Типы модели LTI

Control System Toolbox™ обеспечивает функции для создания четырех основных представлений линейных инвариантных по времени (LTI) моделей:

Эти функции берут данные модели как входные параметры и создают объекты, которые воплощают эти данные в одну переменную MATLAB ®.

Создание моделей передаточных функций

Передаточные функции (TF) являются представлениями систем LTI в частотном диапазоне. Передаточная функция SISO является отношением полиномов:

Передаточные функции заданы их числителем и полиномами знаменателя A(s) и B(s). В MATLAB полином представлен вектором его коэффициентов, например, полиномом

задается как [1 2 10].

Чтобы создать объект TF, представляющий передаточную функцию:

задайте числитель и знаменатель полиномы и используйте tf для создания объекта TF:

num = [ 1  0 ];       % Numerator: s
den = [ 1  2  10 ];   % Denominator: s^2 + 2 s + 10
H = tf(num,den)

H =
 
        s
  --------------
  s^2 + 2 s + 10
 
Continuous-time transfer function.

Кроме того, можно задать эту модель как рациональное выражение переменной Лапласа s:

s = tf('s');        % Create Laplace variable
H = s / (s^2 + 2*s + 10)

H =
 
        s
  --------------
  s^2 + 2 s + 10
 
Continuous-time transfer function.

Создание моделей с нулями , полюса и усиления

Модели (zpk) нулей и полюсов являются факторизованной формой передаточных функций:

Такие модели выставляют корни z числителя (нули) и корней p знаменателя (полюсов). Скалярный коэффициент k называется усилением.

Чтобы создать модель ZPK:

задайте векторы полюсов и нулей и коэффициент усиления k:

z = 0;                   % Zeros
p = [ 2  1+i  1-i ];     % Poles
k = -2;                  % Gain
H = zpk(z,p,k)

H =
 
          -2 s
  --------------------
  (s-2) (s^2 - 2s + 2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Что касается моделей TF, можно также задать эту модель как рациональное выражение s:

s = zpk('s');
H = -2*s / (s - 2) / (s^2 - 2*s + 2)

H =
 
          -2 s
  --------------------
  (s-2) (s^2 - 2s + 2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Создание моделей пространства состояний

Модели пространства состояний (SS) являются представлениями систем LTI во временной области:

где x(t) - вектор состояния, u(t) является входным вектором и y(t) - выход траектория.

Модели в пространстве состояний получают из дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы. Для примера рассмотрим ОДУ второго порядка для простого электродвигателя:

где I - ведущий ток (вход) и theta - угловое перемещение ротора (выход). Эта ОДУ может быть переписана в форме пространства состояний как:

Чтобы создать эту модель, задайте матрицы пространства состояний A, B, C, D и использовать ss для создания объекта SS:

A = [ 0  1 ; -5  -2 ];
B = [ 0 ; 3 ];
C = [ 1  0 ];
D = 0;
H = ss(A,B,C,D)

H =
 
  A = 
       x1  x2
   x1   0   1
   x2  -5  -2
 
  B = 
       u1
   x1   0
   x2   3
 
  C = 
       x1  x2
   y1   1   0
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time state-space model.

Создание моделей данных частотной характеристики

Модели данных частотной характеристики (FRD) позволяют вам хранить измеренную или моделируемую комплексную частотную характеристику системы в объекте LTI. Затем можно использовать эти данные в качестве суррогатной модели в целях анализа и проектирования частотного диапазона.

Например, предположим, что вы получаете следующие данные из частотного анализатора:

Можно создать объект FRD, содержащий эти данные, используя:

freq = [10, 30, 50, 100, 500];
resp = [0.0021+0.0009i, 0.0027+0.0029i, 0.0044+0.0052i, 0.0200-0.0040i, 0.0001-0.0021i];
H = frd(resp,freq,'Units','Hz')

H =
 
    Frequency(Hz)           Response       
    -------------           --------       
          10         2.100e-03 + 9.000e-04i
          30         2.700e-03 + 2.900e-03i
          50         4.400e-03 + 5.200e-03i
         100         2.000e-02 - 4.000e-03i
         500         1.000e-04 - 2.100e-03i
 
Continuous-time frequency response.

Обратите внимание, что значения частоты приняты в рад/с, если вы не задаете Units быть Герцем.

Создание моделей MIMO

The tf, zpk, ss, и frd команды позволяют вам создавать модели SISO и MIMO. Для моделей TF или ZPK часто удобно создавать модели MIMO путем конкатенации более простых моделей SISO. Для примера можно создать передаточную функцию 2x2 MIMO:

использование:

s = tf('s');
H = [ 1/(s+1) , 0 ; (s+1)/(s^2+s+3) , -4*s/(s+2) ]

H =
 
  From input 1 to output...
         1
   1:  -----
       s + 1
 
          s + 1
   2:  -----------
       s^2 + s + 3
 
  From input 2 to output...
   1:  0
 
       -4 s
   2:  -----
       s + 2
 
Continuous-time transfer function.

Анализ моделей LTI

Control System Toolbox обеспечивает обширный набор функций для анализа моделей LTI. Эти функции варьируются от простых запросов о размере ввода-вывода и порядке до сложного анализа времени и частотной характеристики.

Для примера можно получить информацию о размере для передаточной функции MIMO H указанный выше путем ввода:

size(H)

Transfer function with 2 outputs and 2 inputs.

Вычислить полюса можно используя:

pole(H)

ans = 4×1 complex

  -1.0000 + 0.0000i
  -0.5000 + 1.6583i
  -0.5000 - 1.6583i
  -2.0000 + 0.0000i

Можно спросить, является ли эта система стабильной, используя:

isstable(H)

ans = logical
   1

Наконец, можно построить график переходной характеристики путем ввода:

step(H)