quadprog

Квадратичное программирование

свернуть все на странице

Синтаксис

x = квадрог (H, f)

x = квадрог (H, f, A, b)

x = квадрог (H, f, A, b, Aeq, beq)

x = квадрог (H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)

x = квадрог (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

x = квадрог (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

x = квадрог (задача)

[x, fval] = квадрог (___)

[x, fval, exitflag, output] = квадрог (___)

[x, fval, exitflag, output, lambda] = квадрог (___)

[wsout, fval, exitflag, output, lambda] = квадрог (H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, ws)

Описание

Решатель для квадратичных объективных функций с линейными ограничениями.

quadprog находит минимум для задачи, указанной

$\underset{}{} \frac{}{}^{} minx12xTHx +^{} fTx , так что \begin{matrix} { \end{matrix}$ A⋅x≤b,Aeq⋅x=beq,lb≤x≤ub.

H, A и Aeq являются матрицами, а f, b, beq, lb, ub и x - векторами.

Вы можете передать f, lb и ub как векторы или матрицы; см. Аргументы матрицы.

Примечание

quadprog применяется только к подходу, основанному на решателе. Обсуждение двух подходов к оптимизации см. в разделе Первый выбор подхода на основе проблем или подхода на основе решателей.

x = quadprog(H,f) возвращает вектор x что сводит к минимуму 1/2*x'*H*x + f'*x. Вход H должен быть положительным, определенным для того, чтобы задача имела конечный минимум. Если H является положительным определенным, то решение x = H\(-f).

пример

x = quadprog(H,f,A,b) минимизирует 1/2*x'*H*x + f'*x с учетом ограничений A*x ≤ b. Вход A является матрицей двойников, и b является вектором двойников.

пример

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) решает предыдущую проблему с учетом дополнительных ограничений Aeq*x = beq. Aeq является матрицей двойников, и beq является вектором двойников. Если неравенства не существует, установите A = [] и b = [].

пример

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) решает предыдущую проблему с учетом дополнительных ограничений lb ≤ x ≤ ub. Исходные данные lb и ub являются векторами двойников, и ограничения сохраняются для каждого x компонент. Если равенства отсутствуют, установите Aeq = [] и beq = [].

Примечание

Если указанные входные границы для проблемы противоречивы, вывод x является x0 и выходные данные fval является [].

quadprog сбрасывает компоненты x0 которые нарушают границы lb ≤ x ≤ ub к внутренней части рамки, определяемой границами. quadprog не изменяет компоненты, соответствующие границам.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) решает предыдущую задачу, начиная с вектора x0. Если границ не существует, установите lb = [] и ub = []. Некоторые quadprog алгоритмы игнорируют x0; посмотрите x0.

Примечание

x0 является обязательным аргументом для 'active-set' алгоритм.

пример

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) решает предыдущую задачу, используя опции оптимизации, указанные в options. Использовать optimoptions создать options. Если не требуется задавать начальную точку, установите x0 = [].

пример

x = quadprog(problem) возвращает минимальное значение для problem, структура, описанная в problem. Создать problem структура с использованием точечной нотации или struct функция. Либо создайте problem структура из OptimizationProblem объект с помощью prob2struct.

пример

[x,fval] = quadprog(___), для любых входных переменных, также возвращает fval, значение целевой функции при x:

fval = 0.5*x'*H*x + f'*x

пример

[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___) также возвращает exitflag, целое число, которое описывает условие выхода quadprog, и output, структура, содержащая информацию об оптимизации.

пример

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___) также возвращает lambda, структура, поля которой содержат множители Лагранжа в решении x.

пример

[wsout,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws) запуски quadprog из данных в теплом начальном объекте ws, используя опции в ws. Возвращенный аргумент wsout содержит точку решения в wsout.X. С помощью wsout в качестве начального объекта теплого начала в последующем вызове решателя, quadprog может работать быстрее.

Примеры

свернуть все

Квадратичная программа с линейными ограничениями

Открыть сценарий в реальном времени

Найти минимум

$f (x) \frac{}{=}_{}^{}_{12x12}^{} +_{}_{}_{}_{}$ x22-x1x2-2x1-6x2

с учетом ограничений

$\begin{array}{l} _{}_{} \\ _{}_{} \\ _{}_{} x1+x2≤2-x1+2x2≤22x1+x2≤3 . \end{array}$

В quadprog синтаксис, эта проблема заключается в минимизации

$f (x) \frac{}{=}^{}^{12xTHx}$ + fTx,

где

$\begin{array}{l} H = \begin{matrix} [ \end{matrix} \\ 1-1-12] \begin{matrix} f \\ = \end{matrix} [- \end{array}$ 2-6],

с учетом линейных ограничений.

