Экспоненциальное распределение представляет собой однопараметрическое семейство кривых. Экспоненциальное распределение моделей времени ожидания, когда вероятность ожидания дополнительного периода времени не зависит от того, как долго вы уже ждали. Например, вероятность того, что лампочка перегорит в следующую минуту использования, относительно не зависит от того, сколько минут она уже сгорела.
Toolbox™ статистики и машинного обучения предлагает несколько способов работы с экспоненциальным распределением.
Создание объекта распределения вероятностей ExponentialDistribution подгонкой распределения вероятности к данным выборки (fitdistили путем указания значений параметров (makedist). Затем используйте объектные функции для вычисления распределения, генерации случайных чисел и т. д.
Работа с экспоненциальным распределением в интерактивном режиме с помощью приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать функции объекта.
Использовать специфичные для распределения функции (expcdf, exppdf, expinv, explike, expstat, expfit, exprnd) с указанными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принимать параметры нескольких экспоненциальных распределений.
Использовать общие функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с указанным именем дистрибутива ('Exponential') и параметры.
Экспоненциальное распределение использует следующий параметр.
| Параметр | Описание | Поддержка |
|---|---|---|
mu (μ) | Средний | μ > 0 |
Параметр λ также равен стандартному отклонению экспоненциального распределения.
Стандартное экспоненциальное распределение имеет λ = 1.
Общей альтернативной параметризацией экспоненциального распределения является использование λ, определяемого как среднее число событий в интервале в противоположность λ, которое является средним временем ожидания возникновения события. λ и λ являются взаимными.
Функция правдоподобия - это функция плотности вероятности (pdf), рассматриваемая как функция параметров. Оценки максимального правдоподобия (MLE) - это оценки параметров, которые максимизируют функцию правдоподобия для фиксированных значений x.
Для экспоненциального распределения максимальное значение оценки правдоподобия, где - среднее значение выборки для выборок x1, x2,..., xn. Среднее выборочное значение представляет собой несмещенный оценщик параметра λ.
Чтобы подогнать экспоненциальное распределение к данным и найти оценку параметров, используйте expfit, fitdist, или mle. В отличие от этого, expfit и mle, которые возвращают оценки параметров, fitdist возвращает аппроксимированный объект распределения вероятности ExponentialDistribution. Свойство объекта mu сохраняет оценку параметра.
Пример см. в разделе Соответствие экспоненциального распределения данным.
Pdf экспоненциального распределения:
1 мкэ − xλ.
Пример см. в разделе Расчет экспоненциального распределения pdf.
Кумулятивная функция распределения (cdf) экспоненциального распределения
=∫0x1μe−tμdt=1−e−xμ.
Результатом p является вероятность того, что единственное наблюдение из экспоненциального распределения со средним λ падает в интервале [0, x].
Пример см. в разделе Вычисление экспоненциального распределения cdf.
Обратная кумулятивная функция распределения (icdf) экспоненциального распределения равна
мкln (1 − p).
Результатом x является такое значение, что наблюдение из экспоненциального распределения с параметром λ попадает в диапазон [0 x] с вероятностью p.
Функция опасности (мгновенная частота отказов) представляет собой соотношение pdf и дополнения cdf. Если f (t) и F (t) являются pdf и cdf распределения (соответственно), то коэффициент опасности 1 − F (t). Подстановка pdf и cdf экспоненциального распределения для f (t) и F (t) дает константу λ. Экспоненциальное распределение является единственным непрерывным распределением с постоянной функцией опасности. λ представляет собой обратную величину λ и может быть интерпретирована как скорость, с которой происходят события в любом заданном интервале. Следовательно, при моделировании времени выживания вероятность того, что элемент переживет дополнительную единицу времени, не зависит от текущего возраста элемента.
Пример см. в разделе Экспоненциально распределенный срок службы.
Создать образец 100 экспоненциально распределенных случайных чисел со средним 700.
x = exprnd(700,100,1); % Generate sampleПодгонка экспоненциального распределения к данным с помощью fitdist.
pd = fitdist(x,'exponential')pd =
ExponentialDistribution
Exponential distribution
mu = 641.934 [532.598, 788.966]
fitdist возвращает ExponentialDistribution объект. Интервал рядом с оценкой параметра является 95% доверительным интервалом для параметра распределения.
Оцените параметр с помощью функций распределения.
