Охарактеризовать скорость разделения бесконечно близких траекторий
lyapExp = lyapunovExponent(X,fs)X с использованием частоты дискретизации fs. Использовать lyapunovExponent для характеристики скорости разделения бесконечно близких траекторий в фазовом пространстве для различения различных аттракторов. Показатель Ляпунова полезен при количественном определении уровня хаоса в системе, который в свою очередь может быть использован для обнаружения потенциальных неисправностей.
[ оценивает показатель Ляпунова, шаг расширения и соответствующую логарифмическую дивергенцию равномерно дискретизированного сигнала временной области lyapExp,estep,ldiv] = lyapunovExponent(___)X. Использовать шаг расширения estep и соответствующая логарифмическая дивергенция ldiv для диагностики сигналов.
___ = lyapunovExponent(___, оценивает показатель Ляпунова с дополнительными опциями, указанными одним или несколькими Name,Value)Name,Value аргументы пары.
lyapunovExponent(___) без выходных аргументов создает график зависимости средней логарифмической дивергенции от шага расширения.
Использование созданного интерактивного графика для поиска подходящего ExpansionRange.
В этом примере рассмотрим аттрактор Лоренца, описывающий уникальный набор хаотических решений.
Загрузка набора данных и частоты дискретизации fs в рабочее пространство и визуализировать аттрактор Лоренца в 3-D.
load('lorenzAttractorExampleData.mat','data','fs'); plot3(data(:,1),data(:,2),data(:,3));
В этом примере используются данные направления X аттрактора Лоренца. С тех пор Lag неизвестно, оцените задержку, используя phaseSpaceReconstruction. Установите размерность на 3, так как аттрактор Лоренца является трёхмерной системой. dim и lag параметры необходимы для создания логарифмического графика расхождения в зависимости от шага расширения.
xdata = data(:,1); dim = 3; [~,lag] = phaseSpaceReconstruction(xdata,[],dim)
lag = 10
Создайте график зависимости средней логарифмической дивергенции от шага расширения для аттрактора Лоренца, используя lag значение, полученное на предыдущем шаге. Установите достаточно большой диапазон расширения, чтобы охватить все шаги расширения.
eRange = 200;
lyapunovExponent(xdata,fs,lag,dim,'ExpansionRange',eRange)
Первая пунктирная вертикальная зеленая линия (слева) указывает минимальное количество шагов, используемых для оценки диапазона расширения, в то время как вторая вертикальная зеленая линия (справа) представляет максимальное количество используемых шагов. Вместе первая и вторая вертикальные линии представляют диапазон расширения. Пунктирная красная линия указывает линейную линию подгонки для данных в пределах диапазона расширения.
Чтобы вычислить наибольшую экспоненту Ляпунова, сначала нужно определить диапазон расширения, необходимый для точной оценки.
На графике перетащите две пунктирные вертикальные зеленые линии, чтобы наилучшим образом подогнать линейную линию к исходной линии данных, чтобы получить диапазон расширения: и .
Обратите внимание на новые значения диапазона расширения после перетаскивания двух вертикальных линий для соответствующей посадки.
Поскольку диапазон расширения может быть задан только с использованием целых чисел, округление и до ближайшего целого числа. Найдите самый большой показатель Ляпунова аттракциона Лоренца, используя новое значение диапазона расширения.
Kmin = 21;
Kmax = 161;
lyapExp = lyapunovExponent(xdata,fs,lag,dim,'ExpansionRange',[Kmin Kmax])lyapExp = 1.6834
Отрицательная экспонента Ляпунова указывает на сходимость, в то время как положительные экспоненты Ляпунова демонстрируют расходимость и хаос. Величина lyapExp - показатель скорости сходимости или расхождения бесконечно близких траекторий.
Показатель Ляпунова вычисляется следующим образом:
lyapunovExponent функция сначала формирует задержанный Y1:N реконструкции с вложением размерности m, и запаздывает
Для точки i, программное обеспечение тогда находит ближайший соседний пункт i*, который удовлетворяет таким образом что , где MinSeparationсредний период представляет собой обратную величину средней частоты.
Показатель Ляпунова для всего диапазона расширения рассчитывается как,
− Yi * ‖
где, Кмин и Кмакс представляют ExpansionRange, dt время выборки и Yi * ‖
Одно значение для показателя Ляпунова затем вычисляется из предыдущего шага с помощью polyfit команда как,
i))
[1] Майкл Т. Розенштейн, Джеймс Дж. Коллинз, Карло Дж. Де Лука. «Практический метод вычисления крупнейших показателей Ляпунова по малым наборам данных». Физика D 1993. Том 65. Страницы 117-134.
[2] Caesarendra, Wahyu & Kosasih, P & Tieu, Kiet & Moodie, Craig. «Применение нелинейного извлечения признаков - тематическое исследование для мониторинга и прогноза состояния низкоскоростного поворотного подшипника». Международная конференция IEEE/ASME по передовой интеллектуальной мехатронике: мехатроника для благополучия человека, AIM 2013.1713-1718. 10.1109/AIM.2013.6584344.
[3] Маккью, Ли и В. Трош, Армин. (2011). «Использование экспонентов Ляпунова для прогнозирования хаотических движений сосудов». Механика жидкости и ее применение. 97. 415-432. 10.1007/978-94-007-1482-3_23.