Эмпирическое вейвлет-преобразование (EWT) - это методика, которая создает анализ множественного разрешения (MRA) сигнала с использованием адаптивной схемы субделения вейвлет. EWT начинается с сегментации спектра сигнала. ЭВТ обеспечивает идеальную реконструкцию входного сигнала. Коэффициенты ЭВТ разделяют энергию входного сигнала на отдельные полосы пропускания.
ЭВТ разработан Жилем [1]. Жиль и Хил [3] предложили и используют подход на основе гистограммы для сегментации спектра.
MRA - это разложение сигнала на компоненты в различных масштабах или эквивалентно на различных частотных диапазонах таким образом, что исходный сигнал восстанавливается путем суммирования компонентов в каждый момент времени (см. Практическое введение в анализ множественных решений). Существует много методов MRA. Максимальное перекрывающееся дискретное вейвлет-преобразование (MODWT) и связанная с ним формулировка MRA используют основу или кадр, разработанный независимо от сигнала (см. modwt и modwtmra). Алгоритм декомпозиции эмпирической моды (EMD) представляет собой метод адаптации к данным, который разлагает нелинейный или нестационарный процесс на его собственные моды колебаний. EMD выполняет итерацию входного сигнала для извлечения естественных режимов AM-FM, также известных как функции внутреннего режима, содержащихся в данных (см. emd).
Вы можете использовать ewt функция для получения MRA сигнала. Структура алгоритма ЭВТ следующая.
Мы получаем многоаппаратную спектральную оценку мощности сигнала с использованием пяти синусоидальных конусов. Это гладкая оценка спектра мощности с низкой дисперсией (см. Смещение и изменчивость в периодограмме (панель инструментов обработки сигналов)). Нормализуем оценку так, чтобы она лежала в диапазоне [0,1]. По умолчанию мы определяем все пики, строго превышающие 70% пикового значения. При наличии доминирующего пика и множества меньших пиков можно использовать опцию «LogSpectrum».
Эмпирические полосы пропускания вейвлета строятся по умолчанию так, что их переходные полосы пересекаются на средней геометрической частоте соседних пиков. Вейвлеты Мейера строятся так, как описано в [1], наряду с тем, как мы определяем параметр γ. Вейвлеты перекрываются таким образом, что образуют плотный кадр Парсеваля.
Для определения границ между смежными полосами пропускания можно использовать первые локальные минимумы между смежными пиками. Если локального минимума не определено, возвращается среднее геометрическое значение (по умолчанию).
Можно также переопределить автоматическое пороговое значение пиков с помощью MaxNumPeaks. Самые большие пики до MaxNumPeaks используются. Приблизительная полоса пропускания многоаппаратной оценки равна (K + 1/2 )/( N + 1), где K - число сужений, а N - длина данных (которая может включать в себя заполнение). Поскольку пики должны быть минимально разделены приблизительной полосой пропускания, чтобы квалифицироваться как пик, возможно, что меньше, чемMaxNumPeaks выявлены пики, в том числе без пиков.
Поскольку вейвлеты образуют плотный кадр Парсеваля, набор фильтров является самостоятельным: набор фильтров анализа равен набору фильтров синтеза. ЭВТ использует вейвлеты для фильтрации сигнала в частотной области и затем инвертирует преобразование для получения коэффициентов анализа. ЭВТ использует соответствующие импульсные волны синтеза для восстановления компонентов MRA.
Если у вас есть Toolbox™ обработки сигналов, вы можете увидеть, как с помощью мультипаперов можно получить сглаженную оценку спектра мощности.
Создайте третий тестовый сигнал, определенный в [1], и добавьте белый шум. Установите для генератора случайных чисел значения по умолчанию для получения воспроизводимых результатов. Вычтите его среднее значение и постройте график результата.
rng default fs = 500; t = 0:1/fs:1-1/fs; f1 = 1./(6/5+cos(2*pi*t)); f2 = 1./(3/2+sin(2*pi*t)); f3 = cos(32*pi*t+cos(64*pi*t)); sig = f1+f2.*f3; sig = sig+randn(1,length(sig))/2; sig = sig-mean(sig); plot(t,sig) xlabel('Time (sec)') ylabel('Amplitude') title('Test Signal')
Используйте periodogram функция построения графика периодограммы сигнала. Затем используйте pmtm функция для построения графика сглаженной многоаппаратной оценки.