Для решения этой задачи сначала введите матрицы коэффициентов.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

Звонить quadprog.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,A,b);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Проверьте конечную точку, значение функции и флаг выхода.

x,fval,exitflag

fval = -8.2222

exitflag = 1

Флаг выхода 1 означает, что результат является локальным минимумом. Поскольку H является положительной определенной матрицей, эта задача является выпуклой, поэтому минимум является глобальным минимумом.

Подтвердить, что H является положительным определенным путем проверки его собственных значений.

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

Квадратичная программа с линейным ограничением равенства

Открыть сценарий в реальном времени

Найти минимум

$f (x) \frac{}{=}_{}^{}_{12x12}^{} +_{}_{}_{}_{}$ x22-x1x2-2x1-6x2

с учетом ограничения

$_{}_{} x1+x2=0 .$

В quadprog синтаксис, эта проблема заключается в минимизации

$f (x) \frac{}{=}^{}^{12xTHx}$ + fTx,

где

$\begin{array}{l} H = \begin{matrix} [ \end{matrix} \\ 1-1-12] \begin{matrix} f \\ = \end{matrix} [- \end{array}$ 2-6],

с учетом линейной зависимости.

Для решения этой задачи сначала введите матрицы коэффициентов.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
Aeq = [1 1];
beq = 0;

Звонить quadprog, ввод [] для вводов A и b.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Проверьте конечную точку, значение функции и флаг выхода.

x,fval,exitflag

fval = -1.6000

exitflag = 1

Подтвердить, что H является положительным определенным путем проверки его собственных значений.

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

Квадратичная минимизация с линейными ограничениями и границами

Открыть сценарий в реальном времени

Найти x, который минимизирует квадратичное выражение

$\frac{}{}^{} 12xTHx +^{}$ fTx

где

$H = \begin{matrix} [ \end{matrix}$ 1-11-12-21-24] $, f \begin{matrix} = \\ [ \end{matrix}$ 2-31],

с учетом ограничений

$0≤x≤1$ , $∑x=1/2$ .

Чтобы решить эту проблему, сначала введите коэффициенты.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [2;-3;1];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(size(lb));
Aeq = ones(1,3);
beq = 1/2;

Звонить quadprog, ввод [] для вводов A и b.

x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Квадратичная минимизация с опциями, не заданными по умолчанию

Открыть сценарий в реальном времени

Установка параметров для мониторинга хода выполнения quadprog.

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

Определите задачу с квадратной целью и линейными ограничениями неравенства.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

Чтобы помочь написать quadprog вызов функции, установка ненужных входов в [].

Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x0 = [];

Звонить quadprog для решения проблемы.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0   -8.884885e+00   3.214286e+00   1.071429e-01     1.000000e+00  
    1   -8.331868e+00   1.321041e-01   4.403472e-03     1.910489e-01  
    2   -8.212804e+00   1.676295e-03   5.587652e-05     1.009601e-02  
    3   -8.222204e+00   8.381476e-07   2.793826e-08     1.809485e-05  
    4   -8.222222e+00   3.019807e-14   1.352696e-12     7.525735e-13  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Квадратичная проблема из `prob2struct`

Открыть сценарий в реальном времени

Создать problem структура с использованием рабочего процесса оптимизации на основе проблем. Создайте задачу оптимизации, эквивалентную задаче «Квадратичная программа с линейными ограничениями».

x = optimvar('x',2);
objec = x(1)^2/2 + x(2)^2 - x(1)*x(2) - 2*x(1) - 6*x(2);
prob = optimproblem('Objective',objec);
prob.Constraints.cons1 = sum(x) <= 2;
prob.Constraints.cons2 = -x(1) + 2*x(2) <= 2;
prob.Constraints.cons3 = 2*x(1) + x(2) <= 3;

Новообращенный prob в problem структура.

problem = prob2struct(prob);

Решить проблему с помощью quadprog.

[x,fval] = quadprog(problem)

Warning: Your Hessian is not symmetric. Resetting H=(H+H')/2.

