Выполните тест множителя Лагранжа

Открыть Live Script

Этот пример показывает, как вычислить необходимые входы для проведения теста множителя Лагранжа (LM) с lmtest. Тест LM сравнивает подгонку ограниченной модели с неограниченной моделью, проверяя, значительно ли отличается градиент функции логарифмической правдоподобности неограниченной модели, оцененной при ограниченных максимальных оценках правдоподобия (MLE) от нуля.

Необходимые входы для lmtest являются функцией счета и оценкой неограниченной дисперсионно-ковариационной матрицы, оцененной в ограниченных MLE. Этот пример сравнивает подгонку модели AR (1) с моделью AR (2).

Вычисление ограниченного MLE

Получите ограниченный MLE, подгоняя модель AR (1) (с Гауссовым инновационным распределением) к данным. Предположим, что у вас есть предварительные наблюдения ( $y_{- 1}$ , $y_{0}$ ) = (9.6249,9.6396).

Y = [10.1591; 10.1675; 10.1957; 10.6558; 10.2243; 10.4429;
     10.5965; 10.3848; 10.3972;  9.9478;  9.6402;  9.7761;
     10.0357; 10.8202; 10.3668; 10.3980; 10.2892;  9.6310;
      9.6318;  9.1378;  9.6318;  9.1378];
Y0 = [9.6249; 9.6396];

Mdl = arima(1,0,0);
EstMdl = estimate(Mdl,Y,'Y0',Y0);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value     StandardError    TStatistic     PValue  
                _______    _____________    __________    _________

    Constant     3.2999        2.4606         1.3411        0.17988
    AR{1}       0.67097       0.24635         2.7237      0.0064564
    Variance    0.12506      0.043015         2.9074      0.0036441

При проведении теста LM необходимо подгонять только ограниченную модель.

Вычислите матрицу градиента

Оцените дисперсионно-ковариационную матрицу для неограниченной модели AR (2) с помощью векторного произведения градиентов (OPG) метода .

Для модели AR (2) с Гауссовыми инновациями, вкладом в функцию логарифмической правдоподобности в момент времени $t$ дается

$\log L_{t} = - 0.5 \log (2 π σ_{ε}^{2}) - \frac{(y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})^{2}}{2 σ_{ε}^{2}}$

где $σ_{ε}^{2}$ - отклонение инновационного распределения.

Вклад в градиент в то время $t$ является

$[\begin{array}{c} \frac{\partial \log L_{t}}{\partial c} & \frac{\partial \log L_{t}}{\partial ϕ_{1}} & \frac{\partial \log L_{t}}{\partial ϕ_{2}} & \frac{\partial \log L_{t}}{\partial σ_{ε}^{2}} \end{array}],$

где

$\begin{array}{c} \frac{\partial \log L_{t}}{\partial c} & = & \frac{y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2}}{σ_{ε}^{2}} \\ \frac{\partial \log L_{t}}{\partial ϕ_{1}} & = & \frac{y_{t - 1} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})}{σ_{ε}^{2}} \\ \frac{\partial \log L_{t}}{\partial ϕ_{2}} & = & \frac{y_{t - 2} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})}{σ_{ε}^{2}} \\ \frac{\partial \log L_{t}}{\partial σ_{ε}^{2}} & = & - \frac{1}{2 σ_{ε}^{2}} + \frac{(y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})^{2}}{2 σ_{ε}^{4}} \end{array}$

Вычислите градиентную матрицу, $G$ , в ограниченных MLE (использование ${ϕ_{}^{ˆ}}_{2} = 0$ ).

c = EstMdl.Constant;
phi1 = EstMdl.AR{1};
phi2 = 0;
sig2 = EstMdl.Variance;

Yt = Y;
Yt1 = [9.6396; Y(1:end-1)];
Yt2 = [9.6249; Yt1(1:end-1)];

N = length(Y);
G = zeros(N,4);
G(:,1) = (Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,2) = Yt1.*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,3) = Yt2.*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,4) = -0.5/sig2 + 0.5*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2).^2/sig2^2;

Оценочная дисперсионно-ковариационная матрица

Вычислите оценку дисперсионно-ковариационной матрицы OPG.

V = inv(G'*G)

V = 4×4

    6.1431   -0.6966    0.0827    0.0367
   -0.6966    0.1535   -0.0846   -0.0061
    0.0827   -0.0846    0.0771    0.0024
    0.0367   -0.0061    0.0024    0.0019

Числовые неточности могут возникнуть из-за точности компьютера. Чтобы сделать дисперсионно-ковариационную матрицу симметричной, объедините половину ее значения с половиной ее транспонирования.

V = V/2 + V'/2;

Вычислите функцию счета

Вычислите функцию счета (сумму индивидуальных вкладов в градиент).

score = sum(G);