Преобразование наблюдаемых временных рядов в векторы состояния
XR = phaseSpaceReconstruction(X,lag,dim)XR равномерно дискретизированного сигнала временной области X с временной задержкой lag и измерение встраивания dim в качестве входных данных.
Использовать phaseSpaceReconstruction для проверки системного порядка и восстановления всех динамических системных переменных с сохранением свойств системы. Восстановление фазового пространства полезно при наличии ограниченных данных или при неизвестном измерении фазового пространства и запаздывании. Нелинейные элементы approximateEntropy, correlationDimension, и lyapunovExponent использовать phaseSpaceReconstruction в качестве первого шага вычисления.
[___] = phaseSpaceReconstruction(___, возвращает восстановленное фазовое пространство Name,Value)XR с дополнительными опциями, указанными одним или несколькими Name,Value аргументы пары.
phaseSpaceReconstruction(___) без выходных аргументов создает матрицу подосей реконструированного фазового пространства с графиками гистограммы по диагонали.
В этом примере предположим, что имеются измерения для аттрактора Лоренца. Ваши измерения только вдоль направления x, но аттрактор является трехмерной системой. Используя эти ограниченные данные, реконструируйте фазовое пространство таким образом, чтобы сохранить свойства исходной системы.
Загрузка данных Lorenz Attractor и визуализация x, y и z измерения на графике 3-D.
load('lorenzAttractorExampleData.mat','data'); plot3(data(:,1),data(:,2),data(:,3));
Оцените запаздывание и размер с помощью измерения направления X.
xdata = data(:,1); [~,eLag,eDim] = phaseSpaceReconstruction(xdata)
eLag = 10
eDim = 3
Поскольку аттрактор Лоренца имеет данные в 3 измерениях, предполагаемое измерение встраивания eDim равно 3.
Визуализация реконструированного фазового пространства с использованием расчетного размера запаздывания и встраивания.
phaseSpaceReconstruction(xdata,eLag,eDim);
Как видно из графика фазового пространства 3x3, восстанавливается топология аттрактора. 10) + 20) являются двумя другими состояниями, реконструированными с расчетным значением запаздывания 10. Диагональные графики (1,1), (2,2) и (3,3) представляют данных x1 (t), x1 (t + 10) и x1 (t + 20) соответственно.
Фазовая реконструкция пространства
Для одномерного одномерного временного сигнала ) T,phaseSpaceReconstruction вычисляет задержанную реконструкцию
N− (m1−1) τ1
где N - длина временного ряда, start1 - запаздывание, а m1 - размерность внедрения для X1.
Аналогично, для многомерного временного ряда X данное,
⋱⋯xS,1⋮xS,N]
phaseSpaceReconstruction вычисляет реконструкцию для каждого временного ряда как,
} − 1) (max {starti})
где S - количество измерений, и N - длина временного ряда.
Оценка задержки
Задержка для фазовой реконструкции пространства оценивается с использованием средней взаимной информации (AMI). Для реконструкции временная задержка устанавливается как первый локальный минимум AMI.
Средняя взаимная информация вычисляется как,
p (xi) p (xi + T)]
где, N - длина временного ряда,, и, В = 1:MaxLag.
Оценка измерения встраивания
Измерение встраивания для реконструкции фазового пространства оценивается с использованием алгоритма ложного ближайшего соседа (FNN).
Для точки i в размерности d точки Xri и ее ближайшая точка Xr * i в реконструированном фазовом пространстве {Xri}, i = 1:N, являются ложными соседями, если
Порог отклонения
где, * ‖ 2 - метрика расстояния.
Расчетный размер встраивания d наименьшее значение, удовлетворяющее условию pnn <
PercentFalseNeighbors где, pfnn - отношение точек FNN к общему количеству точек в восстановленном фазовом пространстве.
[1] Роудс, Карл и Морари, Манфред. «Неверный алгоритм ближайших соседей и искаженный шум временного ряда». Физический обзор. E. 55.10.1103/PhysRevE.55.6162.
[2] Кликова, Б. и Алеш Райдл. «Реконструкция фазового пространства динамических систем методом временной задержки». Материалы 20-й ежегодной конференции докторантов WDS 2011.
[3] И. Влахос, Д. Кугиумцис, «Реконструкция государственного пространства для многомерного предсказания временных рядов», Нелинейные явления в сложных системах, Vol 11, No 2, pp 241-249, 2008.
[4] Канц, Х. и Шрайбер, Т. Нелинейный анализ временных рядов. Кембридж: Cambridge University Press, том 7, 2004.
approximateEntropy | correlationDimension | lyapunovExponent