Создайте полностью заданную модель для DGP

Создайте модель дискретной цепи Маркова двух состояний для механизма переключения.

P = [0.9 0.1; 0.2 0.8];
mc = dtmc(P);

mc является полностью заданным dtmc объект.

Для каждого состояния создайте модель AR (0) (только константа) для процесса отклика. Сохраните модели в векторе.

mdl1 = arima('Constant',2,'Variance',3);
mdl2 = arima('Constant',-2,'Variance',1);
mdl = [mdl1; mdl2];

mdl1 и mdl2 полностью заданы arima объекты.

Создайте модель динамической регрессии переключения Маркова из механизма переключения mc и вектор подмоделей mdl.

Mdl = msVAR(mc,mdl);

Mdl является полностью заданным msVAR объект.

Моделирование данных из DGP

smooth требует откликов для вычисления вероятностей сглаженного состояния. Сгенерируйте один случайный ответ и путь состояния, оба из длины 30, от DGP.

rng(1000); % For reproducibility
[y,~,sp] = simulate(Mdl,30);

Вычисление вероятностей состояния

Вычислите фильтрованные и сглаженные вероятности состояния из модели Маркова-переключения с учетом симулированного отклика данных.

fs = filter(Mdl,y);
ss = smooth(Mdl,y);

fs и ss представляют собой 30 на 2 матрицы фильтрованных и сглаженных вероятностей состояния, соответственно, для каждого периода в горизонте симуляции. Хотя фильтрованные вероятности состояния в момент времени t (fs(t,:)) основаны на данных отклика во времени t (y(1:t)), сглаженные вероятности состояния в момент времени t (ss(t,:)) основаны на всех наблюдениях.

Постройте график пути моделируемого состояния и вероятностей отфильтрованного и сглаженного состояний на том же графике.

figure
plot(sp,'m')
hold on
plot(fs(:,2),'r')
plot(ss(:,2),'g')
yticks([0 1 2])
xlabel("Time")
title("Observed States with Estimated State Probabilities")
legend({'Simulated states','Filtered probability: state 2',...
    'Smoothed probability: state 2'})
hold off

Создайте модель динамической регрессии Маркова-Переключения

Создайте полностью заданную модель дискретной цепи Маркова, которая описывает механизм переключения режима. Пометьте режимы.

P = [0.92 0.08; 0.26 0.74];
mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]);

Создайте отдельные, полностью определенные модели AR (0) для этих двух режимов .

sigma = 3.34; % Homoscedastic models across states
mdl1 = arima('Constant',4.62,'Variance',sigma^2);
mdl2 = arima('Constant',-0.48,'Variance',sigma^2);
mdl = [mdl1 mdl2];

Создайте модель динамической регрессии Маркова-переключения из механизма переключения mc и подмодели для конкретного состояния mdl.

Mdl = msVAR(mc,mdl);

Mdl является полностью заданным msVAR объект.

Загрузка и предварительная обработка данных

Загрузите набор данных ВВП США.

load Data_GDP

Data содержит ежеквартальные измерения реального ВВП США в период 1947: Q1-2005: Q2. Период интереса в [1] 1947:Q2-2004:Q2. Для получения дополнительной информации о наборе данных введите Description в командной строке.

Преобразуйте данные в годовую последовательность скоростей путем:

qrate = diff(Data(2:230))./Data(2:229); % Quarterly rate
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1);       % Annualized rate

Преобразование снижает первое наблюдение.

Вычисление вероятностей сглаженного состояния

Вычислите вероятности сглаженного состояния для данных и модели. Отобразите сглаженное распределение состояний для 1972:Q2.

SS = smooth(Mdl,arate);
SS(end,:)

ans = 1×2

    0.9396    0.0604

SS является 228 на 2 матрицей вероятностей сглаженного состояния. Строки соответствуют периодам в данных arate, и столбцы соответствуют режимам.

Постройте график сглаженных вероятностей спада, как на [1], рисунок 6.

figure;
plot(dates(3:230),SS(:,2),'r')
datetick('x')
recessionplot
title("Full-Sample Smoothed Probabilities and NBER Recessions")

Создайте полностью заданную модель для DGP

Создайте модель дискретной цепи Маркова трех состояний для механизма переключения.

P = [5 1 1; 1 5 1; 1 1 5];
mc = dtmc(P);

mc является полностью заданным dtmc объект. dtmc нормализует строки P чтобы они суммировали 1.