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -8.2222

Вернуть `quadprog` Значение целевой функции

Открыть сценарий в реальном времени

Решите квадратичную программу и верните как решение, так и значение целевой функции.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
[x,fval] = quadprog(H,f,A,b)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -47.1786

Проверьте, что возвращенное значение целевой функции соответствует значению, вычисленному из quadprog определение целевой функции.

fval2 = 1/2*x'*H*x + f'*x

fval2 = -47.1786

Исследовать `quadprog` Процесс оптимизации

Открыть сценарий в реальном времени

Просмотр процесса оптимизации для quadprog, задайте параметры для отображения итеративного дисплея и возврата четырех выходов. Проблема заключается в минимизации

$\frac{}{}^{} 12xTHx +^{}$ fTx

подлежит

$0≤x≤1$ ,

где

$H = \begin{matrix} [ \\ \frac{}{} \\ \frac{}{} \end{matrix}$ 21-11312-1125] $, f \begin{matrix} = \\ [ \end{matrix}$ 4-712].

Введите коэффициенты проблемы.

H = [2 1 -1
    1 3 1/2
    -1 1/2 5];
f = [4;-7;12];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(3,1);

Задайте опции для отображения итеративного хода выполнения решателя.

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

Звонить quadprog с четырьмя выходами.

[x fval,exitflag,output] = quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0    2.691769e+01   1.582123e+00   1.712849e+01     1.680447e+00  
    1   -3.889430e+00   0.000000e+00   8.564246e-03     9.971731e-01  
    2   -5.451769e+00   0.000000e+00   4.282123e-06     2.710131e-02  
    3   -5.499997e+00   0.000000e+00   1.221903e-10     6.939689e-07  
    4   -5.500000e+00   0.000000e+00   5.842173e-14     3.469847e-10  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -5.5000

exitflag = 1

output = struct with fields:
            message: '...'
          algorithm: 'interior-point-convex'
      firstorderopt: 1.5921e-09
    constrviolation: 0
         iterations: 4
       linearsolver: 'dense'
       cgiterations: []

Вернуть `quadprog` Множители Лагранжа

Открыть сценарий в реальном времени

Решите проблему квадратичного программирования и верните множители Лагранжа.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Изучение структуры множителя Лагранжа lambda.

disp(lambda)

    ineqlin: 12.0000
      eqlin: [0x1 double]
      lower: [3x1 double]
      upper: [3x1 double]

Ограничение линейного неравенства имеет связанный множитель Лагранжа 12.

Отображение множителей, связанных с нижней границей.

disp(lambda.lower)

    5.0000
    0.0000
    0.0000

Только первый компонент lambda.lower имеет ненулевой множитель. Это обычно означает, что только первый компонент x находится на нижней границе нуля. Подтвердите, выведя на экран компоненты x.

disp(x)

    0.0000
    1.5000
    1.5000

Вернуть объект теплого начала

Чтобы ускорить последующие quadprog вызовы, создайте теплый начальный объект.

options = optimoptions('quadprog','Algorithm','active-set');
x0 = [1 2 3];
ws = optimwarmstart(x0,options);

Решение квадратичной программы с помощью ws.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
tic
[ws,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],ws);
toc

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Elapsed time is 0.021717 seconds.

Измените целевую функцию и снова решите проблему.

f = [-10;-15;-20];

tic
[ws,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],ws);
toc

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Elapsed time is 0.018485 seconds.

Входные аргументы

свернуть все

`H` - Квадратичный целевой термин
симметричная вещественная матрица

Квадратичный целевой член, определяемый как симметричная вещественная матрица. H представляет квадратичное значение в выражении 1/2*x'*H*x + f'*x. Если H не является симметричным, quadprog выдает предупреждение и использует симметричную версию (H + H')/2 вместо этого.

Если квадратичная матрица H разрежен, то по умолчанию 'interior-point-convex' алгоритм использует несколько другой алгоритм, чем когда H плотный. Обычно разреженный алгоритм быстрее при больших, разреженных проблемах, а плотный алгоритм быстрее при плотных или малых проблемах. Дополнительные сведения см. в разделе LinearSolver описание опции и внутренний-точка-выпуклый квадпрог Алгоритм.

Пример: [2,1;1,3]

Типы данных: double

`f` - Линейный целевой термин
действительный вектор

Линейный целевой член, заданный как действительный вектор. f представляет линейный член в выражении 1/2*x'*H*x + f'*x.

