Подгонка марковской динамической регрессионой модели к данным
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,Y)Mdl. estimate подходит для модели с данными отклика Y, и инициализирует процедуру оценки путем обработки значений параметров полностью заданной модели динамической регрессии переключения Маркова Mdl0 в качестве начальных значений. estimate использует версию алгоритма ожидания-максимизации (EM), описанную Гамильтоном [3].
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,Y,Name,Value)'IterationPlot',true отображает график логарифмической правдоподобности от шага итерации после завершения алгоритма.
Рассмотрим двухгосударственную марковскую динамическую регрессионую модель послевоенного реального темпа роста ВВП США, оцененную в [1].
Создайте частично заданную модель для оценки
Создайте модель динамической регрессии с переключением Маркова для наивного оценщика путем определения дискретной цепи Маркова двух состояний с неизвестной матрицей перехода и подмоделей AR (0) (только константа) для обоих режимов. Пометьте режимы.
P = NaN(2); mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]); mdl = arima(0,0,0); Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);
Mdl является частично заданным msVAR объект. NaN-значенные элементы Switch и SubModels свойства указывают на оцениваемые параметры.
Создайте полностью заданную модель, содержащую начальные значения
Процедура оценки требует начальных значений для всех оценочных параметров. Создайте полностью заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения, которая имеет ту же структуру, что и Mdl, но установите все оцениваемые параметры в начальные значения. Этот пример использует произвольные начальные значения.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0,'StateNames',Mdl.StateNames); mdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1); mdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02]);
Mdl0 является полностью заданным msVAR объект.
Загрузка и предварительная обработка данных
Загрузите набор данных ВВП США.
load Data_GDPData содержит ежеквартальные измерения реального ВВП США в период 1947: Q1-2005: Q2. Период оценки в [1] 1947:Q2-2004:Q2. Для получения дополнительной информации о наборе данных введите Description в командной строке.
Преобразуйте данные в годовую последовательность скоростей путем:
Преобразование данных в квартальный тариф в течение периода оценки
Ежегодный расчет ежеквартальных ставок
qrate = diff(Data(2:230))./Data(2:229); % Quarterly rate arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1); % Annualized rate
Оценка модели
Подбор модели Mdl к сериям годовых ставок arate. Задайте Mdl0 как модель, содержащая начальные оценочные значения параметров.
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,arate);
EstMdl является оценочной (полностью заданной) моделью динамической регрессии Маркова-переключения. EstMdl.Switch - расчетная модель дискретной цепи Маркова (dtmc объект), и EstMdl.Submodels является вектором предполагаемых одномерных VAR (0) моделей (varm объекты).
Отобразите предполагаемые динамические модели конкретного состояния.
EstMdlExp = EstMdl.Submodels(1)
EstMdlExp =
varm with properties:
Description: "ARIMA(0,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
SeriesNames: "Y1"
NumSeries: 1
P: 0
Constant: 4.90146
AR: {}
Trend: 0
Beta: [1×0 matrix]
Covariance: 12.087
1-Dimensional VAR(0) Model
EstMdlRec = EstMdl.Submodels(2)
EstMdlRec =
varm with properties:
Description: "ARIMA(0,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
SeriesNames: "Y1"
NumSeries: 1
P: 0
Constant: 0.0084884
AR: {}
Trend: 0
Beta: [1×0 matrix]
Covariance: 12.6876
1-Dimensional VAR(0) Model
Отобразите расчетную матрицу переходов.
EstP = EstMdl.Switch.P
EstP = 2×2
0.9088 0.0912
0.2303 0.7697
Рассмотрим модель и данные в Оценке Марковско-Переключательной Динамической Регрессионой Модели.
Создайте частично заданную модель для оценки.
P = NaN(2); mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]); mdl = arima(0,0,0); Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);
Создайте полностью заданную модель, содержащую начальные значения параметров для процедуры оценки.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0,'StateNames',Mdl.StateNames); mdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1); mdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02]);
Загрузка и предварительная обработка данных.
load Data_GDP
qrate = diff(Data(2:230))./Data(2:229);
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1); Подбор модели к данным. Постройте график логарифмической правдоподобности в зависимости от шага итерации, когда процедура оценки завершится.
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,arate,'IterationPlot',true);
Оцените точность оценки, используя моделируемые данные из известного процесса генерации данных (DGP). Этот пример использует произвольные значения параметров.
Создайте модель для DGP
Создайте полностью заданную модель дискретной цепи Маркова двух состояний для механизма переключения.
P = [0.7 0.3; 0.1 0.9]; mc = dtmc(P);
Для каждого состояния создайте полностью заданную модель AR (1) для процесса отклика.
