивом и матрицей.

Векторные продукты и транспонирование

Вектор строки и вектор столбца одинаковой длины могут быть умножены в любом порядке. Результатом является скаляр, называемый внутренним произведением, или матрица, называемая внешним произведением:

u = [3; 1; 4];
v = [2 0 -1];
x = v*u

x =

     2

X = u*v

X =

     6     0    -3
     2     0    -1
     8     0    -4

Для вещественных матриц операция транспонирования взаимозаменяется aij и aji. Для комплексных матриц другое соображение состоит в том, следует ли брать комплексное сопряжение комплексных элементов в массиве, чтобы сформировать комплексное сопряженное транспонирование. MATLAB использует оператор апострофа (') для выполнения комплексного сопряженного транспонирования и оператора «точка-апостроф» (.') для транспонирования без конъюгации. Для матриц, содержащих все вещественные элементы, два оператора возвращают один и тот же результат.

Примерная матрица A = pascal(3) симметричен, поэтому A' равно A. Однако B = magic(3) не симметричен, поэтому B' имеет элементы, отраженные по основной диагонали:

B = magic(3)

B =

     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

X = B'

X =

     8     3     4
     1     5     9
     6     7     2

Для векторов транспозиция превращает вектор строки в вектор-столбец (и наоборот):

x = v'

x =
       2
       0
      -1

Если x и y оба вещественные векторы столбцов, затем произведение x*y не определен, но два продукта

x'*y

и

y'*x

получить тот же скалярный результат. Эта величина используется так часто, она имеет три различных названия: внутреннее произведение, скалярное произведение или скалярное произведение. Существует даже выделенная функция для точечных продуктов с именем dot.

Для комплексного вектора или матрицы: z, количество z' не только транспонирует вектор или матрицу, но и преобразует каждый комплексный элемент в его комплексное сопряжение. То есть изменяется знак мнимой части каждого комплексного элемента. Например, рассмотрим комплексную матрицу

z = [1+2i 7-3i 3+4i; 6-2i 9i 4+7i]

z =

   1.0000 + 2.0000i   7.0000 - 3.0000i   3.0000 + 4.0000i
   6.0000 - 2.0000i   0.0000 + 9.0000i   4.0000 + 7.0000i

Комплексное сопряженное транспонирование z является:

z'

ans =

   1.0000 - 2.0000i   6.0000 + 2.0000i
   7.0000 + 3.0000i   0.0000 - 9.0000i
   3.0000 - 4.0000i   4.0000 - 7.0000i

Неконъюгированная комплексная транспозиция, где комплексная часть каждого элемента сохраняет свой знак, обозначается как z.':

z.'

ans =

   1.0000 + 2.0000i   6.0000 - 2.0000i
   7.0000 - 3.0000i   0.0000 + 9.0000i
   3.0000 + 4.0000i   4.0000 + 7.0000i

Для комплексных векторов два скалярных произведения x'*y и y'*x являются комплексными сопряжениями друг друга, и скалярное произведение x'*x комплексного вектора с самим собой является реальным.

Умножение матриц

Умножение матриц определяют способом, отражающим состав лежащих в основе линейных преобразований и обеспечивающим компактное представление систем одновременных линейных уравнений. Матричное произведение C = AB определяется, когда размер столбца A равен размеру строки B, или когда один из них является скаляром. Если А представляет собой m-by-p и В представляет собой p-by-n, их продукт С представляет собой m-by-n. Фактически продукт можно определить с помощью MATLAB. for петли, colon нотация и векторные точечные произведения:

A = pascal(3);
B = magic(3);
m = 3; 
n = 3;
for i = 1:m
     for j = 1:n
        C(i,j) = A(i,:)*B(:,j);
     end
end

MATLAB использует звездочку для обозначения умножения матрицы, как в C = A*B. Матричное умножение не коммутативно; то есть A*B обычно не равно B*A:

X = A*B

X =
      15    15    15
      26    38    26
      41    70    39

Y = B*A

Y =
      15    28    47
      15    34    60
      15    28    43

Матрица может быть умножена справа на вектор-столбец, а слева на вектор-строку:

u = [3; 1; 4];
x = A*u

x =

     8
    17
    30

v = [2 0 -1];
y = v*B

y =

    12    -7    10

Умножение прямоугольной матрицы должно удовлетворять условиям совместимости размеров. С тех пор A 3 на 3 и C равно 3 на 2, их можно умножить, чтобы получить результат 3 на 2 (общая внутренняя размерность отменяется):

X = A*C

X =

    24    17
    47    42
    79    77

Однако умножение не работает в обратном порядке:

Y = C*A

Error using  * 
Incorrect dimensions for matrix multiplication. Check that the number of columns 
in the first matrix matches the number of rows in the second matrix. To perform 
elementwise multiplication, use '.*'.

Можно умножить все на скаляр:

s = 10;
w = s*y

w =

   120   -70   100

При умножении массива на скаляр этот скаляр неявно расширяется таким же образом, как и размер других входных данных. Это часто называют скалярным расширением.

