Функция плотности вероятности d-мерного многомерного распределения Стьюдента задаётся
+ x ′ Σ-1xν) − (start+ d )/2.
где x - вектор 1 на d, Σ - симметричная, положительная определенная матрица г на г, и ν - положительный скаляр. Хотя можно определить многовариантный t Стьюдента для сингулярного, плотность не может быть записана как выше. Для единственного случая поддерживается только генерация случайных чисел. Следует отметить, что в то время как большинство учебников определяют многовариантный вектор Стьюдента с ориентированным на x в качестве вектора столбца, для целей программного обеспечения анализа данных удобнее ориентировать на x в качестве вектора строки, а программное обеспечение Statistics and Machine Learning Toolbox™ использует эту ориентацию.
Многомерное распределение Стьюдента - это обобщение одномерных переменных Стьюдента от t до двух или более. Это распределение для случайных векторов коррелированных переменных, каждый элемент которых имеет одномерное распределение Стьюдента. Так же, как одномерное распределение Стьюдента t может быть построено делением стандартной одномерной нормальной случайной величины на квадратный корень одномерной случайной величины хи-квадрат, многомерное распределение Стьюдента t может быть построено делением многомерного нормального случайного вектора, имеющего нулевое среднее и единичные дисперсии, на одномерную случайную величину хи-квадрат.
Многовариантное распределение Стьюдента t параметризуется с помощью корреляционной матрицы Λ и параметра положительных скалярных степеней свободы, startаналогичен параметру степеней свободы одномерного распределения Стьюдента. Внедиагональные элементы Λ содержат корреляции между переменными. Заметим, что когда Λ является единичной матрицей, переменные не коррелируются; однако они не являются независимыми.
Многомерное распределение Стьюдента часто используется в качестве замены многомерного нормального распределения в ситуациях, когда известно, что предельные распределения отдельных переменных имеют более жирные хвосты, чем нормальные.
Постройте график pdf двухмерного распределения Student's t. Это распределение также можно использовать для большего количества измерений, хотя визуализация не является простой.
Rho = [1 .6; .6 1]; nu = 5; x1 = -3:.2:3; x2 = -3:.2:3; [X1,X2] = meshgrid(x1,x2); F = mvtpdf([X1(:) X2(:)],Rho,nu); F = reshape(F,length(x2),length(x1)); surf(x1,x2,F); caxis([min(F(:))-.5*range(F(:)),max(F(:))]); axis([-3 3 -3 3 0 .2]) xlabel('x1'); ylabel('x2'); zlabel('Probability Density');
Постройте график cdf двухмерного распределения Стьюдента.
F = mvtcdf([X1(:) X2(:)],Rho,nu); F = reshape(F,length(x2),length(x1)); surf(x1,x2,F); caxis([min(F(:))-.5*range(F(:)),max(F(:))]); axis([-3 3 -3 3 0 1]) xlabel('x1'); ylabel('x2'); zlabel('Cumulative Probability');
Поскольку двухмерное распределение Стьюдента t определено на плоскости, можно также вычислить кумулятивные вероятности для прямоугольных областей. Например, этот контурный график иллюстрирует последующее вычисление вероятности, содержащейся в единичном квадрате, показанном на рисунке.
contour(x1,x2,F,[.0001 .001 .01 .05:.1:.95 .99 .999 .9999]); xlabel('x'); ylabel('y'); line([0 0 1 1 0],[1 0 0 1 1],'linestyle','--','color','k');
Вычислите значение вероятности, содержащейся в единичном квадрате.
F = mvtcdf([0 0],[1 1],Rho,nu)
F = 0.1401
Вычисление многовариантной кумулятивной вероятности требует значительно больше работы, чем вычисление одномерной вероятности. По умолчанию mvtcdf функция вычисляет значения ниже полной точности машины и возвращает оценку ошибки в качестве дополнительного второго выходного сигнала.
[F,err] = mvtcdf([0 0],[1 1],Rho,nu)
F = 0.1401
err = 1.0000e-08