Пример: [1;3;2]

Типы данных: double

`A` - Линейные ограничения неравенства
реальная матрица

Линейные ограничения неравенства, заданные как вещественная матрица. A является Mоколо-N матрица, где M - количество неравенств, и N - количество переменных (количество элементов в x0). По большим проблемам проходите A в виде разреженной матрицы.

A кодирует M линейные неравенства

A*x <= b,

где x - вектор столбца N переменные x(:), и b - вектор столбца с M элементы.

Например, для указания

x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30,

введите следующие ограничения:

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x суммируются до 1 или менее, используйте A = ones(1,N) и b = 1.

Типы данных: double

`b` - Линейные ограничения неравенства
действительный вектор

Линейные ограничения неравенства, заданные как действительный вектор. b является M-элементный вектор, связанный с A матрица. Если вы проходите b как вектор строки, решатели внутренне преобразуют b к вектору столбца b(:). По большим проблемам проходите b как разреженный вектор.

b кодирует M линейные неравенства

A*x <= b,

где x - вектор столбца N переменные x(:), и A является матрицей размера Mоколо-N.

Например, рассмотрим эти неравенства:

x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30.

Задайте неравенства, введя следующие ограничения.

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x суммируются до 1 или менее, используйте A = ones(1,N) и b = 1.

Типы данных: double

`Aeq` - Линейные ограничения равенства
реальная матрица

Линейные ограничения равенства, заданные как вещественная матрица. Aeq является Meоколо-N матрица, где Me - количество уравнений, и N - количество переменных (количество элементов в x0). По большим проблемам проходите Aeq в виде разреженной матрицы.

Aeq кодирует Me линейные равенства

Aeq*x = beq,

где x - вектор столбца N переменные x(:), и beq - вектор столбца с Me элементы.

Например, для указания

x1 + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x3 = 20,

введите следующие ограничения:

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x суммируются до 1, используйте Aeq = ones(1,N) и beq = 1.

Типы данных: double

`beq` - Линейные ограничения равенства
действительный вектор

Линейные ограничения равенства, заданные как действительный вектор. beq является Me-элементный вектор, связанный с Aeq матрица. Если вы проходите beq как вектор строки, решатели внутренне преобразуют beq к вектору столбца beq(:). По большим проблемам проходите beq как разреженный вектор.

beq кодирует Me линейные равенства

Aeq*x = beq,

где x - вектор столбца N переменные x(:), и Aeq является матрицей размера Meоколо-N.

Например, рассмотрим следующие равенства:

x1 + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x3 = 20.

Задайте равенства, введя следующие ограничения.

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x суммируются до 1, используйте Aeq = ones(1,N) и beq = 1.

Типы данных: double

`lb` - Нижние границы
вещественный вектор | вещественный массив

Нижние границы, определяемые как вещественный вектор или вещественный массив. Если количество элементов в x0 равно количеству элементов в lb, то lb указывает, что

x(i) >= lb(i) для всех i.

Если numel(lb) < numel(x0), то lb указывает, что

x(i) >= lb(i) для 1 <= i <= numel(lb).

Если элементов в меньше lb чем в x0решатели выдают предупреждение.

Пример: Чтобы указать, что все компоненты x являются положительными, используйте lb = zeros(size(x0)).

Типы данных: double

`ub` - Верхние границы
вещественный вектор | вещественный массив

Верхние границы, заданные как вещественный вектор или вещественный массив. Если количество элементов в x0 равно количеству элементов в ub, то ub указывает, что

x(i) <= ub(i) для всех i.

Если numel(ub) < numel(x0), то ub указывает, что

x(i) <= ub(i) для 1 <= i <= numel(ub).

Если элементов в меньше ub чем в x0решатели выдают предупреждение.

Пример: Чтобы указать, что все компоненты x меньше 1, используйте ub = ones(size(x0)).

Типы данных: double

`x0` - Начальная точка
действительный вектор

Начальная точка, заданная как действительный вектор. Длина x0 - количество строк или столбцов H.

x0 относится к 'trust-region-reflective' алгоритм, когда проблема имеет только связанные ограничения. x0 также относится к 'active-set' алгоритм.

Примечание

x0 является обязательным аргументом для 'active-set' алгоритм.

Если не указать x0, quadprog устанавливает все компоненты x0 до точки во внутренней части рамки, определяемой границами. quadprog игнорирует x0 для 'interior-point-convex' и для 'trust-region-reflective' алгоритм с ограничениями равенства.

