Задайте модель EGARCH.

Задайте процесс EGARCH (1,1) с константой$$\kappa =0.01$$, коэффициент GARCH $${\gamma }_1=0.7$$, коэффициент ARCH $${\alpha }_1=0.3$$ и коэффициент рычага $${\xi }_1=-0.1$$.

Mdl = egarch('Constant',0.01,'GARCH',0.7,...
    'ARCH',0.3,'Leverage',-0.1)

Mdl = 
  egarch with properties:

     Description: "EGARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               Q: 1
        Constant: 0.01
           GARCH: {0.7} at lag [1]
            ARCH: {0.3} at lag [1]
        Leverage: {-0.1} at lag [1]
          Offset: 0

Симулируйте одну реализацию.

Симулируйте одну реализацию длины 50 из процесса условного отклонения EGARCH и соответствующих инноваций.

rng default; % For reproducibility

[v,y] = simulate(Mdl,50);

figure
subplot(2,1,1)
plot(v)
xlim([0,50])
title('Conditional Variance Process')

subplot(2,1,2)
plot(y)
xlim([0,50])
title('Innovations')

Моделируйте несколько реализаций.

Используя сгенерированные условные отклонения и инновации в качестве предварительных образцов данных, моделируйте 5000 реализаций процесса EGARCH для 50 будущих временных шагов. Постройте график среднего значения симуляции прогнозируемого процесса условного отклонения.

rng default; % For reproducibility
[Vsim,Ysim] = simulate(Mdl,50,'NumPaths',5000,...
                       'E0',y,'V0',v);

figure
plot(v,'k')
hold on
plot(51:100,Vsim,'Color',[.85,.85,.85])
xlim([0,100])
h = plot(51:100,mean(Vsim,2),'k--','LineWidth',2);
title('Simulated Conditional Variance Process')
legend(h,'Simulation Mean','Location','NorthWest')
hold off

Сравнение моделируемых и условных прогнозов отклонений MMSE.

Сравните среднюю симуляцию отклонения, прогноз отклонения MMSE и экспоненциальные, теоретические безусловные отклонения журнала.

Экспоненциальное теоретическое безусловное отклонение журнала для указанной модели EGARCH (1,1) является

sim = mean(Vsim,2);
fcast = forecast(Mdl,50,y,'V0',v);
sig2 = exp(0.01/(1-0.7));

figure
plot(sim,':','LineWidth',2)
hold on
plot(fcast,'r','LineWidth',2)
plot(ones(50,1)*sig2,'k--','LineWidth',1.5)
legend('Simulated','MMSE','Theoretical')
title('Unconditional Variance Comparisons')
hold off

MMSE и экспоненциальное теоретическое отклонение журнала смещены относительно безусловного отклонения (примерно на 4%), потому что из-за неравенства Дженсена,

Сравнение моделируемых и MMSE прогнозов условных отклонений.

Сравните среднюю симуляцию дисперсию журнала, журнала прогноз дисперсии MMSE и теоретическую, безусловную дисперсию журнала.

logsim = mean(log(Vsim),2);
logsig2 = 0.01/(1-0.7);

figure
plot(logsim,':','LineWidth',2)
hold on
plot(log(fcast),'r','LineWidth',2)
plot(ones(50,1)*logsig2,'k--','LineWidth',1.5)
legend('Simulated','MMSE','Theoretical')
title('Unconditional Log Variance Comparisons')
hold off

Прогноз MMSE безусловного отклонения журнала объективен.