Модели условных отклонений

Общее определение модели условных отклонений

Рассмотрим временные ряды

$y_{t} = μ + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ . Здесь _zt является независимым и идентично распределенным рядом стандартизированных случайных переменных. Econometrics Toolbox™ поддерживает стандартизированные Гауссовы и стандартизированные инновационные дистрибутивы t Student. Постоянный член, $μ$ , - среднее смещение.

A conditional variance model задает динамическую эволюцию инновационного отклонения,

$σ_{t}^{2} = V a r (ε_{t} | H_{t - 1}),$

где H _t -1 - история процесса. История включает в себя:

Прошлые отклонения, $σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, \dots, σ_{t - 1}^{2}$
Прошлые инновации, $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{t - 1}$

Модели условных отклонений подходят для временных рядов, которые не показывают значительной автокорреляции, но являются последовательно зависимыми. Серия инноваций $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ некоррелирован, потому что:

E _{(<reservedrangesplaceholder0>)} = 0.
E (_εt _εt–h) = 0 для всех t и $h \neq 0.$

Однако, если $σ_{t}^{2}$ зависит от $σ_{t - 1}^{2}$ Для примера, тогда _εt зависит от _εt–1, даже если они некоррелированы. Этот вид зависимости проявляется как автокорреляция в квадратной инновационной серии, $ε_{t}^{2} .$

Совет

Для моделирования временных рядов, которые являются как автокоррелированными, так и последовательно зависимыми, можно рассмотреть использование составной условной модели среднего и отклонения.

Две характеристики финансовых временных рядов, к которым адресованы модели условных отклонений:

Volatility clustering. Волатильность является условным стандартным отклонением временных рядов. Автокорреляция в процессе условного отклонения приводит к кластеризации волатильности. Модель GARCH и ее варианты моделируют авторегрессию в ряду отклонений.
Leverage effects. Волатильность некоторых временных рядов больше реагирует на большие уменьшения, чем на большие увеличения. Это асимметричное поведение кластеризации известно как эффект рычага. Модели EGARCH и GJR используют условия для моделирования этой асимметрии.

Модель GARCH

Обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастическая (GARCH) модель является расширением модели ARCH Engle для гетероскедастичности отклонений [1]. Если серия показывает кластеризацию волатильности, это предполагает, что прошлые отклонения могут быть предсказывающими текущее отклонение.

Модель GARCH (P, Q) является авторегрессивной моделью скользящего среднего значения для условных отклонений с P коэффициентами GARCH, сопоставленными с отстающими отклонениями, и Q коэффициентами ARCH, сопоставленными с отстающими квадратными инновациями. Форма модели GARCH (P, Q) в Econometrics Toolbox:

$y_{t} = μ + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ и

$σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + γ_{P} σ_{t - P}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + \dots + α_{Q} ε_{t - Q}^{2} .$

Примечание

The Constant свойство garch модель соответствует κ, и Offset свойство соответствует μ.

Для стационарности и позитивности модель GARCH имеет следующие ограничения:

$κ > 0$
$γ_{i} \geq 0, α_{j} \geq 0$
$\sum_{i = 1}^{P} γ_{i} + \sum_{j = 1}^{Q} α_{j} < 1$

Чтобы задать исходную модель ARCH (Q) Engle, используйте эквивалентную спецификацию GARCH (0, Q).

Модель EGARCH

Экспоненциальная модель GARCH (EGARCH) является вариантом GARCH, который моделирует логарифм процесса условного отклонения. В дополнение к моделированию логарифма, модель EGARCH имеет дополнительные условия рычага для захвата асимметрии в кластеризации волатильности.

Модель EGARCH (P, Q) имеет P коэффициентов GARCH, сопоставленных с отстающими журналами отклонения терминами, Q коэффициенты ARCH, сопоставленные с величиной отстающих стандартизированных инноваций, и Q используют коэффициенты, сопоставленные с подписанными, отстающими стандартизированными инновациями. Форма модели EGARCH (P, Q) в Econometrics Toolbox:

$y_{t} = μ + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ и

$\log σ_{t}^{2} = κ + \sum_{i = 1}^{P} γ_{i} \log σ_{t - i}^{2} + \sum_{j = 1}^{Q} α_{j} [\frac{| ε_{t - j} |}{σ_{t - j}} - E {\frac{| ε_{t - j} |}{σ_{t - j}}}] + \sum_{j = 1}^{Q} ξ_{j} (\frac{ε_{t - j}}{σ_{t - j}}) .$

Примечание

The Constant свойство egarch модель соответствует κ, и Offset свойство соответствует μ.