Матрица идентификаторов

Общепринятая математическая нотация использует заглавную букву I для обозначения тождественных матриц, матриц различных размеров с единицами на главной диагонали и нулями в другом месте. Эти матрицы имеют свойство, что AI = A и IA = A всякий раз, когда размеры совместимы.

Первоначальная версия MATLAB не могла использовать I для этой цели, потому что она не различала прописные и строчные буквы, и я уже служил в качестве подстрочного индекса и сложного блока. Так была введена игра слов на английском языке. Функция

eye(m,n)

возвращает прямоугольную единичную матрицу m-на-n и eye(n) возвращает квадратную единичную матрицу n-by-n.

Обратная матрица

Если матрица A является квадратным и несингулярным (ненулевой определитель), то уравнения AX = I и XA = I имеют одно и то же решение X. Это решение называется обратным A и обозначается как A-1. inv функция и выражение A^-1 оба вычисляют обратную матрицу.

A = pascal(3)

A =
       1     1     1
       1     2     3
       1     3     6

X = inv(A)

X =

    3.0000   -3.0000    1.0000
   -3.0000    5.0000   -2.0000
    1.0000   -2.0000    1.0000

A*X

ans =

    1.0000         0         0
    0.0000    1.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000    1.0000

Определитель, рассчитанный det является мерой масштабного коэффициента линейного преобразования, описанного матрицей. Когда определитель точно равен нулю, матрица является сингулярной и обратной не существует.

d = det(A)

d =

     1

Некоторые матрицы почти сингулярны, и несмотря на то, что существует обратная матрица, вычисление подвержено числовым ошибкам. cond функция вычисляет номер условия для инверсии, который дает указание на точность результатов от инверсии матрицы. Номер условия находится в диапазоне от 1 для численно стабильной матрицы Inf для сингулярной матрицы.

c = cond(A)

c =

   61.9839

Редко требуется формировать явную обратную матрицу. Частое злоупотребление inv возникает при решении системы линейных уравнений Ax = b. Лучший способ решить это уравнение с точки зрения как времени выполнения, так и численной точности - использовать оператор обратной косой черты матрицы x = A\b. Посмотрите mldivide для получения дополнительной информации.

Тензор Кронекера

Продукт Кронекера, kron(X,Y), из двух матриц - большая матрица, сформированная из всех возможных произведений элементов X с теми из них, которые Y. Если X m-by-n и Y p-by-q, затем kron(X,Y) mp-by-nq. Элементы расположены так, что каждый элемент X умножается на всю матрицу Y:

[X(1,1)*Y  X(1,2)*Y  . . .  X(1,n)*Y
                     . . .
 X(m,1)*Y  X(m,2)*Y  . . .  X(m,n)*Y]

Произведение Кронекера часто используется с матрицами нулей и единиц для наращивания повторяющихся копий малых матриц. Например, если X - матрица 2 на 2

X = [1   2
     3   4]

и I = eye(2,2) является единичной матрицей 2 на 2, то:

kron(X,I)

ans =

     1     0     2     0
     0     1     0     2
     3     0     4     0
     0     3     0     4

и

kron(I,X)

ans =

     1     2     0     0
     3     4     0     0
     0     0     1     2
     0     0     3     4

В стороне от kron, некоторые другие функции, которые полезны для репликации массивов repmat, repelem, и blkdiag.

Векторные и матричные нормы

P-норма вектора x,

вычисляется с помощью norm(x,p). Эта операция определена для любого значения p > 1, но наиболее распространенными значениями p являются 1, 2 и ∞. Значение по умолчанию - p = 2, что соответствует евклидовой длине или векторной величине:

v = [2 0 -1];
[norm(v,1) norm(v) norm(v,inf)]

ans =

    3.0000    2.2361    2.0000

P-норма матрицы A,

может быть вычислено для p = 1, 2 и ∞ norm(A,p). Опять же, значение по умолчанию - p = 2:

A = pascal(3);
[norm(A,1) norm(A) norm(A,inf)]

ans =

   10.0000    7.8730   10.0000

В случаях, когда требуется вычислить норму каждой строки или столбца матрицы, можно использовать vecnorm:

vecnorm(A)

ans =

    1.7321    3.7417    6.7823

Использование многопоточных вычислений с функциями линейной алгебры

MATLAB поддерживает многопоточные вычисления для ряда линейных алгебр и числовых функций. Эти функции автоматически выполняются в нескольких потоках. Для более быстрого выполнения функции или выражения на нескольких ЦП должно быть выполнено несколько условий:

Матрица умножается (X*Y) и мощность матрицы (X^p) операторы показывают значительное увеличение скорости на больших массивах двойной точности (порядка 10 000 элементов). Функции матричного анализа det, rcond, hess, и expm также показывают значительное увеличение скорости на больших массивах двойной точности.