% Constants C1 = 5; C2 = -2; % Autoregression coefficients AR1 = 0.4; AR2 = 0.2; % Variances V1 = 4; V2 = 2; % AR Submodels dgp1 = arima('Constant',C1,'AR',AR1,'Variance',V1); dgp2 = arima('Constant',C2,'AR',AR2,'Variance',V2);
Создайте полностью заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения для DGP.
DGP = msVAR(mc,[dgp1,dgp2]);
Моделирование путей отклика от DGP
Сгенерируйте 10 путей случайного отклика длиной 1000 от DGP.
rng(1); % For reproducibility N = 10; n = 1000; Data = simulate(DGP,n,'Numpaths',N);
Data является 1000 на 10 матрицей симулированных откликов.
Создайте модель для оценки
Создайте частично заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения, которая имеет ту же структуру, что и процесс генерации данных, но задает неизвестную матрицу перехода и неизвестные коэффициенты подкоэффициентов модели.
PEst = NaN(2); mcEst = dtmc(PEst); mdl = arima(1,0,0); Mdl = msVAR(mcEst,[mdl; mdl]);
Создайте модель, содержащую начальные значения
Создайте полностью заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения, которая имеет ту же структуру, что и Mdl, но установите все оцениваемые параметры в начальные значения.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0); mdl01 = arima('Constant',1,'AR',0.5,'Variance',2); mdl02 = arima('Constant',-1,'AR',0.5,'Variance',1); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01,mdl02]);
Оценка моделей
Подбор модели к каждому моделируемому пути. Для каждого пути постройте график логарифмической правдоподобности при каждой итерации алгоритма EM.
c1 = zeros(N,1); c2 = zeros(N,1); v1 = zeros(N,1); v2 = zeros(N,1); ar1 = zeros(N,1); ar2 = zeros(N,1); PStack = zeros(2,2,N); figure hold on for i = 1:N EstModel = estimate(Mdl,Mdl0,Data(:,i),'IterationPlot',true); c1(i) = EstModel.Submodels(1).Constant; c2(i) = EstModel.Submodels(2).Constant; v1(i) = EstModel.Submodels(1).Covariance; v2(i) = EstModel.Submodels(2).Covariance; ar1(i) = EstModel.Submodels(1).AR{1}; ar2(i) = EstModel.Submodels(2).AR{1}; PStack(:,:,i) = EstModel.Switch.P; end hold off
Оцените точность
Вычислите среднее значение Монте-Карло для каждого предполагаемого параметра.
c1Mean = mean(c1); c2Mean = mean(c2); v1Mean = mean(v1); v2Mean = mean(v2); ar1Mean = mean(ar1); ar2Mean = mean(ar2); PMean = mean(PStack,3);
Сравните параметры населения с соответствующими оценками Монте-Карло.
DGPvsEstimate = [...
C1 c1Mean
C2 c2Mean
V1 v1Mean
V2 v2Mean
AR1 ar1Mean
AR2 ar2Mean]DGPvsEstimate = 6×2
5.0000 5.0260
-2.0000 -1.9615
4.0000 3.9710
2.0000 1.9903
0.4000 0.4061
0.2000 0.2017
P
P = 2×2
0.7000 0.3000
0.1000 0.9000
PEstimate = PMean
PEstimate = 2×2
0.7065 0.2935
0.1023 0.8977
Рассмотрим данные в оценочной модели динамической регрессии Маркова-Переключения, но примите, что интересующий период 1960:Q1-2004:Q2. Кроме того, рассмотрите добавление авторегрессивного термина к каждой подмодели.
Создайте частично заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения для оценки. Укажите подмодели AR (1).
P = NaN(2); mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]); mdl = arima(1,0,0); Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);
Поскольку подмодели являются AR (1), каждому требуется одно предварительное наблюдение, чтобы инициализировать его динамический компонент для оценки .
Создайте модель, содержащую начальные значения параметров для процедуры оценки.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0,'StateNames',Mdl.StateNames); mdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1,'AR',0.001); mdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1,'AR',0.001); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02]);
Загрузите данные. Преобразуйте весь набор в годовую последовательность скоростей.
load Data_GDP
qrate = diff(Data)./Data(1:(end - 1));
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1);Идентифицируйте предварительную выборку и оценку периодов дискретизации с помощью дат, связанных с годовым рядом ставок. Поскольку преобразование применяет первое различие, необходимо удалить первую дату наблюдения из исходной выборки.
dates = datetime(dates(2:end),'ConvertFrom','datenum',... 'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US'); estPrd = datetime(["1960:Q2" "2004:Q2"],'InputFormat','yyyy:QQQ',... 'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US'); idxEst = isbetween(dates,estPrd(1),estPrd(2)); idxPre = dates < estPrd(1); % The presample is the previous quarter.