Пример: [1;2;1]

Типы данных: double

`options` - Варианты оптимизации
вывод `optimoptions` | структура, такая как `optimset` прибыль

Опции оптимизации, указанные как выходные данные optimoptions или структура, такая как optimset возвращает.

Некоторые опции отсутствуют в optimoptions дисплей. Эти параметры выделены курсивом в следующей таблице. Дополнительные сведения см. в разделе Параметры просмотра.

Все алгоритмы

`Algorithm`	Выберите алгоритм: `'interior-point-convex'` (по умолчанию) `'trust-region-reflective'` `'active-set'` `'interior-point-convex'` алгоритм обрабатывает только выпуклые проблемы. `'trust-region-reflective'` алгоритм обрабатывает проблемы только с границами или только линейными ограничениями равенства, но не с обоими. `'active-set'` алгоритм обрабатывает неопределенные проблемы при условии, что проекция `H` на пространство NULL `Aeq` является положительным полуопределением. Дополнительные сведения см. в разделе Выбор алгоритма.
Диагностика	Отображение диагностической информации о функции, которая должна быть свернута или решена. Выбор: `'on'` или `'off'` (по умолчанию).
`Display`	Уровень отображения (см. Итерационный просмотр): `'off'` или `'none'` не отображает выходные данные. `'final'` отображает только окончательный вывод (по умолчанию). `'interior-point-convex'` и `'active-set'` алгоритмы допускают дополнительные значения: `'iter'` задает итеративное отображение. `'iter-detailed'` указывает итеративное отображение с подробным сообщением о выходе. `'final-detailed'` отображает только окончательный вывод с подробным сообщением о выходе.
`MaxIterations`	Максимально допустимое число итераций; положительное целое число. Для `'trust-region-reflective'` проблема с ограничением равенства, значением по умолчанию является `2(numberOfVariables – numberOfEqualities)`. `'active-set'` имеет значение по умолчанию `10(numberOfVariables + numberOfConstraints)`. Для всех остальных алгоритмов и проблем значением по умолчанию является `200`. Для `optimset`, имя опции: `MaxIter`. См. раздел Имена текущих и устаревших опций.
`OptimalityTolerance`	Допуск окончания на оптимальность первого порядка; положительный скаляр. Для `'trust-region-reflective'` проблема с ограничением равенства, значением по умолчанию является `1e-6`. Для `'trust-region-reflective'` проблема с зависимостью, значение по умолчанию: `100*eps`О нас `2.2204e-14`. Для `'interior-point-convex'` и `'active-set'` алгоритмы, значение по умолчанию: `1e-8`. См. раздел Допуски и критерии остановки. Для `optimset`, имя опции: `TolFun`. См. раздел Имена текущих и устаревших опций.
`StepTolerance`	Допуск окончания на `x`; положительный скаляр. Для `'trust-region-reflective'`, значением по умолчанию является `100*eps`О нас `2.2204e-14`. Для `'interior-point-convex'`, значением по умолчанию является `1e-12`. Для `'active-set'`, значением по умолчанию является `1e-8`. Для `optimset`, имя опции: `TolX`. См. раздел Имена текущих и устаревших опций.

