Линейные модели, изменяющиеся параметрами

Что такое линейные модели с переменными параметрами?

Система linear parameter-varying (LPV) является моделью линейного пространства состояний, динамика которой изменяется как функция от определенных изменяющихся во времени параметров, называемых scheduling parameters. В MATLAB^®модель LPV представлена в форме пространства состояний с использованием коэффициентов, которые зависят от параметра.

Математически система LPV представлена как:

\begin{array}{l} d x (t) = A (p) x (t) + B (p) u (t) \\ y (t) = C (p) x (t) + D (p) u (t) \\ x (0) = x_{0} \end{array}

(1)

где

u(t) являются входами
y(t) выходы
x(t) являются ли состояния модели с начальным значением x0
$d x (t)$ является производным от состояния вектором $\dot{x}$ для систем в непрерывном времени и вектора обновления состояния $x (t + Δ T)$ для систем в дискретном времени. .R. T - шаг расчета.
A(p), B(p), C(p) и D(p) являются ли матрицы пространства состояний, параметризованные вектором параметра планирования p.
Параметры p = p(t) являются измеряемыми функциями входов и состояний модели. Они могут быть скалярной величиной или вектором из нескольких параметров. Набор параметров планирования определяет пространство планирования, над которым задана модель LPV.

Основанная на сетке модель LPV

Распространенным способом представления моделей LPV является интерполированный массив линейных моделей пространства состояний. Выбирается определенное число точек в пространстве планирования, обычно образующий регулярную сетку. Каждой точке назначается система LTI, представляющая динамику в локальной близости от этой точки. Динамика в местах планирования между узлами сетки получается путем интерполяции систем LTI в соседних точках.

Для примера аэродинамическое поведение самолета часто расписывается по сетке значений угла падения (α) и скорости ветра (V). Для каждого параметра планирования выбирается область значений значений, таких как α = 0:5:20 степени, V = 700:100:1400 м/с. Для каждой комбинации значений (α, V) получается линейное приближение поведения самолета. Локальные модели соединяются как показано на следующем рисунке:

Каждый пончик представляет локальную модель LTI, а соединительные кривые - правила интерполяции. Абсцисса и ордината поверхности являются параметрами планирования (α, V).

Эта форма иногда называется представлением LPV на основе сетки. Это форма, используемая блоком LPV System. Для значимых интерполяций системных матриц все локальные модели должны использовать один и тот же базис состояний.

Аффинная форма модели LPV

Представление системы LPV может быть расширено, чтобы разрешить смещения в dx, x, u и y переменные. Эта форма известна как affine form модели LPV. Математически, следующее представляет систему LPV:

\begin{array}{l} d x (t) = A (p) x (t) + B (p) u (t) + (\bar{d x} (p) - A (p) \bar{x} (p) - B (p) \bar{u} (p)) \\ y (t) = C (p) x (t) + D (p) u (t) + (\bar{y} (p) - C (p) \bar{x} (p) - D (p) \bar{u} (p)) \\ x (0) = x_{0} \end{array}

(2)

$\bar{d x} (p), \bar{x} (p), \bar{u} (p), \bar{y} (p)$ являются ли смещения в значениях dx(t), x(t), u(t) и y(t) при заданном значении параметров p = p(t).

Чтобы получить такие представления массива линейной системы, линеаризируйте Simulink^® моделировать по пакету рабочих точек (см. «Пакетная линеаризация (Simulink Control Design)»). Смещения соответствуют рабочим точкам, в которых вы линеаризировали модель.

Можно получить смещения путем возврата дополнительной информации линеаризации при вызове функций, таких как linearize (Simulink Control Design) или getIOTransfer (Simulink Control Design). Затем можно извлечь смещения, используя getOffsetsForLPV (Simulink Control Design). Для получения примера смотрите Приближение LPV модели Boost Converter (Simulink Control Design).

В представлении аффина линейная модель в заданной точке p = p* в пространстве планирования находится:

$\begin{array}{l} d Δ x (t, p^{*}) = A (p^{*}) Δ x (t, p^{*}) + B (p^{*}) Δ u (t, p^{*}) \\ Δ y (t, p^{*}) = C (p^{*}) Δ x (t, p^{*}) + D (p^{*}) Δ u (t, p^{*}) \end{array}$

Состояния этой линейной модели связаны с состояниями общей модели LPV (уравнение 2) $Δ x (t, p^{*}) = x (t) - \bar{x} (p^{*})$ . Точно так же, $Δ y (t, p^{*}) = y (t) - \bar{y} (p^{*})$ и $Δ u (t, p^{*}) = u (t) - \bar{u} (p^{*})$ .

Регулярные и нерегулярные сетки

Рассмотрим систему, которая использует два параметра планирования, α и β. Когда α и β изменяются монотонно, формируется правильная сетка, как показано на следующем рисунке. Массив пространства состояний содержит значение при каждой комбинации α и β значений. Регулярная сетка не предполагает равномерного интервала между значениями.

Когда параметры совместно изменяются, то есть α и β увеличиваются вместе, формируется неправильная сетка. Параметры системного массива доступны только по диагонали в плоскости параметра.