Форма членов ожидаемых значений, сопоставленных с коэффициентами ARCH в уравнении EGARCH, зависит от распределения _zt:

Если инновационное распределение является Гауссовым, то

$E {\frac{| ε_{t - j} |}{σ_{t - j}}} = E {| z_{t - j} |} = \sqrt{\frac{2}{π}} .$
Если инновационное распределение является t Студента с ν > 2 степенями свободы, то

$E {\frac{| ε_{t - j} |}{σ_{t - j}}} = E {| z_{t - j} |} = \sqrt{\frac{ν - 2}{π}} \frac{Γ (\frac{ν - 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2})} .$

Тулбокс обрабатывает модель EGARCH (P, Q) как модель ARMA для $\log σ_{t}^{2} .$ Таким образом, чтобы гарантировать стационарность, все корни полинома коэффициента GARCH, $(1 - γ_{1} L - \dots - γ_{P} L^{P})$ , должно лежать вне модуля круга.

Модель EGARCH уникальна из моделей GARCH и GJR, потому что она моделирует логарифм отклонения. Путем моделирования логарифма ограничения положительности на параметрах модели ослабляются. Однако прогнозы условных отклонений от модели EGARCH смещены, потому что неравенством Йенсена,

$E (σ_{t}^{2}) \geq \exp {E (\log σ_{t}^{2})} .$

Спецификация EGARCH (1,1) будет достаточно сложной для большинства приложений. Для модели EGARCH (1,1) коэффициенты GARCH и ARCH ожидаются положительными, и коэффициент рычага ожидается отрицательным; большие непредвиденные нисходящие потрясения должны увеличить отклонение. Если вы получаете признаки, противоположные ожидаемым, вы можете столкнуться с трудностями, ограничивающими последовательности волатильности и прогнозирование (отрицательный коэффициент ARCH может быть особенно проблематичным). В этом случае модель EGARCH может быть не лучшим выбором для вашего приложения.

Модель GJR

Модель GJR является вариантом GARCH, который включает условия использования для моделирования асимметричной волатильности кластеризации. В формулировке GJR большие негативные изменения скорее будут кластеризованы, чем положительные изменения. Модель GJR названа в честь Glosten, Jagannathan и Runkle [2]. Близкое сходство существует между моделью GJR и пороговой моделью GARCH (TGARCH) - модель GJR является рекурсивным уравнением для процесса дисперсии, и TGARCH является такой же рекурсией, примененной к стандартному процессу отклонения.

Модель GJR (P, Q) имеет P коэффициентов GARCH, сопоставленных с отстающими отклонениями, Q коэффициенты ARCH, сопоставленные с отстающими квадратными инновациями, и Q коэффициенты использования, сопоставленные с квадратами отрицательных отстающих инноваций. Форма модели GJR (P, Q) в Econometrics Toolbox:

$y_{t} = μ + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ и

$σ_{t}^{2} = κ + \sum_{i = 1}^{P} γ_{i} σ_{t - i}^{2} + \sum_{j = 1}^{Q} α_{j} ε_{t - j}^{2} + \sum_{j = 1}^{Q} ξ_{j} I [ε_{t - j} < 0] ε_{t - j}^{2} .$

Функция индикации $I [ε_{t - j} < 0]$ равен 1, если $ε_{t - j} < 0$ , и 0 в противном случае. Таким образом, коэффициенты рычага применяются к негативным инновациям, придавая отрицательным изменениям дополнительный вес.

Примечание

The Constant свойство gjr модель соответствует κ, и Offset свойство соответствует μ.

Для стационарности и позитивности модель GJR имеет следующие ограничения:

$κ > 0$
$γ_{i} \geq 0, α_{j} \geq 0$
$α_{j} + ξ_{j} \geq 0$
$\sum_{i = 1}^{P} γ_{i} + \sum_{j = 1}^{Q} α_{j} + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{Q} ξ_{j} < 1$

Модель GARCH вложена в модель GJR. Если все коэффициенты рычага равны нулю, то модель GJR сводится к модели GARCH. Это означает, что вы можете протестировать модель GARCH против модели GJR с помощью теста коэффициента правдоподобия.

Ссылки

[1] Энгл, Роберт Ф. «Авторегрессивная условная гетероскедастичность с оценками отклонения инфляции в Соединенном Королевстве». Эконометрика. Том 50, 1982, с. 987-1007.

[2] Glosten, L. R., R. Jagannathan, and D. E. Runkle. «О связи между Ожидаемым значением и волатильностью номинального избыточного Возврата по акциям». The Journal of Finance. Том 48, № 5, 1993, с. 1779-1801.

Документация