'trust-region-reflective' Только алгоритм

`FunctionTolerance`	Допуск окончания для значения функции; положительный скаляр. Значение по умолчанию зависит от типа проблемы: использование связанных проблем `100*eps`и использование линейных проблем, связанных с равенством `1e-6`. См. раздел Допуски и критерии остановки. Для `optimset`, имя опции: `TolFun`. См. раздел Имена текущих и устаревших опций.
`HessianMultiplyFcn`	Функция умножения Гессена, заданная как дескриптор функции. Для крупномасштабных структурированных задач эта функция вычисляет матричное изделие Гессена `HY` без фактического формирования `H`. Функция имеет вид W = hmfun(Hinfo,Y) где `Hinfo` (и потенциально некоторые дополнительные параметры) содержат матрицы, используемые для вычисления `HY`. Пример использования этой опции см. в разделе Quadratic Minimization with Dense, Structured Hessian. Для `optimset`, имя опции: `HessMult`. См. раздел Имена текущих и устаревших опций.
MaxPCGIter	Максимальное количество итераций PCG (предварительно кондиционированный сопряженный градиент); положительный скаляр. Значение по умолчанию: `max(1,floor(numberOfVariables/2))` для связанных проблем. Для проблем, связанных с обеспечением равенства, `quadprog` игнорирует `MaxPCGIter` и использует `MaxIterations` для ограничения числа итераций PCG. Дополнительные сведения см. в разделе Метод предварительно кондиционированного сопряженного градиента.
PrecondBandWidth	Верхняя полоса пропускания устройства предварительного кондиционирования для PCG; неотрицательное целое число. По умолчанию `quadprog` использует диагональное предварительное кондиционирование (верхняя полоса пропускания `0`). При некоторых проблемах увеличение полосы пропускания уменьшает количество итераций PCG. Настройка `PrecondBandWidth` кому `Inf` использует прямую факторизацию (Cholesky), а не сопряженные градиенты (CG). Прямая факторизация в вычислительном отношении дороже, чем CG, но обеспечивает более качественный шаг к решению.
`SubproblemAlgorithm`	Определяет способ вычисления шага итерации. Значение по умолчанию, `'cg'`, делает более быстрый, но менее точный шаг, чем `'factorization'`. См. раздел Алгоритм квадропрога, отражающий область доверия.
TolPCG	Допуск окончания на итерации PCG; положительный скаляр. Значение по умолчанию: `0.1`.
`TypicalX`	Типичный `x` значения. Количество элементов в `TypicalX` равно количеству элементов в `x0`, отправная точка. Значение по умолчанию: `ones(numberOfVariables,1)`. `quadprog` использование `TypicalX` внутренне для масштабирования. `TypicalX` имеет эффект только тогда, когда `x` имеет неограниченные компоненты, и когда `TypicalX` значение для неограниченного компонента превышает `1`.

'interior-point-convex' Только алгоритм

ConstraintTolerance

Допуск на нарушение ограничения; положительный скаляр. Значение по умолчанию: 1e-8.

Для optimset, имя опции: TolCon. См. раздел Имена текущих и устаревших опций.

LinearSolver

Тип внутреннего линейного решателя в алгоритме:

'auto' (по умолчанию) - Использовать 'sparse' если H матрица разрежена и 'dense' в противном случае.
'sparse' - Использовать разреженную линейную алгебру. См. раздел Разреженные матрицы.
'dense' - Использовать плотную линейную алгебру.

'active-set' Только алгоритм

ConstraintTolerance

Допуск на нарушение ограничения; положительный скаляр. Значение по умолчанию: 1e-8.

Для optimset, имя опции: TolCon. См. раздел Имена текущих и устаревших опций.

ObjectiveLimit

Допуск (критерий остановки), являющийся скаляром. Если значение целевой функции ниже ObjectiveLimit и текущая точка осуществима, итерации останавливаются, потому что проблема, предположительно, является неограниченной. Значение по умолчанию: -1e20.

`problem` - Структура проблемы
структура

Структура проблемы, заданная как структура со следующими полями:

`H`	Симметричная матрица в `1/2x'H*x`
`f`	Вектор в линейном члене `f'*x`
`Aineq`	Матрица в линейных ограничениях неравенства `Aineq*x` ≤ `bineq`
`bineq`	Вектор в линейных ограничениях неравенства `Aineq*x` ≤ `bineq`
`Aeq`	Матрица в линейных ограничениях равенства `Aeq*x = beq`
`beq`	Вектор в линейных ограничениях равенства `Aeq*x = beq`
`lb`	Вектор нижних границ
`ub`	Вектор верхних границ
`x0`	Начальная точка для `x`
`solver`	`'quadprog'`
`options`	Параметры, созданные с помощью `optimoptions` или `optimset`

Обязательные поля: H, f, solver, и options. При решении, quadprog игнорирует любые поля в problem кроме перечисленных.

Примечание

Нельзя использовать теплое начало с problem аргумент.

Типы данных: struct

`ws` - Теплый стартовый объект
объект, созданный с помощью `optimwarmstart`

Теплый начальный объект, заданный как объект, созданный с помощью optimwarmstart. Объект теплого начала содержит начальную точку и параметры, а также дополнительные данные для размера памяти при создании кода. См. раздел Передовые практики «Теплый старт».

Пример: ws = optimwarmstart(x0,options)

Выходные аргументы

свернуть все

`x` - Решение
действительный вектор

Решение, возвращенное как реальный вектор. x является вектором, который минимизирует 1/2*x'*H*x + f'*x со всеми границами и линейными ограничениями. x может быть локальным минимумом для неконвексных проблем. Для выпуклых проблем, x является глобальным минимумом. Дополнительные сведения см. в разделе Локальная и глобальная оптимизация.