Подбор модели к оценочным выборочным данным. Задайте предварительный образец наблюдения и постройте график логарифмической правдоподобности при каждой итерации, когда процедура оценки завершится.
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,arate(idxEst),'Y0',arate(idxPre),... 'IterationPlot',true);
Рассмотрим модель и данные в Оценке Марковско-Переключательной Динамической Регрессионой Модели.
Создайте частично заданную модель для оценки.
P = NaN(2); mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]); mdl = arima(0,0,0); Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);
Создайте полностью заданную модель, содержащую начальные значения параметров для процедуры оценки.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0,'StateNames',Mdl.StateNames); mdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1); mdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02]);
Загрузка и предварительная обработка данных.
load Data_GDP
qrate = diff(Data(2:230))./Data(2:229);
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1); Подбор модели к данным. Верните ожидаемые вероятности сглаженного состояния и логарифмическую правдоподобность, когда алгоритм остановится.
[EstMdl,SS,logL] = estimate(Mdl,Mdl0,arate);
SS - 228 на 2 матрица ожидаемых вероятностей сглаженного состояния; строки соответствуют периодам в выборке оценки, а столбцы соответствуют режимам. logL - конечная логарифмическая правдоподобность.
Отобразите ожидаемые вероятности сглаженного состояния для последнего периода в выборке оценки и отобразите окончательную логарифмическую правдоподобность.
SS(end,:)
ans = 1×2
0.8985 0.1015
logL
logL = -639.4962
Подгонка моделируемых данных к модели динамической регрессии с переключением Маркова с подмоделями VARX. Задайте ограничения равенства для оценки. Этот пример использует произвольные значения параметров.
Создайте модель для DGP
Создайте полностью заданную модель дискретной цепи Маркова трех состояний для механизма переключения.
P = [0.8 0.1 0.1; 0.2 0.6 0.2; 0 0.1 0.9]; mc = dtmc(P);
Для каждого состояния создайте полностью заданную модель VARX (1) для процесса отклика. Задайте ту же константу модели и матрицу коэффициентов AR задержки 1 для всех подмоделей. Для каждой модели задайте другой коэффициент регрессии 2 на 1 для одной экзогенной переменной.
% Constants C = [1;-1]; % Autoregression coefficients AR = {[0.6 0.1; 0.4 0.2]}; % Regression coefficients Beta1 = [0.2;-0.4]; Beta2 = [0.6;-1.0]; Beta3 = [0.9;-1.3]; % VAR Submodels dgp = varm('Constant',C,'AR',AR,'Covariance',5*eye(2)); dgp1 = dgp; dgp1.Beta = Beta1; dgp2 = dgp; dgp2.Beta = Beta2; dgp3 = dgp; dgp3.Beta = Beta3;
Создайте полностью заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения для DGP.
DGP = msVAR(mc,[dgp1; dgp2; dgp3]);
Моделирование данных из DGP
Симулируйте данные для экзогенного ряда путем генерации 1000 наблюдений из Гауссова распределения со средним 0 и отклонением 100.
rng(1); % For reproducibility
X = 10*randn(1000,1);Сгенерируйте путь случайного отклика длиной 1000 от DGP. Задайте моделируемые экзогенные данные для компонентов регрессии подмодели.
Data = simulate(DGP,1000,'X',X);Data является вектором 1000 на 1 симулированных откликах.
Создайте модель для оценки
Создайте частично заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения, которая имеет ту же структуру, что и процесс генерации данных, но задает неизвестную матрицу перехода и неизвестные коэффициенты регрессии. Задайте истинные значения констант и матриц коэффициентов AR.
PEst = NaN(3); mcEst = dtmc(PEst); mdl = varm(2,1); mdl.Constant = C; mdl.AR = AR; mdl.Beta = NaN(2,1); Mdl = msVAR(mcEst,[mdl; mdl; mdl]);
Потому что значения констант и матриц коэффициентов заданы в Mdl, estimate рассматривает их как ограничения равенства для оценки.
Создайте модель, содержащую начальные значения
Создайте полностью заданную модель динамической регрессии Маркова-переключения, которая имеет ту же структуру, что и Mdl, но установите все оцениваемые параметры в начальные значения и установите параметры с ограничениями равенствами в их значения, указанные в Mdl.
