Рассмотрим эту теоретическую, правостохастическую переходную матрицу стохастического процесса.

Элемент $$P_{ij}$$ - вероятность того, что процесс переходит к состоянию j в момент t + 1, учитывая, что он находится в состоянии i в момент t, для всех t.

Создайте марковскую цепь, которая характеризуется переходной матрицей P.

P = [0.5 0.5 0 0; 0.5 0 0.5 0; 0 0 0 1; 0 0 1 0];
mc = dtmc(P);

mc является dtmc объект, который представляет марковскую цепь.

Отображение количества состояний в марковской цепи.

numstates = mc.NumStates

numstates = 4

Постройте ориентированный график марковской цепи.

figure;
graphplot(mc);

Заметьте, что состояния 3 и 4 образуют поглощающий класс, в то время как состояния 1 и 2 являются переходными.

Рассмотрим эту матрицу переходов, в каком элементе $$(i,j)$$ - количество наблюдаемых переходов состояния i в состояние j.

Для примера, $$P_{32}=7$$ подразумевает, что состояние 3 переходит в состояние 2 семь раз.

P = [16 2  3  13;
     5  11 10 8;
     9  7  6  12;
     4  14 15 1];

Создайте марковскую цепь, которая характеризуется переходной матрицей P.

mc = dtmc(P);

Отобразите нормированную матрицу перехода, сохраненную в mc. Проверьте, что элементы в строках равны 1 для всех строк.

mc.P

ans = 4×4

    0.4706    0.0588    0.0882    0.3824
    0.1471    0.3235    0.2941    0.2353
    0.2647    0.2059    0.1765    0.3529
    0.1176    0.4118    0.4412    0.0294

sum(mc.P,2)

ans = 4×1

     1
     1
     1
     1

Постройте ориентированный график марковской цепи.

figure;
graphplot(mc);

Рассмотрим двухгосударственный бизнес-цикл реального валового национального продукта (ВНП) США в [3] стр. 697. В момент t реальный GNP может быть в состоянии расширения или сужения. Предположим, что следующие операторы верны в течение периода дискретизации.

Создайте матрицу перехода для модели.

p11 = 0.90;
p22 = 0.75;

P = [p11 (1 - p11); (1 - p22) p22];

Создайте марковскую цепь, которая характеризуется переходной матрицей P. Пометьте два состояния.

mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Contraction"])

mc = 
  dtmc with properties:

             P: [2x2 double]
    StateNames: ["Expansion"    "Contraction"]
     NumStates: 2

Постройте ориентированный график марковской цепи. Укажите вероятность перехода при помощи краевых цветов.

figure;
graphplot(mc,'ColorEdges',true);

Чтобы помочь вам исследовать dtmc функции объекта, mcmix создает марковскую цепь из матрицы случайных переходов, используя только заданное количество состояний.

Создайте пятигосударственную цепь Маркова из матрицы случайного перехода.

rng(1); % For reproducibility
mc = mcmix(5)

mc = 
  dtmc with properties:

             P: [5x5 double]
    StateNames: ["1"    "2"    "3"    "4"    "5"]
     NumStates: 5

mc является dtmc объект.

Постройте график собственных значений переходной матрицы на комплексной плоскости.

figure;
eigplot(mc)

Этот спектр определяет структурные свойства марковской цепи, такие как периодичность и скорость перемешивания.

Рассмотрим марковско-переключательную авторегрессию (msVAR) модель для ВВП США, содержащая четыре экономических режима: депрессию, рецессию, стагнацию и экспансию. Чтобы оценить вероятности перехода механизма переключения, вы должны задать dtmc модель с неизвестными записями матрицы перехода в msVAR среда.

Создайте 4-режимную марковскую цепь с неизвестной матрицей перехода (все NaN записи). Укажите имена режимов.

P = nan(4);
statenames = ["Depression" "Recession" ...
    "Stagnation" "Expansion"];

mcUnknown = dtmc(P,'StateNames',statenames)

mcUnknown = 
  dtmc with properties:

             P: [4x4 double]
    StateNames: ["Depression"    "Recession"    "Stagnation"    "Expansion"]
     NumStates: 4

mcUnknown.P

ans = 4×4

   NaN   NaN   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN   NaN

Предположим, экономическая теория утверждает, что экономика США никогда не переходит к экспансии от рецессии или депрессии. Создайте 4-режимную марковскую цепь с частично известной матрицей переходов, представляющей ситуацию.

P(1,4) = 0;
P(2,4) = 0;

mcPartial = dtmc(P,'StateNames',statenames)

mcPartial = 
  dtmc with properties:

             P: [4x4 double]
    StateNames: ["Depression"    "Recession"    "Stagnation"    "Expansion"]
     NumStates: 4

mcPartial.P

ans = 4×4

   NaN   NaN   NaN     0
   NaN   NaN   NaN     0
   NaN   NaN   NaN   NaN
   NaN   NaN   NaN   NaN

The estimate функция msVAR обрабатывает известные элементы mcPartial.P как ограничения равенства во время оптимизации.

Для получения дополнительной информации о моделях динамической регрессии Маркова-переключения смотрите msVAR.