Проверяйте марковскую цепь на эргодичность
tf = isergodic(mc)true если дискретная цепь Маркова mc является эргодическим и false в противном случае.
Рассмотрим эту матрицу перехода с тремя состояниями.
Создайте марковскую цепь, которая характеризуется переходной матрицей P.
P = [0 1 0; 0 0 1; 1 0 0]; mc = dtmc(P);
Определите, является ли марковская цепь эргодичной.
isergodic(mc)
ans = logical
0
0 указывает, что марковская цепь не эргодична.
Визуально подтвердите, что цепь Маркова не эргодична, построив свои собственные значения на комплексной плоскости.
figure; eigplot(mc);
Всё три собственных значений имеют один модуль. Этот результат указывает, что период марковской цепи составляет три. Периодические марковские цепи не эргодичны.
По теореме Виландта [3], цепь Маркова mc является эргодичным тогда и только тогда, когда все элементы Pm положительны для m = (n - 1)2 + 1. P - матрица переходов (mc.P) и n количество состояний (mc.NumStates). Для определения эргодичности, isergodic вычисляет Pm.
По теореме Перрона-Фробениуса [2] эргодические марковские цепи имеют уникальные лимитирующие распределения. То есть они имеют уникальные стационарные распределения, с которыми сходится каждое начальное распределение. Эргодические унихаины, которые состоят из одного эргодического класса плюс переходных классов, также имеют уникальные лимитирующие распределения (с нулевой массой вероятностей в переходных классах).
[1] Gallager, R.G. Stochastic Processes: Theory for Applications. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 2013.
[2] Хорн, Р. и К. Р. Джонсон. Матричный анализ. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 1985.
[3] Wielandt, H. «Unzerlegbare, Nicht Negativen Matrizen». Mathematische Zeitschrift. Том 52, 1950, с. 642-648.