Распределение Пуассона

Обзор

Распределение Пуассона - это однопараметрическое семейство кривых, моделирующее количество случайных событий. Это распределение подходит для приложений, которые включают в себя подсчет количества раз, когда случайное событие происходит в заданном количестве времени, расстояния, площади и так далее. Примеры приложений, в которых используются распределения Пуассона, включают количество нажатий счетчиков Гейгера в секунду, количество людей, заходящих в магазин за час, и количество потерянных пакетов по сети в минуту.

Toolbox™ статистики и машинного обучения предлагает несколько способов работы с дистрибутивом Пуассона.

Создание объекта распределения вероятностей PoissonDistribution подгонкой распределения вероятности к данным выборки или заданием значений параметров. Затем используйте объектные функции для вычисления распределения, генерации случайных чисел и т. д.
Работа с дистрибутивом Пуассона в интерактивном режиме с помощью приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать функции объекта.
Использовать специфичные для распределения функции (poisscdf, poisspdf, poissinv, poisstat, poissfit, poissrnd) с указанными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принимать параметры нескольких распределений Пуассона.
Использовать общие функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с указанным именем дистрибутива ('Poisson') и параметры.

Параметры

В распределении Пуассона используется следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
`lambda` (λ)	Средний	$λ≥0$

Параметр λ также равен дисперсии распределения Пуассона.

Сумма двух случайных величин Пуассона с параметрами λ 1 и λ 2 является случайной величиной Пуассона с параметром λ = λ 1 + λ 2.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) распределения Пуассона

$f (x 'λ) \frac{^{=}}{}^{λ xx!} e - λ; x =$ 0,1,2,..., ∞.

Результатом является вероятность точно x вхождений случайного события. Для дискретных распределений pdf также известен как функция вероятностной массы (pmf).

Пример см. в разделе Расчет распределения Пуассона pdf.

Функция совокупного распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения Пуассона

$p = F ({x 'λ}^{)}_{}^{} \frac{{=e−λ∑i=0floor}^{}}{(x})$ λ ii!.

Результатом является вероятность не более x случаев случайного события.

Пример см. в разделе Расчет распределения Пуассона cdf.

Примеры

Вычислить распределение Пуассона pdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычисление pdf распределения Пуассона с параметром lambda = 4.

x = 0:15;
y = poisspdf(x,4);

Печать PDF с полосами ширины 1.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type bar.

Вычислить дистрибутив Пуассона CDF

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите cdf распределения Пуассона с помощью параметра lambda = 4.

x = 0:15;
y = poisscdf(x,4);

Постройте график cdf.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type stair.

Сравнение PDFS Пуассона и обычного распределения

Открыть сценарий в реальном времени

Когда lambda является большим, распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним lambda и расхождение lambda.

Вычисление pdf распределения Пуассона с параметром lambda = 50.

lambda = 50;
x1 = 0:100;
y1 = poisspdf(x1,lambda);

Вычислите pdf соответствующего нормального распределения.

mu = lambda;
sigma = sqrt(lambda);
x2 = 0:0.1:100;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

Постройте график pdfs на той же оси.

figure
bar(x1,y1,1)
hold on
plot(x2,y2,'LineWidth',2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Poisson and Normal pdfs')
legend('Poisson Distribution','Normal Distribution','location','northwest')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Poisson and Normal pdfs contains 2 objects of type bar, line. These objects represent Poisson Distribution, Normal Distribution.

Pdf нормального распределения близко приближается к pdf распределения Пуассона.

Связанные распределения

Биномиальное распределение - биномиальное распределение - это двухпараметрическое дискретное распределение, которое подсчитывает число успехов в N независимых испытаниях с вероятностью успеха. Распределение Пуассона является ограничивающим случаем биномиального распределения, где N приближается к бесконечности и p переходит к нулю, в то время как Np = λ. См. раздел Сравнение PDFS для биномиального распределения и распределения Пуассона.
Экспоненциальное распределение (Exponential Distribution) - экспоненциальное распределение является однопараметрическим непрерывным распределением, имеющим параметр (mean). Модели распределения Пуассона подсчитывают количество случайных событий за заданное время. В такой модели количество времени между вхождениями моделируется экспоненциальным распределением со средним значением $\frac{}{1λ}$ .
Нормальное распределение (Normal Distribution) - нормальное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры (среднее) и (стандартное отклонение). Когда λ велико, распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением при λ = λ и λ 2 = λ. См. раздел Сравнение PDFS Пуассона и обычного распределения.

Ссылки

[1] Абрамовиц, Милтон и Ирен А. Стегун, эд. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Начдр. дер Аусг. фон 1972]. Dover Books по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Девройе, Люк. Генерация неоднородных случайных вариаций. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

[4] Грузчик, Кэтрин. Быстрое и точное вычисление биномиальных вероятностей. 9 июля 2000 года.

См. также

Документация