Что такое анализ множественных решений?

Сигналы часто состоят из множества физически значимых компонентов. Довольно часто требуется изучить один или несколько этих компонентов в отдельности в том же масштабе времени, что и исходные данные. Анализ множественных решений относится к разделению сигнала на компоненты, которые производят исходный сигнал точно при сложении. Чтобы быть полезным для анализа данных, важно, как разлагается сигнал. Компоненты идеально разбивают изменчивость данных на физически значимые и интерпретируемые части. Термин анализ множественных решений часто ассоциируется с вейвлетами или вейвлет-пакетами, но существуют невейвлет-методы, которые также производят полезные MRA.

В качестве мотивирующего примера понимания, которое вы можете получить от MRA, рассмотрим следующий синтетический сигнал. Сигнал дискретизируется при частоте 1000 Гц в течение одной секунды.

Fs = 1e3;
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;
comp1 = cos(2*pi*200*t).*(t>0.7);
comp2 = cos(2*pi*60*t).*(t>=0.1 & t<0.3);
trend = sin(2*pi*1/2*t);
rng default
wgnNoise = 0.4*randn(size(t));
x = comp1+comp2+trend+wgnNoise;
plot(t,x)
xlabel('Seconds')
ylabel('Amplitude')
title('Synthetic Signal')

Сигнал явно состоит из трех основных составляющих: локализованного во времени колебания с частотой 60 циклов/с, локализованного во времени колебания с частотой 200 циклов/с и трендового члена. Трендовый член здесь также является синусоидальным, но имеет частоту 1/2 цикла в секунду, поэтому он завершает только 1/2 цикла в интервале одна секунда. Колебание 60 циклов в секунду или 60 Гц происходит между 0,1 и 0,3 секундами, в то время как колебание 200 Гц происходит между 0,7 и 1 секундой.

Не все это сразу видно из графика необработанных данных, потому что эти компоненты смешаны.

Теперь постройте график сигнала с частотной точки зрения.

xdft = fft(x);
N = numel(x);
xdft = xdft(1:numel(xdft)/2+1);
freq = 0:Fs/N:Fs/2;
plot(freq,20*log10(abs(xdft)))
xlabel('Cycles/second')
ylabel('dB')
grid on

Из частотного анализа нам гораздо проще различить частоты колебательных составляющих, но мы утратили их локализованную во времени природу. Также трудно визуализировать тенденцию в этом представлении.

Чтобы получить некоторую одновременную информацию о времени и частоте, мы можем использовать метод частотно-временного анализа, такой как непрерывное вейвлет-преобразование (cwt).

cwt(x,Fs)

Теперь вы увидите временные границы компонентов 60 Гц и 200 Гц. Однако у нас до сих пор нет какой-либо полезной визуализации тренда.

Частотно-временное представление предоставляет полезную информацию, но во многих ситуациях вы хотели бы выделить компоненты сигнала во времени и изучить их по отдельности. В идеале эта информация должна быть доступна в том же масштабе времени, что и исходные данные.

Это достигается с помощью анализа множественных решений. На самом деле, полезным способом анализа множественных решений является то, что он обеспечивает способ избежать необходимости частотно-временного анализа, позволяя работать непосредственно во временной области.

Разделение компонентов сигнала во времени

Сигналы реального мира представляют собой смесь различных компонентов. Часто интересует только подмножество этих компонентов. Анализ множественных решений позволяет сузить анализ путем разделения сигнала на компоненты с различными разрешениями.

Извлечение составляющих сигнала при разных разрешениях равносильно разложению вариаций в данных в различных временных масштабах или эквивалентно в различных частотных диапазонах (различные скорости колебаний). Соответственно, можно визуализировать изменчивость сигнала в различных масштабах или диапазонах частот одновременно.

Проанализируйте и постройте график синтетического сигнала, используя вейвлет MRA. Сигнал анализируется с восемью разрешениями или уровнями.

mra = modwtmra(modwt(x,8));
helperMRAPlot(x,mra,t,'wavelet','Wavelet MRA',[2 3 4 9])

Не объясняя, что означают обозначения на графике, давайте используем наши знания о сигнале и попытаемся понять, что показывает нам этот вейвлет MRA. Если вы начинаете с самого верхнего графика и идете вниз до тех пор, пока не достигнете графика исходных данных, вы увидите, что компоненты становятся постепенно более гладкими. Если Вы предпочитаете думать о данных с точки зрения частоты, частоты, содержавшиеся в компонентах, становятся ниже. Напомним, что исходный сигнал имел три основные составляющие, высокочастотное колебание на 200 Гц, колебание на более низкой частоте на 60 Гц и трендовый член, все испорченные аддитивным шумом.

Если посмотреть на график $$\underset{}{\overset{}{}}\mathrm{D\sim 2}$$, можно увидеть, что локализованная во времени высокочастотная составляющая изолирована там. Вы можете увидеть и исследовать эту важную функцию сигнала, по существу, изолированно. Следующие два графика содержат низкочастотные колебания. Это важный аспект анализа множественных решений, а именно важные компоненты сигнала могут не оказаться изолированными в одном компоненте MRA, но они редко располагаются более чем в двух. Наконец, мы видим, что $$\mathrm{S8}$$ график содержит термин тренда. Для удобства цвет осей в этих компонентах был изменен, чтобы выделить их в MRA. Если вы предпочитаете визуализировать этот график или последующие графики без выделения, оставьте последние числовые входные данные для helperMRAPlot.

Вейвлет MRA использует фиксированные функции, называемые вейвлетами, для разделения составляющих сигнала. K-й компонент MRA вейвлета, обозначенный $$\underset{}{\overset{}{}}\mathrm{D\sim k}$$ на предыдущем графике, может рассматриваться как фильтрация сигнала в полосы частот вида [$\frac{\mathrm{}}{{\mathrm{12k}}^{+\mathrm{}}}1\Delta t\frac{\mathrm{,}}{{\mathrm{}}^{}}$12kΔt], $\mathrm{где}$Δt - период дискретизации или интервал дискретизации. Конечная гладкая составляющая, обозначаемая на графике $$$$SL, $$\mathrm{где}$$ L - уровень MRA, захватывает