Документация

Определение

Функция плотности вероятности для обобщенного распределения Парето с параметром формы k ≠ 0, масштабным параметром λ и пороговым параметром

для λ < x, когда k > 0, или для, когда k < 0.

Для k = 0 плотность равна

для start< x.

Если k = 0 и start= 0, обобщённое распределение Парето эквивалентно экспоненциальному распределению. Если k > 0 и start=/k, обобщённое распределение Парето эквивалентно распределению Парето с параметром масштаба, равным λ/k, и параметром формы, равным 1/k.

Фон

Как и экспоненциальное распределение, обобщённое распределение Парето часто используется для моделирования хвостов другого распределения. Например, можно использовать шайбы производственного процесса. Если случайные воздействия в процессе приводят к различиям в размерах шайб, для моделирования этих размеров можно использовать стандартное распределение вероятностей, например нормальное. Однако, хотя нормальное распределение может быть хорошей моделью вблизи ее режима, оно может не соответствовать реальным данным в хвостах и может потребоваться более сложная модель для описания всего диапазона данных. С другой стороны, только регистрация размеров шайб, больших (или меньших), чем определенный порог, означает, что можно подогнать отдельную модель к тем данным хвоста, которые известны как превышения. Таким образом можно использовать обобщенное распределение Парето, чтобы обеспечить хорошую подгонку к крайностям сложных данных.

Обобщенное распределение Парето допускает непрерывный диапазон возможных форм, который включает как экспоненциальное распределение, так и распределение Парето в качестве особых случаев. Любое из этих распределений можно использовать для моделирования конкретного набора данных о превышениях. Обобщённое распределение Парето позволяет «позволять данным решать», какое распределение уместно.

Обобщенное распределение Парето имеет три основные формы, каждая из которых соответствует предельному распределению данных о превышении из другого класса основных распределений.

Обобщенное распределение Парето используется в хвостах объектов аппроксимации распределения paretotails объект.

Параметры

Если вы генерируете большое количество случайных значений из распределения Стьюдента с 5 степенями свободы, а затем отбрасываете все, что меньше 2, вы можете подогнать обобщенное распределение Парето к этим превышениям.

rng default  % For reproducibility
t = trnd(5,5000,1);
y = t(t > 2) - 2;
paramEsts = gpfit(y)

paramEsts = 1×2

    0.1445    0.7225

Обратите внимание, что оценка параметра формы (первый элемент) положительна, что можно ожидать на основе превышений из распределения t Стьюдента.

hist(y+2,2.25:.5:11.75);
h = findobj(gca,'Type','patch');
h.FaceColor = [.8 .8 1];
xgrid = linspace(2,12,1000);
line(xgrid,.5*length(y)*...
     gppdf(xgrid,paramEsts(1),paramEsts(2),2));

Примеры

x = linspace(0,10,1000);
y1 = gppdf(x,-.25,1,0); 
y2 = gppdf(x,0,1,0); 
y3 = gppdf(x,1,1,0);

figure;
plot(x,y1,'-', x,y2,'--', x,y3,':')
legend({'K < 0' 'K = 0' 'K > 0'});