Документация

Создайте модель

Задайте модель AR (2)

где инновационный процесс является Гауссовым с отклонением 0,1.

Mdl = arima('Constant',0.5,'AR',{0.7 0.25},'Variance',.1);

Сгенерируйте один пример пути

Сгенерируйте один путь выборки (с 50 наблюдениями) из заданной модели и постройте график.

rng(5)
Y = simulate(Mdl,50);

figure
plot(Y)
xlim([0,50])
title('Simulated AR(2) Process')

Поскольку предварительный образец данных не был задан, simulate устанавливает два требуемых наблюдения presample равными безусловному среднему значению процесса

Безусловное отклонение процесса

Вычислите безусловное среднее значение и отклонение процесса.

c = Mdl.Constant;
phi = Mdl.AR;
sigmaEps2 = Mdl.Variance;
mu = c/(1-phi{1}-phi{2})

mu = 10.0000

sigma2 = (1-phi{2})/(1+phi{2})*sigmaEps2/((1-phi{2})^2 - phi{1}^2)

sigma2 = 0.8276

Сгенерируйте много путей к образцам

Сгенерируйте 1000 путей выборки, каждый с 50 наблюдениями.

Y = simulate(Mdl,50,'NumPaths',1000);

figure
subplot(2,1,1)
plot(Y,'Color',[.85,.85,.85])
title('Simulated AR(2) Process')
hold on
h = plot(mean(Y,2),'k','LineWidth',2);
legend(h,'Simulation Mean','Location','NorthWest')
hold off
subplot(2,1,2)
plot(var(Y,0,2),'r','LineWidth',2)
title('Process Variance')
hold on
plot(1:50,sigma2*ones(50,1),'k--','LineWidth',1.5)
legend('Simulation','Theoretical',...
       'Location','SouthEast')
hold off

Среднее значение симуляции является постоянным с течением времени. Это согласуется с определением стационарного процесса. Однако отклонение процесса не является постоянной с течением времени. В начале симуляции существуют переходные эффекты из-за отсутствия предварительных образцов данных.

Вокруг наблюдения 50 моделируемое отклонение приближается к теоретическому отклонению.

Сверхвыборка для уменьшения переходных эффектов

Чтобы уменьшить переходные эффекты, один из опций - переопределить процесс. Для примера для выборки 50 наблюдений можно сгенерировать пути с более чем 50 наблюдениями и отбросить все, кроме последних 50 наблюдений, как горение. Здесь моделируйте пути длины 150 и отбрасывайте первые 100 наблюдений.

Y = simulate(Mdl,150,'NumPaths',1000);
Y = Y(101:end,:);

figure
subplot(2,1,1)
plot(Y,'Color',[.85,.85,.85])
title('Simulated AR(2) Process')
hold on
h = plot(mean(Y,2),'k','LineWidth',2);
legend(h,'Simulation Mean','Location','NorthWest')
hold off
subplot(2,1,2)
plot(var(Y,0,2),'r','LineWidth',2)
xlim([0,50])
title('Process Variance')
hold on
plot(1:50,sigma2*ones(50,1),'k--','LineWidth',1.5)
legend('Simulation','Theoretical',...
       'Location','SouthEast')
hold off

Теперь реализации выглядят как извлечения из стационарного стохастического процесса. Отклонение симуляции колеблется (из-за ошибки Монте-Карло) вокруг теоретического отклонения.

Создайте модель

Задайте модель MA (12)

где инновационное распределение является Гауссовым с отклонением 0,2.

Mdl = arima('Constant',0.5,'MA',{0.8,0.2},...
    'MALags',[1,12],'Variance',0.2);

Сгенерируйте пути к образцам

Сгенерируйте 200 путей расчета, каждый с 60 наблюдениями.

rng(5)
Y = simulate(Mdl,60,'NumPaths',200);

figure
plot(Y,'Color',[.85,.85,.85])
hold on
h = plot(mean(Y,2),'k','LineWidth',2);
legend(h,'Simulation Mean','Location','NorthWest')
title('MA(12) Process')
hold off

Для процесса MA постоянный термин является безусловным средним значением. Среднее значение симуляции приблизительно $\mathit{c}$ = 0.5.

Построение графика Отклонения

Безусловное отклонение процесса

Вычислите безусловное отклонение.

theta = cell2mat(Mdl.MA);
sigmaEps2 = Mdl.Variance;
sigma2 = (1+sum(theta.^2))*sigmaEps2

sigma2 = 0.3360

Поскольку модель является стационарной, безусловное отклонение должна быть постоянной во все времена. Постройте график отклонения симуляции и сравните его с теоретической дисперсией.

figure
plot(var(Y,0,2),'Color',[.75,.75,.75],'LineWidth',1.5)
xlim([0,60])
title('Unconditional Variance')
hold on
plot(1:60,sigma2*ones(60,1),'k--','LineWidth',2)
legend('Simulation','Theoretical',...
       'Location','SouthEast')
hold off

В начале симуляции, по-видимому, был короткий период горения. За это время отклонение симуляции ниже ожидаемой. После этого отклонение симуляции колеблется вокруг теоретического отклонения.

Сгенерируйте много путей к образцам

Симулируйте 10 000 путей от модели, каждый с длиной 1000. Постройте график отклонения симуляции.

YM = simulate(Mdl,1000,'NumPaths',10000);
figure
plot(var(YM,0,2),'Color',[.75,.75,.75],'LineWidth',1.5)
ylim([0.3,0.36])
title('Unconditional Variance')
hold on
plot(1:1000,sigma2*ones(1000,1),'k--','LineWidth',2)
legend('Simulation','Theoretical',...
       'Location','SouthEast')
hold off

Ошибка Монте-Карло уменьшается, когда генерируется больше реализаций. В отклонении симуляции гораздо меньше изменчивости, которая сильно колеблется вокруг теоретического отклонения.