Документация

Прямые методы

Прямые методы непосредственно используют определение распределения.

Например, рассмотрим биномиальные случайные числа. Биномиальное случайное число - число головок в $$N$$ бросках монеты с вероятностью $$p$$ головок на любом одиночном броске. Если на $$$$интервале генерируются N одинаковых случайных чисел (0,1) и подсчитать число меньше $$p$$, то счет является биномиальным случайным числом с параметрами $$N$$ и $$p$$.

Эта функция является простой реализацией биномиального RNG с использованием прямого подхода:

function X = directbinornd(N,p,m,n)
    X = zeros(m,n); % Preallocate memory
    for i = 1:m*n
        u = rand(N,1);
        X(i) = sum(u < p);
    end
end

Например:

rng('default') % For reproducibility
X = directbinornd(100,0.3,1e4,1);
histogram(X,101)

binornd функция использует модифицированный прямой метод, основанный на определении биномиальной случайной величины как суммы случайных величин Бернулли.

Можно легко преобразовать предыдущий метод в генератор случайных чисел для распределения Пуассона с параметром $$\lambda$$. Распределение Пуассона является ограничивающим случаем биномиального распределения, когда $$N$$ приближается к бесконечности, $$p$$ приближается к нулю, а $$\mathrm{Np}$$ удерживается фиксированным при $$\lambda$$. Чтобы создать случайные числа Пуассона, создайте версию предыдущего генератора, который вводит $$\lambda$$, а не $$N$$ и $$p$$, и внутренне устанавливает $$N$$ в некоторое большое число и $$p$$ в $$\mathrm{\lambda /N}$$.

poissrnd функция фактически использует два прямых метода:

Методы инверсии

Методы инверсии основаны на наблюдении, что непрерывные кумулятивные функции распределения (cdfs) равномерно варьируются по интервалу (0,1). Если $$u$$ - равномерное случайное число на (0,1), то использование $$X{=}^{\mathrm{}}\mathrm{F-1}$$(U) генерирует случайное $$$$число X из непрерывного распределения с указанным $$$$cdf.

Например, следующий код генерирует случайные числа из определенного экспоненциального распределения с использованием обратного cdf и генератора равномерных случайных чисел MATLAB ®rand:

rng('default') % For reproducibility
mu = 1;
X = expinv(rand(1e4,1),mu);

Сравните распределение сгенерированных случайных чисел с pdf указанного экспоненциального значения.

numbins = 50;
h = histogram(X,numbins,'Normalization','pdf');
hold on
x = linspace(h.BinEdges(1),h.BinEdges(end));
y = exppdf(x,mu);
plot(x,y,'LineWidth',2)
hold off

Методы инверсии также работают для дискретных распределений. Чтобы сгенерировать случайное число $$X$$ из дискретного распределения с вероятностным массовым вектором $$P(X{}_{=}{\mathrm{xi}}_{)}$$ = pi, $${}_{\mathrm{}}{\mathrm{где}}_{\mathrm{}}{\mathrm{x0}}_{\mathrm{}}<x1$$< x2 <..., создайте однородное $$$$случайное число u на(0,1) и затем установить $$X{=}_{}$$xi, $$\mathrm{если}{F}_{(\mathrm{}}\mathrm{xi-1})<{}_u$$< F (xi).

Например, следующая функция реализует метод инверсии для дискретного распределения с вероятностным массовым вектором $$p$$:

function X = discreteinvrnd(p,m,n)
    X = zeros(m,n); % Preallocate memory
    for i = 1:m*n
        u = rand;
        I = find(u < cumsum(p));
        X(i) = min(I);
    end
end

Используйте функцию для генерации случайных чисел из любого дискретного распределения.

p = [0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1]; % Probability mass function (pmf) values
X = discreteinvrnd(p,1e4,1);

Кроме того, можно использовать discretize функция для генерации дискретных случайных чисел.

X = discretize(rand(1e4,1),[0 cusmsum(p)]);

Постройте гистограмму сгенерированных случайных чисел и подтвердите, что распределение следует указанным значениям pmf.

histogram(categorical(X),'Normalization','probability')

Методы приемки-отклонения

Функциональная форма некоторых распределений затрудняет или отнимает много времени на генерацию случайных чисел с использованием методов прямой или инверсии. В этих случаях альтернативой являются методы приемки-отклонения.

Методы принятия-отклонения начинаются с однородных случайных чисел, но требуют дополнительного генератора случайных чисел. Если ваша цель состоит в том, чтобы сгенерировать случайное число из непрерывного распределения с pdf $$f$$, методы принятия-отклонения сначала генерируют случайное число из непрерывного распределения с pdf $$g$$, удовлетворяющим $$f(x)\mathrm{\le cg}$$(x) для $$$$некоторых c и $$$$всех x.

Непрерывная приемка-отклонение RNG осуществляется следующим образом:

Для эффективности необходим «дешевый» способ генерации случайных чисел из $$g$$, а скаляр $$c$$ должен быть небольшим. Ожидаемое число итераций для получения одного случайного числа равно $$c$$.

Следующая функция реализует метод принятия-отклонения для генерации случайных чисел из pdf $$f$$, заданного $$f$$, $$g$$, RNG grnd для $$g$$и константы $$c$$:

function X = accrejrnd(f,g,grnd,c,m,n)
    X = zeros(m,n); % Preallocate memory
    for i = 1:m*n
        accept = false;
        while accept == false
            u = rand();
            v = grnd();
            if c*u <= f(v)/g(v)
               X(i) = v;
               accept = true;
            end
        end
    end
end

Например, функция $$f(x){=}^{{}^{\mathrm{}}\mathrm{}}$$xe-x2/2 удовлетворяет условиям pdf $$\mathrm{на}[$$0,∞) (неотрицательна и интегрируется в 1). Экспоненциальный pdf со средним $$\mathrm{значением\; 1},f{(}^{x)}$$= e-x $$$$доминирует $$\mathrm{над\; g}$$ для c больше, чем около 2,2. Таким образом, можно использоватьrand и exprnd для генерации случайных чисел из $$f$$:

f = @(x)x.*exp(-(x.^2)/2);
g = @(x)exp(-x);
grnd = @()exprnd(1);
rng('default') % For reproducibility
X = accrejrnd(f,g,grnd,2.2,1e4,1);

pdf $$f$$ фактически является релейным распределением с параметром формы 1. В этом примере сравнивается распределение случайных чисел, сгенерированных методом приемки-отклонения, с распределениями, сгенерированными методом raylrnd:

Y = raylrnd(1,1e4,1); 
histogram(X)
hold on
histogram(Y)
legend('A-R RNG','Rayleigh RNG')

raylrnd функция использует метод преобразования, выражающий случайную переменную Рэлея в терминах случайной величины хи-квадрат, которая вычисляется с помощью randn.

Методы приемки-отклонения также работают для дискретных распределений. В этом случае целью является генерация случайных чисел из распределения с вероятностной массой $${}_{\mathrm{Pp}}(X=i_{)}$$= pi, предполагая, что имеется метод генерации случайных чисел из распределения с вероятностной $${}_{}\mathrm{массой}Pq{(}_X$$= i) = qi. RNG работает следующим образом: