Одномерная дискретно-временная колебательная система состоит из единичной массы m, $$$$прикрепленной к стенке пружиной единичной упругой постоянной. Датчик производит выборку ускорения а $$\mathrm{массы}$$при $${}_{\mathrm{Fs}}\mathrm{=}$$ 5 Гц.

Создайте 50 временных выборок. Определите интервал выборки $$\mathrm{\Delta t}\mathrm{=}{}_{}$$1/Fs.

Fs = 5;
dt = 1/Fs;
N = 50;
t = dt*(0:N-1);

Генератор может быть описан уравнениями состояния-пространства.

где $$x{=\begin{array}{cc}& (\end{array}}^{\mathrm{rv}}$$) T - $$\mathrm{вектор\; состояния,}$$r $$$$и v - соответственно положение и скорость массы, и матрицы

A = [cos(dt) sin(dt);-sin(dt) cos(dt)];
B = [1-cos(dt);sin(dt)];
C = [-1 0];
D = 1;

Система возбуждается единичным импульсом в положительном направлении. Используйте модель state-space, чтобы вычислить эволюцию времени системы, начиная с начального состояния с нулем.

u = [1 zeros(1,N-1)];

x = [0;0];
for k = 1:N
    y(k) = C*x + D*u(k);
    x = A*x + B*u(k);
end

Постройте график ускорения массы как функции времени.

stem(t,y,'filled')
xlabel('t')

Вычислите зависящее от времени ускорение с помощью передаточной функции H (z) для фильтрации входного сигнала. Постройте график результата.

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D);
yt = filter(b,a,u);
stem(t,yt,'filled')
xlabel('t')

Передаточная функция системы имеет аналитическое выражение:

Используйте выражение для фильтрации входных данных. Постройте график ответа.

bf = [1 -(1+cos(dt)) cos(dt)];
af = [1 -2*cos(dt) 1];
yf = filter(bf,af,u);
stem(t,yf,'filled')
xlabel('t')

Результат одинаков во всех трех случаях.

Идеальная одномерная колебательная система состоит из двух единичных масс, $${}_{\mathrm{m1}}$$ и $${}_{\mathrm{m2}}$$, замкнутых между двумя стенками. Каждая масса прикреплена к ближайшей стенке пружиной единичной упругой константы. Другая такая пружина соединяет две массы. Образцы датчиков $${}_{\mathrm{a1}}$$ и $${}_{\mathrm{a2}}$$, ускорения масс, при $${}_{\mathrm{Fs}}\mathrm{=}\mathrm{}$$16 Гц.

Укажите общее время измерения 16 с. Определите интервал выборки $$\mathrm{\Delta t}\mathrm{=}{}_{}$$1/Fs.

Fs = 16;
dt = 1/Fs;
N = 257;
t = dt*(0:N-1);

Система может быть описана с помощью модели state-space

где $$x{=\begin{array}{cccc}{}_{\mathrm{(}}& {}_{\mathrm{}}& {}_{\mathrm{}}& {}_{\mathrm{}}\end{array}}^{\mathrm{r1v1r2v2}}$$) T - вектор состояния, $${}_{а}$$ ri $${}_{и}$$ vi - соответственно местоположение и скорость $$$$i-й массы. Входной $$вектор{\begin{array}{cc}{u}_{\mathrm{}}& {=}_{\mathrm{}}\end{array}(}^{}$$u1u2) T и выходной $${\begin{array}{cc}{}_{\mathrm{вектор}}& {}_{\mathrm{y}}\end{array}}^{=}$$(a1a2) T. Матрицы состояния-пространства:

матрицы состояния и пространства непрерывного времени:

и $$I$$ обозначает единичную матрицу соответствующего размера.

Ac = [0 1 0 0;-2 0 1 0;0 0 0 1;1 0 -2 0];
A = expm(Ac*dt);
Bc = [0 0;1 0;0 0;0 1];
B = Ac\(A-eye(4))*Bc;
C = [-2 0 1 0;1 0 -2 0];
D = eye(2);

Первая масса, $${}_{\mathrm{m1}}$$, получает единичный импульс в положительном направлении.

ux = [1 zeros(1,N-1)];
u0 = zeros(1,N);
u = [ux;u0];

Используйте модель, чтобы вычислить эволюцию времени системы, начиная с нулевого начального состояния.

x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

Постройте график ускорений двух масс как функций времени.

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Преобразуйте систему в ее представление передаточной функции. Найдите отклик системы на положительное единичное импульсное возбуждение на первой массе.

[b1,a1] = ss2tf(A,B,C,D,1);
y1u1 = filter(b1(1,:),a1,ux);
y1u2 = filter(b1(2,:),a1,ux);

Постройте график результата. Передаточная функция дает тот же отклик, что и модель state-space.

stem(t,[y1u1;y1u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Система сбрасывается в исходное состояние. Теперь другая масса, $${}_{\mathrm{м2}}$$, получает единичный импульс в положительном направлении. Вычислите эволюцию системы во времени.

u = [u0;ux];

x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

Постройте график ускорений. Отклики отдельных масс переключаются.

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid

Найдите отклик системы на положительное единичное импульсное возбуждение на второй массе.

[b2,a2] = ss2tf(A,B,C,D,2);
y2u1 = filter(b2(1,:),a2,ux);
y2u2 = filter(b2(2,:),a2,ux);

Постройте график результата. Передаточная функция дает тот же отклик, что и модель state-space.

stem(t,[y2u1;y2u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid