MMSE прогнозирование моделей условных отклонений

Что такое прогнозы MMSE?

Общей целью моделирования условных отклонений является генерация прогнозов для процесса условных отклонений в будущем временном горизонте. То есть, учитывая условный процесс отклонения $σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, \dots, σ_{N}^{2}$ и h горизонта прогноза, генерируйте предсказания для $σ_{N + 1}^{2}, σ_{N + 2}^{2}, \dots, σ_{N + h}^{2} .$

Давайте ${\hat{σ}}_{t + 1}^{2}$ обозначает прогноз отклонения во времени t + 1, обусловленный историей процесса до временных t, _Ht. Прогноз минимальной средней квадратной ошибки (MMSE) является прогнозом ${\hat{σ}}_{t + 1}^{2}$ что минимизирует условные ожидаемые квадратные потери,

$E (σ_{t + 1}^{2} - {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} | H_{t}) .$

Минимизация этой функции потерь приводит к прогнозу MMSE,

${\hat{σ}}_{t + 1}^{2} = E (σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) = E (ε_{t + 1}^{2} | H_{t}) .$

Прогнозы EGARCH MMSE

Для модели EGARCH найден прогноз MMSE для условного отклонения журнала,

$\log {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} = E (\log σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) .$

Для прогнозов условных отклонений процессов EGARCH, forecast возвращает экспоненциальный прогноз условного отклонения журнала MMSE,

${\hat{σ}}_{t + 1}^{2} = \exp {\log {\hat{σ}}_{t + 1}^{2}} .$

Это приводит к легкому прогнозу смещения из-за неравенства Йенсена,

$E (σ_{t + 1}^{2}) \geq \exp {E (\log σ_{t + 1}^{2})} .$

В качестве альтернативы прогнозированию MMSE можно провести симуляции Монте-Карло, чтобы предсказать процессы EGARCH. Симуляции Монте-Карло дают объективные прогнозы для моделей EGARCH. Однако прогнозы Монте-Карло подвержены ошибке Монте-Карло (которую можно уменьшить, увеличив размер выборки симуляции).

Как `forecast` Генерирует прогнозы MMSE

The forecast функция генерирует прогнозы MMSE рекурсивно. Когда вы звоните forecast, необходимо задать примитивные отклики Y0, и вы можете опционально задать предварительную выборку условных отклонений V0 использование 'V0' аргумент пары "имя-значение". Если прогнозируемая модель включает среднее смещение, сигнализируемое ненулевым Offset свойство, forecast вычитает член смещения из настроек presample, чтобы создать нововведения presample.

Чтобы начать прогнозирование с конца наблюдаемой серии, скажем Y, используйте последние несколько наблюдений Y как примитивные отклики Y0 для инициализации прогноза. Минимальное количество откликов presample, необходимых для инициализации прогнозирования, сохранено в свойстве Q модели.

При задании предварительных условных отклонений V0минимальное количество предварительных условных отклонений, необходимых для инициализации прогнозирования, сохранено в свойстве P для моделей GARCH (P, Q) и GJR (P, Q). Для моделей EGARCH (P, Q) минимальное количество предварительной выборки условных отклонений, необходимых для инициализации прогнозирования, является max (P, Q).

Обратите внимание, что для всех моделей отклонения, если вы подаете по крайней мере max (P, Q) + P предварительные наблюдения отклика Y0, forecast выводит все необходимые предварительные условные отклонения V0 для тебя. Если вы поставляете предварительные наблюдения, но меньше макса (P, Q) + P, forecast устанавливает любые необходимые предварительные условные отклонения, равные безусловному отклонению модели.

Модель GARCH

The forecast функция генерирует прогнозы MMSE для моделей GARCH рекурсивно.

Рассмотрите генерацию прогнозов для модели GARCH (1,1 ), $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где

$σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} .$

Учитывая предварительный образец инноваций $ε_{T}$ и предварительная выборка условному отклонению $σ_{T}^{2},$ прогнозы рекурсивно генерируются следующим образом:

${\hat{σ}}_{T + 1}^{2} = κ + γ_{1} σ_{T}^{2} + α_{1} ε_{T}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 2}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 3}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

Обратите внимание, что инновации прогнозируются с помощью тождеств

$E (ε_{t + 1}^{2} | H_{t}) = E (σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) = {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} .$

Эта рекурсия сходится к безусловному отклонению процесса,

$σ_{ε}^{2} = \frac{κ}{(1 - γ_{1} - α_{1})} .$

Модель GJR

The forecast функция генерирует прогнозы MMSE для моделей GJR рекурсивно.

Рассмотрите генерацию прогнозов для модели GJR (1,1 ), $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где $σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + ξ_{1} I [ε_{t - 1} < 0] ε_{t - 1}^{2} .$ Учитывая предварительный образец инноваций $ε_{T}$ и предварительная выборка условному отклонению $σ_{T}^{2},$ прогнозы рекурсивно генерируются следующим образом:

${\hat{σ}}_{T + 1}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T}^{2} + α_{1} ε_{T}^{2} + ξ_{1} I [ε_{T} < 0] ε_{T}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 2}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} + \frac{1}{2} ξ_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 3}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} + \frac{1}{2} ξ_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

Обратите внимание, что ожидаемое значение показателя составляет 1/2 для инновационного процесса со средним нулем и что инновации прогнозируются с помощью тождеств

$E (ε_{t + 1}^{2} | H_{t}) = E (σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) = {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} .$

Эта рекурсия сходится к безусловному отклонению процесса,

$σ_{ε}^{2} = \frac{κ}{(1 - γ_{1} - α_{1} - \frac{1}{2} ξ_{1})} .$

Модель EGARCH

The forecast функция генерирует прогнозы MMSE для моделей EGARCH рекурсивно. Прогнозы сначала генерируются для условных отклонений журнала, а затем экспонентируются, чтобы спрогнозировать условные отклонения. Это приводит к небольшому смещению прогноза.

Рассмотрите генерацию прогнозов для модели EGARCH (1,1 ), $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где

$\log σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} \log σ_{t - 1}^{2} + α_{1} [| \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} | - E {| \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} |}] + ξ_{1} \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} .$

Форма ожидаемого значения термина зависит от выбора инновационного распределения, Гауссова или Студенческого t. Учитывая предварительный образец инноваций $ε_{T}$ и предварительная выборка условному отклонению $σ_{T}^{2},$ прогнозы рекурсивно генерируются следующим образом:

$\log {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} = κ + γ_{1} \log σ_{T}^{2} + α_{1} [| \frac{ε_{T}}{σ_{T}} | - E {| \frac{ε_{T}}{σ_{T}} |}] + ξ_{1} \frac{ε_{T}}{σ_{T}}$
$\log {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} = κ + γ_{1} \log {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}$
$\log {\hat{σ}}_{T + 3}^{2} = κ + γ_{1} \log {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

Заметьте, что будущие абсолютные стандартизированные инновации и будущие инновации заменяются их ожидаемым значением. Это означает, что условия ARCH и кредитного плеча равны нулю для всех прогнозов, которые зависят от будущих инноваций. Эта рекурсия сходится к безусловному журналу отклонения процесса,

$\log σ_{ε}^{2} = \frac{κ}{(1 - γ_{1})} .$

forecast возвращает экспоненциальные прогнозы, $\exp {\log {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}}, \exp {\log {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}}, \dots,$ которые имеют предел

$\exp {\frac{κ}{(1 - γ_{1})}} .$

См. также

Объекты

egarch | garch | gjr

Функции

forecast

Подробнее о

Монте-Карло прогнозирование моделей условных отклонений

Документация