[muhat,muci] = expfit(x) % Distribution specific functionmuhat = 641.9342
muci = 2×1
532.5976
788.9660
[muhat2,muci2] = mle(x,'distribution','exponential') % Generic distribution function
muhat2 = 641.9342
muci2 = 2×1
532.5976
788.9660
Вычисление pdf экспоненциального распределения с параметром mu = 2.
x = 0:0.1:10; y = exppdf(x,2);
Постройте график pdf.
figure; plot(x,y) xlabel('Observation') ylabel('Probability Density')
Вычисление cdf экспоненциального распределения с параметром mu = 2.
x = 0:0.1:10; y = expcdf(x,2);
Постройте график cdf.
figure; plot(x,y) xlabel('Observation') ylabel('Cumulative Probability')
Вычислить функцию опасности экспоненциального распределения со средним значением mu = 2 по значениям от одного до пяти.
x = 1:5; lambda1 = exppdf(x,2)./(1-expcdf(x,2))
lambda1 = 1×5
0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
Функция опасности (мгновенная скорость отказа от выживания) экспоненциального распределения постоянна и всегда равна 1/mu. Эта константа часто обозначается λ.
Оценить функции опасности экспоненциальных распределений с помощью значений от одного до пяти при x = 3.
mu = 1:5; lambda2 = exppdf(3,mu)./(1-expcdf(3,mu))
lambda2 = 1×5
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
Вероятность того, что элемент с экспоненциально распределенным временем жизни переживет еще одну единицу времени, не зависит от того, как долго он выжил.
Вычислите вероятность того, что элемент выживет еще один год в различных возрастах, когда среднее время выживания составляет 10 годы.
x2 = 5:5:25; x3 = x2 + 1; deltap = (expcdf(x3,10)-expcdf(x2,10))./(1-expcdf(x2,10))
deltap = 1×5
0.0952 0.0952 0.0952 0.0952 0.0952
Вероятность дожить еще один год одинакова независимо от того, как долго уже сохранился предмет.
Распределение Бёрра типа XII - распределение Бёрра является трёхпараметрическим непрерывным распределением. Экспоненциальное распределение в сочетании с гамма-распределением в среднем дает распределение Бёрра.
Гамма-распределение - гамма-распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры a (форма) и b (масштаб). Когда a = 1, гамма-распределение равно экспоненциальному распределению со средним λ = b. Сумма k экспоненциально распределенных случайных величин со средним λ имеет гамма-распределение с параметрами a = k и λ = b.
Геометрическое распределение - это однопараметрическое дискретное распределение, которое моделирует общее количество отказов до первого успеха в повторных испытаниях Бернулли. Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального распределения и является единственным дискретным распределением с постоянной функцией опасности.
Обобщённое распределение Парето (Generalized Pareto Distribution) - обобщённое распределение Парето представляет собой трёхпараметрическое непрерывное распределение, имеющее параметры k (форма), λ (масштаб) и (порог). Когда и k = 0, и λ = 0, обобщённое распределение Парето равно экспоненциальному распределению со средним λ = λ.
Распределение Пуассона - распределение Пуассона является однопараметрическим дискретным распределением, которое принимает неотрицательные целочисленные значения. Параметр λ является как средним, так и дисперсией распределения. Модели распределения Пуассона подсчитывают количество случайных событий за заданное время. В такой модели количество времени между вхождениями моделируется экспоненциальным распределением со средним значением .
Распределение Вейбулла (Weibull Distribution) - распределение Вейбулла является двухпараметрическим непрерывным распределением, имеющим параметры a (scale) и b (shape). Распределение Вейбулла также используется для моделирования времени жизни, но оно не имеет постоянной степени опасности. Когда b = 1, распределение Вейбулла равно экспоненциальному распределению со средним λ = a.
Пример см. в разделе Сравнение экспоненциальных функций и функций риска распределения Вейбулла.
[1] Краудер, Мартин Дж., ред. Статистический анализ данных надежности. Переиздан. Лондон: Chapman & Hall, 1995.
[2] Коц, Самуил и Саралеи Надараджа. Распределение экстремальных значений: теория и приложения. Лондон: Ривер Эдж, Нью-Джерси: Imperial College Press; Распространяется журналом World Scientific, 2000.
[3] Микер, Уильям К. и Луис А. Эскобар. Статистические методы для данных о надежности. Серия Уайли по вероятности и статистике. Секция прикладной вероятности и статистики. Нью-Йорк: Уайли, 1998.
[4] Беззаконие, Джеральд Ф. Статистические модели и методы для данных о времени жизни. 2-я редакция серии Уайли по вероятности и статистике. Хобокен, N.J.: Wiley-Interscience, 2003.
expcdf | expfit | expinv | explike | ExponentialDistribution | exppdf | exprnd | expstat | fitdist | makedist