`wsout` - Теплый стартовый объект раствора
`QuadprogWarmStart` объект

Теплый начальный объект решения, возвращенный как QuadprogWarmStart объект. Точка решения: wsout.X.

Вы можете использовать wsout в качестве входного теплого стартового объекта в последующем quadprog звоните.

`fval` - Значение целевой функции при решении
действительный скаляр

Значение целевой функции в решении, возвращаемое как вещественный скаляр. fval - значение 1/2*x'*H*x + f'*x на решении x.

`exitflag` - Причина `quadprog` остановленный
целое число

Причина quadprog stopped, возвращается как целое число, описанное в этой таблице.

Все алгоритмы
`1`	Функция, сходящаяся к решению `x`.
`0`	Превышено число итераций `options.MaxIterations`.
`-2`	Проблема неосуществима. Или, для `'interior-point-convex'`, размер шага был меньше, чем `options.StepTolerance`, но ограничения не были удовлетворены.
`-3`	Проблема безгранична.
`'interior-point-convex'` Алгоритм
`2`	Размер шага был меньше `options.StepTolerance`, ограничения были удовлетворены.
`-6`	Обнаружена неконвексная проблема.
`-8`	Не удалось вычислить направление шага.
`'trust-region-reflective'` Алгоритм
`4`	Найден локальный минимум; минимум не уникален.
`3`	Изменение значения целевой функции было меньше `options.FunctionTolerance`.
`-4`	Текущее направление поиска не было направлением спуска. Дальнейшего прогресса достичь не удалось.
`'active-set'` Алгоритм
`-6`	Обнаружена неконвексная проблема; проекция `H` на пространство NULL `Aeq` не является положительным полуопределением.

Примечание

Иногда, 'active-set' алгоритм останавливается с флагом выхода 0 когда проблема, по сути, безгранична. Установка более высокого предела итерации также приводит к появлению флага выхода 0.

`output` - Информация о процессе оптимизации
структура

Информация о процессе оптимизации, возвращенная в виде структуры со следующими полями:

`iterations`	Количество выполненных итераций
`algorithm`	Используемый алгоритм оптимизации
`cgiterations`	Общее количество итераций PCG (`'trust-region-reflective'` только алгоритм)
`constrviolation`	Максимум функций ограничения
`firstorderopt`	Мера оптимальности первого порядка
`linearsolver`	Тип внутреннего линейного решателя, `'dense'` или `'sparse'` (`'interior-point-convex'` только алгоритм)
`message`	Выйти из сообщения

`lambda` - Множители лагранжа в решении
структура

Множители лагранжа в решении, возвращаемые как структура со следующими полями:

`lower`	Нижние границы `lb`
`upper`	Верхние границы `ub`
`ineqlin`	Линейные неравенства
`eqlin`	Линейные равенства

Дополнительные сведения см. в разделе Структуры множителей Лагранжа.

Алгоритмы

свернуть все

`'interior-point-convex'`

'interior-point-convex' алгоритм пытается следовать по пути, который находится строго внутри ограничений. Он использует модуль предварительного решения для устранения избыточности и упрощения задачи путем решения простых компонентов.

Алгоритм имеет различные реализации для разреженной гессенской матрицы H и для плотной матрицы. Обычно разреженная реализация происходит быстрее при больших, разреженных проблемах, а плотная реализация - быстрее при плотных или малых проблемах. Дополнительные сведения см. в разделе Алгоритм квадропрога внутренней точки и выпуклости.

`'trust-region-reflective'`

'trust-region-reflective' алгоритм представляет собой метод области доверия подпространства на основе метода Ньютона с внутренним отражением, описанного в [1]. Каждая итерация включает в себя приблизительное решение большой линейной системы методом предварительно кондиционированных сопряженных градиентов (PCG). Дополнительные сведения см. в разделе Алгоритм квадропрога, отражающий область доверия.

`'active-set'`

'active-set' алгоритм является проекционным методом, аналогичным описанному в [2]. Алгоритм не масштабен; см. Крупномасштабные и среднемасштабные алгоритмы. Дополнительные сведения см. в разделе Алгоритм квадрограммы активного набора.

Теплый старт

Объект теплого начала сохраняет список активных ограничений из предыдущей решенной задачи. Решатель переносит как можно больше информации об активных ограничениях для решения текущей задачи. Если предыдущая проблема слишком отличается от текущей, информация об активном наборе не используется повторно. В этом случае решатель эффективно выполняет холодный запуск, чтобы перестроить список активных ограничений.

