Документация

Переменные структурированной матрицы

Довольно сложные матричные переменные структуры и взаимозависимости могут быть определены с помощью lmivar. Напомним, что симметричные блок-диагональные или прямоугольные структуры покрыты типами 1 и 2 из lmivar при условии, что переменные матрицы независимы. Чтобы описать более сложные структуры или корреляции между переменными, необходимо использовать тип 3 и указать каждую запись матричных переменных непосредственно в терминах свободных скалярных переменных задачи (так называемых переменных принятия решения).

При типе 3 каждая запись указывается как 0 или ± _xn, где _xn - переменная n-го решения. Следующие примеры иллюстрируют, как указать нетривиальные матричные переменные структуры сlmivar. Следующие примеры показывают структуры переменных с некоррелированными и взаимозависимыми матричными переменными.

setlmis([]) 
[X,n] = lmivar(1,[3 1]);
n

n = 6

Y = lmivar(3,n+[1 2 3;2 1 2;3 2 1]);

Y = lmivar(3,toeplitz(n+[1 2 3]));

lmis = getlmis; 
decinfo(lmis,X)

ans = 3×3

     1     2     4
     2     3     5
     4     5     6

decinfo(lmis,Y)

ans = 3×3

     7     8     9
     8     7     8
     9     8     7

setlmis([]); 
[X,n,sX] = lmivar(1,[1 0;1 0]);
[Y,n,sY] = lmivar(1,[1 0;1 0]);

sX

sX = 2×2

     1     0
     0     2

sY

sY = 2×2

     3     0
     0     4

[Z,n,sZ] = lmivar(3,[0 -sX(1,1);-sY(2,2) 0]);

sZ

sZ = 2×2

     0    -1
    -4     0

Сложные LMI

Решатели LMI записываются для вещественных матриц и не могут непосредственно обрабатывать задачи LMI, включающие в себя комплексные матрицы. Однако комплексные LMI можно превратить в действительные LMI, наблюдая, что комплексная эрмитова матрица L (x) удовлетворяет

L (x) < 0

если и только если

Это предполагает следующую систематическую процедуру превращения комплексных LMI в реальные:

Для LMI без внешнего фактора упрощенная версия этой процедуры состоит из замены любого вхождения переменной матрицы X = X1 + jX2 на

и любую фиксированную матрицу A = A1 + jA2, включая вещественные, на

Например, реальный аналог системы LMI

считывает (учитывая разложения M = M1 + jM2 и X = X1 + jX2 с Mj, Xj вещественными):

Обратите внимание, что X = XH, в свою очередь, требует, чтобы $${}_{\mathrm{X1}}{=}_{\mathrm{}}^{}$$X1H $${и}_{\mathrm{}}{\mathrm{X2}}_{\mathrm{}}^{+}\mathrm{}$$X2T = 0. Следовательно, X1 и X2 должны быть объявлены как симметричные и асимметричные матричные переменные соответственно.

Предполагая, например, что M ∊ C5 ^× 5, система LMI ( уравнение 1) будет определена следующим образом:

M1=real(M), M2=imag(M) 
bigM=[M1 M2;-M2 M1] 
setlmis([])

% declare bigX=[X1 X2;-X2 X1] with X1=X1' and X2+X2'=0:

[X1,n1,sX1] = lmivar(1,[5 1]) 
[X2,n2,sX2] = lmivar(3,skewdec(5,n1)) 
bigX = lmivar(3,[sX1 sX2;-sX2 sX1])

% describe the real counterpart of (1.12):

lmiterm([1 1 1 0],1) 
lmiterm([-1 1 1 bigX],1,1) 
lmiterm([2 1 1 bigX],bigM',bigM) 
lmiterm([-2 1 1 bigX],1,1)

lmis = getlmis

Обратите внимание на трехшаговое объявление переменной структурированной матрицы bigX,

Дополнительные сведения о таких манипуляциях со структурой см. в разделе Переменные структурированной матрицы.

Задание целей ^cTx для mincx

Решатель LMI mincx минимизирует линейные цели вида cTx, где x - вектор переменных принятия решения. Однако в большинстве проблем управления такие цели выражены в терминах матричных переменных, а не x. Примеры включают Trace (X), где X является симметричной матричной переменной, или ^uTXu, где u является заданным вектором .

Функция defcx облегчает получение вектора c, когда цель является аффинной функцией матричных переменных. Для иллюстрации рассмотрим линейную цель

где X и P - две симметричные переменные, а x0 - данный вектор. Если lmsisys - внутреннее представление системы LMI и, если x0, X, P были объявлены

x0 = [1;1] 
setlmis([]) 
X = lmivar(1,[3 0]) 
P = lmivar(1,[2 1]) 
	: 
	: 
lmisys = getlmis

вектор c таким образом, что $${}^{}\mathrm{cTx}\text{=}\mathrm{Trace}(X_{\mathrm{)}}^{}+{}_{\mathrm{}}$$x0TPx0 может быть вычислен следующим образом:

n = decnbr(lmisys) 
c = zeros(n,1)

for j=1:n, 
	[Xj,Pj] = defcx(lmisys,j,X,P) 
	c(j) = trace(Xj) + x0'*Pj*x0 
end

Первая команда возвращает количество переменных принятия решения в задаче, а вторая команда соответственно измеряет c. Затем for цикл выполняет следующие операции:

В нашем примере результат

c = 
	3 
	1 	
	2
	1

Другие задачи обрабатываются аналогичным образом путем редактирования следующего базового скелета:

n = decnbr( LMI system ) 
c = zeros(n,1) 
for j=1:n, 
	[ matrix values ] = defcx( LMI system,j,
matrix identifiers) 
	c(j) = objective(matrix values) 
end

Радиус выполнимости

При решении проблем LMI с feasp, mincx, или gevp, возможно ограничить решение x лежанием в шаре

xTx < R2

где R > 0 называется радиусом осуществимости. Это задает максимальную (евклидову норму) величину для x и позволяет избежать получения решений очень большой нормы. Это также может ускорить вычисления и улучшить числовую стабильность. Наконец, граница радиуса осуществимости упорядочивает проблемы с избыточными наборами переменных. В грубых выражениях набор скалярных переменных является избыточным, когда эквивалентная задача может быть сформулирована с меньшим числом переменных.