P0 = (1/3)*ones(3); mc0 = dtmc(P0); mdl0 = varm('Constant',C,'AR',AR,'Covariance',eye(2)); mdl01 = mdl0; mdl01.Beta = [0.1;-0.1]; mdl02 = mdl0; mdl02.Beta = [0.5;-0.5]; mdl03 = mdl0; mdl03.Beta = [1;-1]; Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02; mdl03]);
Оценка модели
Подбор модели к моделируемым данным. Задайте экзогенные данные для регрессионного компонента. Постройте график логарифмической правдоподобности при каждой итерации алгоритма EM.
figure EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,Data,'X',X,'IterationPlot',true);
Оцените точность
Сравните предполагаемые векторы коэффициента регрессии и матрицу перехода с их истинными значениями.
Beta1
Beta1 = 2×1
0.2000
-0.4000
Beta1Estimate = EstMdl.Submodels(1).Beta
Beta1Estimate = 2×1
0.1596
-0.4040
Beta2
Beta2 = 2×1
0.6000
-1.0000
Beta2Estimate = EstMdl.Submodels(2).Beta
Beta2Estimate = 2×1
0.5888
-0.9771
Beta3
Beta3 = 2×1
0.9000
-1.3000
Beta3Estimate = EstMdl.Submodels(3).Beta
Beta3Estimate = 2×1
0.8987
-1.2991
P
P = 3×3
0.8000 0.1000 0.1000
0.2000 0.6000 0.2000
0 0.1000 0.9000
PEstimate = EstMdl.Switch.P
PEstimate = 3×3
0.7787 0.0856 0.1357
0.1366 0.6906 0.1727
0.0086 0.0787 0.9127
В [4] Гамильтон предостерегает: «Хотя у исследователя может возникнуть соблазн использовать наиболее общую возможную спецификацию, со всеми параметрами, изменяющимися в большом количестве режимов... на практике это обычно запрашивает больше, чем могут предоставить данные». Гамильтон рекомендует моделировать парсимонию и выборочную оценку, чтобы «ограничить особое внимание несколькими наиболее важными параметрами, которые, вероятно, изменятся».
Процессы генерации данных с низкими отклонениями могут привести к трудностям в выводе состояния и последующей оценке параметра. В таких случаях рассмотрите масштабирование данных. Отклонение масштабируется квадратично.
estimate реализует версию алгоритма EM, описанную в [2], [3] и [4]. Учитывая начальную оценку параметров модели Mdl0, estimate итерация следующего процесса до сходимости:
Шаг ожидания - estimate применяется smooth к данным для получения выводов о вероятностях скрытого состояния на каждом временном шаге и оценке общей логарифмической правдоподобности данных.
Шаг максимизации - estimate использует ожидаемые сглаженные вероятности от шага ожидания, чтобы взвесить данные перед обновлением оценок параметров в каждой подмодели.
Поверхности вероятности для плотностей смеси моделей переключения могут содержать локальные максимумы и особенности [2]. Если это так, самый большой локальный максимум с ненулевым отклонением модели рассматривается как максимальная оценка правдоподобия (MLE). Если Mdl0 находится по соседству с MLE, estimate обычно сходится к нему, но это сходимость не гарантируется.
estimate обрабатывает два типа ограничений:
Ограничения на параметры подпараметров модели, которые estimate функция объекта varm объект принудительно применяется на каждом шаге максимизации
Ограничения на вероятности перехода, которые estimate enforces путем проецирования максимальной оценки матрицы перехода на ограниченное пространство параметров после каждой итерации
Ограничения на отклонения и ковариации инноваций подмоделей не поддерживаются. estimate вычисляет ковариации инноваций после оценки, независимо от их значений.
[1] Шове, М. и Дж. Д. Гамильтон. «Поворотные точки делового цикла знакомств». В нелинейном анализе бизнес-циклов (вклад в экономический анализ, том 276). (C. Milas, P. Rothman, and D. van Dijk, eds.). Амстердам: Emerald Group Publishing Limited, 2006.
[2] Гамильтон, Дж. Д. «Анализ временных рядов, подверженных изменениям в режиме». Журнал эконометрики. Том 45, 1990, стр. 39-70.
[3] Гамильтон, Джеймс Д. Анализ временных рядов. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.
[4] Гамильтон, Дж. Д. Макроэкономические режимы и сдвиги режима. В Справочнике по макроэкономике. (H. Uhlig and J. Taylor, eds.). Амстердам: Elsevier, 2016.
[5] Kole, E. «Mode Switching Моделей: An Example for a Stock Market Index». Роттердам, NL: Эконометрический институт, Школа экономики Эразма, 2010.