[Pxx,F] = periodogram(sig,[],[],500); Pxxmt = pmtm(sig,5,[],500,'Tapers','sine','power'); subplot(2,1,1) plot(F,Pxx) title('Periodogram') subplot(2,1,2) plot(F,Pxxmt) title('Smoothed Estimate') xlabel('Frequency (Hz)')
Существует несколько способов управления ewt функция получает MRA сигнала. В этом разделе показано несколько вариантов.
Используйте ewt функция со стандартными настройками для получения MRA сигнала и информации о банке фильтров.
[mra,~,~,info] = ewt(sig); size(mra)
ans = 1×2
500 2
По умолчанию ewt находит два компонента MRA. Осмотрите сборочные полосы банка фильтров. Поскольку полосы пропускания возвращаются в нормированных частотах, умножьте их на частоту дискретизации.
info.FilterBank.Passbands*fs
ans = 2×2
65 250
0 65
Следует отметить, что существует граница сегмента на частоте 22 Гц. Первый сегмент имеет два пика. Набор MaxNumPeaks равно 3, так что ewt определяет полосы пропускания фильтра, используя три наибольших пика.
[mra,cfs,~,info] = ewt(sig,'MaxNumPeaks',3);
info.FilterBank.Passbands*fsans = 3×2
62.0000 250.0000
28.0000 62.0000
0 28.0000
Убедитесь, что суммирование компонентов MRA приводит к идеальной реконструкции сигнала, и убедитесь, что коэффициенты анализа EWT сохраняют энергию.
max(abs(sig'-sum(mra,2)))
ans = 1.7764e-15
sum(sum(abs(cfs).^2))
ans = 1.2985e+03
norm(sig,2)^2
ans = 1.2985e+03
Вместо указания максимального количества пиков можно задать процентное пороговое значение, используемое для определения того, какие пики сохраняются в многоаппаратном спектре мощности. Локальные максимумы в многоаппаратной спектральной оценке мощности сигнала нормализуются, чтобы лежать в диапазоне [0,1] с максимальным пиком, равным 1. Набор PeakThresholdPercent на 2.
[~,~,~,info] = ewt(sig,'PeakThresholdPercent',2);
info.FilterBank.Passbands*fsans = 5×2
141.0000 250.0000
74.0000 141.0000
57.0000 74.0000
28.0000 57.0000
0 28.0000
По умолчанию ewt использует среднее геометрическое смежных пиков для определения полос пропускания фильтра. ewt функция дает возможность вместо этого использовать первый локальный минимум между пиками. Набор SegmentMethod кому 'localmin', так что ewt использует первый локальный минимум и задает максимум три пика. Подтвердите, что использование первого локального минимума приводит к другой сегментации.
[~,~,~,info] = ewt(sig,'MaxNumPeaks',3,'SegmentMethod','localmin'); info.FilterBank.Passbands*fs
ans = 3×2
54.0000 250.0000
28.0000 54.0000
0 28.0000
Также можно задать частотное разрешение спектральной оценки мощности в нескольких устройствах. Полоса пропускания частотного разрешения определяет, сколько синусоидальных конусов используется в оценке спектра мощности множества устройств. Задайте разрешение по частоте 0,2 и максимум три пика. Обратите внимание, что, хотя MaxNumPeaks установлено на 3, три пика не найдены с использованием заданного частотного разрешения.
[mra,~,~,info] = ewt(sig,'MaxNumPeaks',3,'FrequencyResolution',0.2); info.FilterBank.Passbands*fs
ans = 2×2
83.0000 250.0000
0 83.0000
[1] Жиль, Жером. «Эмпирическое вейвлет-преобразование». Транзакции IEEE по обработке сигналов 61, № 16 (август 2013 г.): 3999-4010. https://doi.org/10.1109/TSP.2013.2265222.
[2] Жиль, Жером, Джанг Трэн и Стэнли Ошер. "2D Эмпирические преобразования. Vavelets, Ridgelets и Curvelets Revisited ". SIAM Journal on Imaging Sciences 7, № 1 (январь 2014): 157-86. https://doi.org/10.1137/130923774.
[3] Жиль, Жером и Кэтрин Хил. «Безпараметрический масштабный подход к поиску значимых режимов в гистограммах - применение к сегментации изображения и спектра». Международный журнал вейвлетов, множественных решений и обработки информации 12, № 06 (ноябрь 2014 года): 1450044. https://doi.org/10.1142/S0219691314500441.