Для каждого состояния создайте полностью заданную модель VARX (0) (только постоянную и коэффициент регрессии матрицу) для процесса отклика. Задайте различные постоянные векторы между моделями. Задайте тот же коэффициент регрессии для двух регрессоров и задайте ту же ковариационную матрицу. Сохраните модели VARX в векторе.

% Constants
C1 = [1;-1];
C2 = [3;-3];
C3 = [5;-5];

% Regression coefficient
Beta = [0.2 0.1;0 -0.3];

% Covariance matrix
Sigma = [1.8 -0.4; -0.4 1.8];

% VARX submodels
mdl1 = varm('Constant',C1,'Beta',Beta,...
    'Covariance',Sigma);
mdl2 = varm('Constant',C2,'Beta',Beta,...
    'Covariance',Sigma);
mdl3 = varm('Constant',C3,'Beta',Beta,...
    'Covariance',Sigma);

mdl = [mdl1; mdl2; mdl3];

mdl содержит три полностью заданных varm объекты модели.

Для DGP создайте полностью заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения из механизма переключения mc и подмодели mdl.

Mdl = msVAR(mc,mdl);

Mdl является полностью заданным msVAR модель.

Моделирование данных из DGP

Симулируйте данные для двух экзогенных рядов, сгенерировав 30 наблюдений из стандартного 2-D Гауссова распределения.

rng(1) % For reproducibility
X = randn(30,2);

Сгенерируйте один случайный ответ и путь состояния, оба из длины 30, от DGP. Задайте моделируемые экзогенные данные для компонентов регрессии подмодели.

[Y,~,SP] = simulate(Mdl,30,'X',X);

Y является матрицей 30 на 2 одного пути симулированного отклика. SP является вектором 30 на 1 одного моделируемого пути состояния.

Вычисление вероятностей состояния

Вычислите вероятности сглаженного состояния из DGP с учетом симулированного отклика данных.

SS = smooth(Mdl,Y,'X',X);

SS является матрицей 30 на 2 сглаженных вероятностей состояния для каждого периода в горизонте симуляции.

Постройте график пути моделируемого состояния и вероятностей сглаженного состояния на подграфиках на том же рисунке.

figure
subplot(2,1,1)
plot(SP,'m')
yticks([1 2 3])
legend({'Simulated states'})
subplot(2,1,2)
plot(SS,'-')
legend({'Smoothed s1','Smoothed s2','Smoothed s3'})

Создайте частично заданную модель для оценки

Создайте частично заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения для оценки. Укажите подмодели AR (1).

P = NaN(2);
mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]);
mdl = arima(1,0,0);
Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);

Поскольку подмодели являются AR (1), каждому требуется одно предварительное наблюдение, чтобы инициализировать его динамический компонент для оценки .

Создайте полностью заданную модель, содержащую начальные значения

Создайте модель, содержащую начальные значения параметров для процедуры оценки.

mc0 = dtmc(0.5*ones(2),'StateNames',["Expansion" "Recession"]);
submdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1,'AR',0.001);
submdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1,'AR',0.001);
Mdl0 = msVAR(mc0,[submdl01; submdl02]);

Загрузка и предварительная обработка данных

Загрузите данные. Преобразуйте весь набор в годовую последовательность скоростей.

load Data_GDP
qrate = diff(Data)./Data(1:(end - 1)); 
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1);

Идентифицируйте предварительную выборку и оценку периодов дискретизации с помощью дат, связанных с годовым рядом ставок. Поскольку преобразование применяет первое различие, необходимо удалить первую дату наблюдения из исходной выборки.

dates = datetime(dates(2:end),'ConvertFrom','datenum',...
    'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');
estPrd = datetime(["1960:Q2" "2004:Q2"],'InputFormat','yyyy:QQQ',...
    'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');
idxEst = isbetween(dates,estPrd(1),estPrd(2));
idxPre = dates < estPrd(1); 

Оценка модели

Подбор модели к оценочным выборочным данным. Задайте предварительный образец наблюдения.

arate0 = arate(idxPre);
arateEst = arate(idxEst);
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,arateEst,'Y0',arate0);

EstMdl является полностью заданным msVAR объект.

Вычисление вероятностей сглаженного состояния

Вычислите вероятности сглаженного состояния из оценочной модели и данные в периоде оценки. Задайте предварительный образец наблюдения. Постройте график предполагаемых вероятностей спада.

SS = smooth(EstMdl,arateEst,'Y0',arate0);

figure;
plot(dates(idxEst),SS(:,2),'r')
title("Full-Sample Smoothed Probabilities and NBER Recessions")
recessionplot