Сезонные фильтры

Что такое сезонный фильтр?

Можно использовать сезонный фильтр (скользящее среднее значение), чтобы оценить сезонный компонент временных рядов. Например, сезонные средние значения играют большую роль в X-11-ARIMA программе сезонной корректировки Статистического управления Канады [1] и X-12-ARIMA программе сезонной корректировки Бюро переписи населения США [2].

Для наблюдений, сделанных в течение периода k, k = 1,..., s (где s - известная периодичность сезонности), сезонным фильтром является свертка весов и наблюдений, сделанных в прошлые и будущие периоды k. Для примера, заданных ежемесячных данных (s = 12), сглаженное январское наблюдение является симметричным, взвешенным средним значением данных января.

В целом для _xt временных рядов t = 1,..., N, сезонно сглаженное наблюдение в момент времени k + js, j = 1,..., N/ s - 1, есть

{\tilde{s}}_{k + j s} = \sum_{l = - r}^{r} a_{l} x_{k + (j + l) s},

(1)

с весами

a_{l}

таким, что

\sum_{l = - r}^{r} a_{l} = 1.

Двумя наиболее часто используемыми сезонными фильтрами являются стабильный сезонный фильтр и _{Sn × m} сезонный фильтр.

Стабильный сезонный фильтр

Используйте стабильный сезонный фильтр, если сезонный уровень не меняется с течением времени, или если у вас есть короткие временные ряды (до 5 лет).

Позвольте _nk быть общее количество наблюдений, сделанных в период k. Стабильный сезонный фильтр дается

${\tilde{s}}_{k} = \frac{1}{n_{k}} \sum_{j = 1}^{(N / s) - 1} x_{k + j s},$

для k = 1,..., s и ${\tilde{s}}_{k} = {\tilde{s}}_{k - s}$ для k > s.

Определить $\bar{s} = (1 / s) \sum_{k = 1}^{s} {\tilde{s}}_{k} .$ Для идентификации из компонента тренда,

Использовать ${\hat{s}}_{k} = {\tilde{s}}_{k} - \bar{s}$ чтобы оценить сезонный компонент для модели разложения аддитива (то есть ограничьте компонент колебаться около нуля).
Использовать ${\hat{s}}_{k} = {\tilde{s}}_{k} / \bar{s}$ чтобы оценить сезонный компонент для модели мультипликативного разложения (то есть ограничьте компонент колебаться вокруг одного).

S _{n × m} сезонный фильтр

Чтобы применить _{Sn × m} сезонный фильтр, примите симметричное n -term скользящее среднее m -term средних значений. Это эквивалентно принятию симметричного, неравновзвешенного скользящего среднего значения с n + m - 1 терминами (то есть использование $r = (n + m - 1) / 2$ в уравнении 1).

Фильтр S ₃ × 3 имеет пять членов с весами

$(1 / 9, 2 / 9, 1 / 3, 2 / 9, 1 / 9) .$

Для иллюстрации предположим, что у вас есть ежемесячные данные за 10 лет. Позвольте _Janyy обозначить значение, наблюдаемое в январе, 20 yy. Значение _{S 3} 3 × для января 2005 года

$\hat{J} a n_{05} = \frac{1}{3} [\frac{1}{3} (J a n_{03} + J a n_{04} + J a n_{05}) + \frac{1}{3} (J a n_{04} + J a n_{05} + J a n_{06}) + \frac{1}{3} (J a n_{05} + J a n_{06} + J a n_{07})] .$

Точно так S фильтр ₃ × 5 имеет семь членов с весами

$(1 / 15, 2 / 15, 1 / 5, 1 / 5, 1 / 5, 2 / 15, 1 / 15) .$

При использовании симметричного фильтра наблюдения теряются в начале и конце ряда. Можно применить асимметричные веса в концах ряда, чтобы предотвратить потерю наблюдения.

Чтобы центрировать сезонную оценку, задайте скользящее среднее значение для сезонно фильтрованного ряда, ${\bar{s}}_{t} = \sum_{j = - q}^{q} b_{j} {\tilde{s}}_{t + j} .$ Разумный выбор для весов $b_{j} = 1 / 4 q$ для j = ± q и $b_{j} = 1 / 2 q$ в противном случае. Здесь q = 2 для квартальных данных (5-срочное среднее значение) или q = 6 для ежемесячных данных (13-срочное среднее значение).

Для идентификации из компонента тренда,

Использовать ${\hat{s}}_{t} = {\tilde{s}}_{t} - {\bar{s}}_{t}$ оценить сезонный компонент аддитивной модели (то есть ограничить компонент колебания приблизительно около нуля).
Использовать ${\hat{s}}_{t} = {\tilde{s}}_{t} / {\bar{s}}_{t}$ чтобы оценить сезонный компонент мультипликативной модели (то есть ограничьте компонент колебаться приблизительно вокруг одного).

Ссылки

[1] Дагум, Е. Б. X-11-ARIMA метод сезонной регулировки. Число 12-564E. Статистическое управление Канады, Оттава, 1980 год.

[2] Findley, D. F., B. C. Монселл, У. Р. Белл, М. К. Отто и Б.-К. Чен. Новые возможности и методы X-12-ARIMA программы сезонной корректировки. Журнал деловой и экономической статистики. Том 16, № 2, 1998, стр. 127-152.

Документация