Радиус осуществимости R задается третьей записью вектора опций решателей LMI. Значение по умолчанию - R = 109. Установка R в отрицательное значение означает «отсутствие жесткой связи», в этом случае радиус осуществимости при необходимости увеличивается во время оптимизации. Этот режим «гибких связей» может дать решения больших норм.

Проблемы благонадежности

Решатели LMI, используемые в LMI Lab, основаны на методах оптимизации внутренних точек. Для вычисления возможных решений такие методы требуют, чтобы система ограничений LMI была строго осуществимой, то есть выполнимый набор имел непустую внутреннюю часть. В результате эти решатели могут столкнуться с трудностями, когда ограничения LMI выполнимы, но не строго осуществимы, то есть когда LMI

L (x) ≤ 0

имеет решения, в то время как

L (x) < 0

не имеет решения.

Для проблем выполнимости эта трудность автоматически обходится feasp, которая переформулирует проблему:

Найти x таких, что

как:

Минимизировать t, подлежащее

В этой модифицированной задаче ограничение LMI всегда строго выполнимо в x, t, и исходное уравнение LMI  2 возможно тогда и только тогда, когда глобальный минимум tmin уравнения 2 удовлетворяет

tmin ≤ 0

Однако для возможных, но не строго осуществимых проблем вычислительные усилия обычно выше, так как feasp стремится приблизиться к глобальному оптимуму tmin = 0 с высокой точностью.

Для проблем LMI, решаемых mincx и gevpнеограниченная осуществимость, как правило, приводит к сбою решателей и возврату диагноза «несходимости». Хотя не существует универсального средства для этой трудности, иногда возможно устранить лежащие в основе алгебраических ограничений, чтобы получить строго выполнимую проблему с меньшим количеством переменных.

Другая проблема связана с однородными проблемами осуществимости, такими как

ATP + P A < 0, P > 0

Хотя эта проблема технически хорошо поставлена, оптимизация LMI, скорее всего, приведет к решениям, близким к нулю (тривиальное решение неограниченной задачи). Чтобы вычислить нетривиальную матрицу Ляпунова и легко дифференцировать осуществимость и несходимость, замените ограничение P > 0-by-P > αI на α > 0. Обратите внимание, что это не изменяет проблему из-за ее однородности.

Полуопределённый B (x) в gevp Проблемы

Рассмотрим обобщенную проблему минимизации собственных значений

Минимизировать λ при условии

Технически положительность B (x) для некоторого значения x ∊ ^Rn необходима для обоснованности проблемы и применимости методов внутренней точки полиномиального времени. Отсюда проблемы, где

с B1 (x ) > 0 строго осуществимо, не может быть непосредственно решен сgevp. Простое средство состоит в замене ограничений

A (x) < B (x), B (x) > 0

около

где Y - дополнительная симметричная переменная правильных размеров. Результирующая задача эквивалентна уравнению 3 и может быть решена непосредственно с помощью gevp.

Проблемы эффективности и сложности

Как объясняется в документе Инструменты для определения и решения LMI, терминоориентированное описание LMI, используемых в LMI Lab, обычно приводит к более высокой эффективности, чем каноническое представление

Однако это уже не верно, когда число переменных членов почти равно или больше числа N переменных принятия решения в задаче. Если ваша задача LMI имеет мало свободных скалярных переменных, но много членов в каждом LMI, поэтому предпочтительно переписать его как уравнение 4 и указать его в этой форме. Каждая скалярная переменная xj затем объявляется независимо, и члены LMI имеют вид xjAj.

Если M обозначает общий размер строки системы LMI, а N - общее число скалярных переменных принятия решения, то число триггеров на итерацию для feasp и mincx решатели пропорциональны

В то время как теория гарантирует подсчет наихудших итераций, пропорциональный M, количество фактически выполненных итераций растет медленно с M в большинстве задач. Наконец, пока feasp и mincx сопоставимы по сложности, gevp обычно требуется больше вычислительных усилий. Убедитесь, что проблема LMI не может быть решена с помощью mincx перед использованием gevp.

Решение M + ^PTXQ + ^QTXTP < 0

Во многих проблемах синтеза с выходной обратной связью конструкция может быть выполнена в два этапа:

Оказывается, что конкретное решение Xc уравнения 5 можно вычислить с помощью простых манипуляций с линейной алгеброй [1]. Обычно Xc соответствует центру эллипсоида матриц, определенных уравнением 5.

Функция basiclmi возвращает «явное» решение Xc:

Xc = basiclmi(M,P,Q)

Поскольку это центральное решение иногда имеет большую норму, basiclmi также предлагает вариант вычисления аппроксимационного наименее нормального решения уравнения 5. Это делается

X = basiclmi(M,P,Q,'Xmin')

и включает оптимизацию LMI для минимизации ∥X ∥.