Альтернативная функциональность

Приложение

Задача «Оптимизировать интерактивный редактор» обеспечивает визуальный интерфейс для quadprog.

Ссылки

[1] Коулман, T. F. и И. Ли. «Метод отражения Ньютона для минимизации квадратичной функции, зависящей от границ некоторых переменных». Журнал SIAM по оптимизации. Том 6, номер 4, 1996, стр. 1040-1058.

[2] Жабры, P. E., В. Мюррей и М. Х. Райт. Практическая оптимизация. Лондон: Академическая пресса, 1981.

[3] Гулд, Н. и П. Л. Тоунт. «Предварительная обработка для квадратичного программирования». Математическое программирование. Серия B, том 100, 2004, стр. 95-132.

Расширенные возможности

Создание кода C/C + +
Создайте код C и C++ с помощью MATLAB ® Coder™

Примечания и ограничения по использованию:

Пример см. в разделе Создание кода для квадрограммы.

См. также

Темы

Представлен до R2006a

Документация

quadprog

Синтаксис

Описание

Примеры

Квадратичная программа с линейными ограничениями

Квадратичная программа с линейным ограничением равенства

Квадратичная минимизация с линейными ограничениями и границами

Квадратичная минимизация с опциями, не заданными по умолчанию

Квадратичная проблема из prob2struct

Вернуть quadprog Значение целевой функции

Исследовать quadprog Процесс оптимизации

Вернуть quadprog Множители Лагранжа

Вернуть объект теплого начала

Входные аргументы

H - Квадратичный целевой термин симметричная вещественная матрица

f - Линейный целевой термин действительный вектор

A - Линейные ограничения неравенства реальная матрица

b - Линейные ограничения неравенства действительный вектор

Aeq - Линейные ограничения равенства реальная матрица

beq - Линейные ограничения равенства действительный вектор

lb - Нижние границы вещественный вектор | вещественный массив

ub - Верхние границы вещественный вектор | вещественный массив

x0 - Начальная точка действительный вектор

options - Варианты оптимизации вывод optimoptions | структура, такая как optimset прибыль

problem - Структура проблемы структура

ws - Теплый стартовый объект объект, созданный с помощью optimwarmstart

Выходные аргументы

x - Решение действительный вектор

wsout - Теплый стартовый объект раствора QuadprogWarmStart объект

fval - Значение целевой функции при решении действительный скаляр

exitflag - Причина quadprog остановленный целое число

output - Информация о процессе оптимизации структура

lambda - Множители лагранжа в решении структура

Алгоритмы

'interior-point-convex'

'trust-region-reflective'

'active-set'

Теплый старт

Альтернативная функциональность

Приложение

Ссылки

Расширенные возможности

Создание кода C/C + + Создайте код C и C++ с помощью MATLAB ® Coder™

См. также

Темы

Документация по панели инструментов оптимизации

Поддержка

Квадратичная проблема из `prob2struct`

Вернуть `quadprog` Значение целевой функции

Исследовать `quadprog` Процесс оптимизации

Вернуть `quadprog` Множители Лагранжа

`H` - Квадратичный целевой термин
симметричная вещественная матрица

`f` - Линейный целевой термин
действительный вектор

`A` - Линейные ограничения неравенства
реальная матрица

`b` - Линейные ограничения неравенства
действительный вектор

`Aeq` - Линейные ограничения равенства
реальная матрица

`beq` - Линейные ограничения равенства
действительный вектор

`lb` - Нижние границы
вещественный вектор | вещественный массив

`ub` - Верхние границы
вещественный вектор | вещественный массив

`x0` - Начальная точка
действительный вектор

`options` - Варианты оптимизации
вывод `optimoptions` | структура, такая как `optimset` прибыль

`problem` - Структура проблемы
структура

`ws` - Теплый стартовый объект
объект, созданный с помощью `optimwarmstart`

`x` - Решение
действительный вектор

`wsout` - Теплый стартовый объект раствора
`QuadprogWarmStart` объект

`fval` - Значение целевой функции при решении
действительный скаляр

`exitflag` - Причина `quadprog` остановленный
целое число

`output` - Информация о процессе оптимизации
структура

`lambda` - Множители лагранжа в решении
структура

`'interior-point-convex'`

`'trust-region-reflective'`

`'active-set'`

Создание кода C/C + +
Создайте код C и C++ с помощью MATLAB ® Coder™