Если некоторые выборки отсутствуют в обычной сетке, сетка считается неправильной.

Используйте массивы моделей, чтобы создать линейные изменяющиеся параметрами модели

Массив согласованных по состоянию линейных моделей, которые определяют модель LPV, представлен массивом объектов модели пространства состояний. Для получения дополнительной информации об массивах моделей см. Раздел «Массивы моделей».

Размер системного массива равен размеру сетки в пространстве планирования. В примере самолета α принимает 5 значений в области значений 0-20 степеней и V принимает 8 значений в области значений 700-1400 м/с. Если вы задаете линейную модель при каждой комбинации (α, V) значений (т.е. сетка является регулярной), размер сетки составляет 5 на 8. Поэтому размер массива моделей должен быть 5 на 8.

Информация о параметрах планирования присоединена к линейному массиву моделей с помощью его SamplingGrid свойство. Значение SamplingGrid свойство должно быть структурой с таким количеством полей, сколько есть параметров планирования. Для каждого поля значение должно быть установлено на все значения, принимаемые соответствующей переменной в пространстве планирования.

Для примера самолета можно задать SamplingGrid свойство как:

Alpha = 0:5:20; 
V = 700:100:1400;
[Alpha_Grid,V_Grid] = ndgrid(Alpha, V);
linsysArray.SamplingGrid = struct('Alpha',Alpha_Grid,'V',V_Grid);

Аппроксимация нелинейных систем с помощью моделей LPV

Точно так же, как линейная модель обеспечивает приближение поведения системы при заданных рабочих условиях, модель LPV обеспечивает приближение поведения на протяжении диапазона при рабочих условиях. Общим подходом к построению модели LPV является обрезка пакета и линеаризация с последующим сложением локальных моделей в массив моделей пространства состояний.

Примечание

При получении линейных моделей путем линеаризации не уменьшайте и не изменяйте переменные состояния, используемые моделями.

Рабочая область обычно имеет высокую размерность, потому что она состоит из всех переменных входов и состояния. Генерация или интерполяция локальных моделей в таких высоко-размерных пространствах обычно недопустима. Более простой подход состоит в том, чтобы использовать небольшой набор параметров планирования в качестве прокси для переменных операционной области. Параметры планирования получают из входов и переменных состояния исходной системы. Вы должны тщательно выбирать значения, чтобы для фиксированного значения параметров планирования, поведение системы было приблизительно линейным. Такой подход не всегда возможен.

Рассмотрим нелинейную систему, описанную следующими уравнениями:

$\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \\ {\dot{x}}_{2} = - 2 x_{1} - 3 x_{2} + 2 u \\ y = x_{1} + 2 \end{array}$

Предположим, вы используете $p (t) = {\dot{x}}_{1}$ как переменная планирования. В установленный момент времени t = t 0, вы имеете:

$\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} \approx 2 x_{1} (t_{0}) x_{1} + 2 x_{2} (t_{0}) x_{2} - {\dot{x}}_{1} (t_{0}) \\ {\dot{x}}_{2} = - 2 x_{1} - 3 x_{2} + 2 u \\ y = x_{1} + 2 \end{array}$

Таким образом, динамика является линейной (аффинной) в окрестности заданного значения $\dot{x}$ . Это приближение предназначено для всех временных интервалов и значений входа u до тех пор, пока $\dot{x}$ не сильно отклоняется от его номинального значения в точке дискретизации t 0. Обратите внимание, что планирование входных u или состояний _x 1 или x 2 не помогает локально линеаризировать систему. Поэтому они не являются хорошими кандидатами для параметров планирования.

Для примера этого подхода см. «Аппроксимация нелинейного поведения с использованием массива систем LTI» (Simulink Control Design).

Приложения линейных переменных параметров Моделей

Моделирование многомодовой динамики

Можно использовать модели LPV, чтобы представлять системы, которые показывают несколько режимов (режимов) операции. Примеры таких систем включают сталкивающиеся тела, системы, управляемые переключателями оператора, и приближений систем, пораженных эффектами сухого трения и гистерезиса. Для получения примера смотрите Использование массивов LTI для симуляции многомодовой динамики.

Прокси для более быстрых симуляций

Этот подход полезен для генерации суррогатных моделей, которые можно использовать вместо исходной системы для обеспечения более быстрых симуляций, уменьшения площади памяти целевого аппаратного кода и симуляции оборудования в цикле (HIL). Можно также использовать суррогатные модели этого типа для разработки запланированных по усилению контроллеров и для инициализации задач оценки параметра в Simulink. Для примера аппроксимации общего нелинейного поведения системы с помощью модели LPV, смотрите Аппроксимацию нелинейного поведения с использованием массива систем LTI (Simulink Control Design).

Модели LPV могут помочь ускорить симуляцию систем на основе физических компонентов, таких как созданные с использованием Simscape™ Multibody™ и Simscape Electrical™ Power Systems. Для примера этого подхода см. Приближение LPV модели Boost Converter (Simulink Control Design).

См. также

LPV System | getOffsetsForLPV (Simulink Control Design)

Документация