Класс: ssm
Прогнозные состояния и наблюдения моделей пространства состояний
[ возвращает прогнозируемые наблюдения (Y,YMSE]
= forecast(Mdl,numPeriods,Y0)Y) и их соответствующие отклонения (YMSE) из прогноза модели пространства состояний Mdl использование numPeriods прогнозные и выборочные наблюдения Y0.
[ использует дополнительные опции, заданные одним или несколькими Y,YMSE]
= forecast(Mdl,numPeriods,Y0,Name,Value)Name,Value аргументы в виде пар. Для примера, для моделей пространства состояний, которые включают линейный регрессионый компонент в модель наблюдения, включают данные предиктора в выборке, данные предиктора для прогнозируемого горизонта и коэффициент регрессии.
Предположим, что латентный процесс является AR (1). Уравнение состояния
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 1.
Сгенерируйте случайную серию из 100 наблюдений , принимая, что серия начинается с 1,5.
T = 100; ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1); x0 = 1.5; rng(1); % For reproducibility x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);
Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной ошибке измерения. Уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,75. Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний.
Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = x + 0.75*randn(T,1);
Задайте четыре матрицы коэффициентов.
A = 0.5; B = 1; C = 1; D = 0.75;
Задайте модель пространства состояний, используя матрицы коэффициентов.
Mdl = ssm(A,B,C,D)
Mdl =
State-space model type: ssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 1.33
State types
x1
Stationary
Mdl является ssm модель. Проверьте, что модель правильно задана, используя отображение в Командном окне. Программное обеспечение делает вывод, что процесс состояния является стационарным. Впоследствии программное обеспечение устанавливает среднее значение начального состояния и ковариацию в среднее значение и отклонение стационарного распределения модели AR (1).
Спрогнозируйте наблюдения на 10 периодов в будущем и оцените их отклонения.
numPeriods = 10; [ForecastedY,YMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,y);
Постройте график прогнозов с откликами в выборке и 95% интервалами прогноза типа Wald.
ForecastIntervals(:,1) = ForecastedY - 1.96*sqrt(YMSE); ForecastIntervals(:,2) = ForecastedY + 1.96*sqrt(YMSE); figure plot(T-20:T,y(T-20:T),'-k',T+1:T+numPeriods,ForecastedY,'-.r',... T+1:T+numPeriods,ForecastIntervals,'-.b',... T:T+1,[y(end)*ones(3,1),[ForecastedY(1);ForecastIntervals(1,:)']],':k',... 'LineWidth',2) hold on title({'Observed Responses and Their Forecasts'}) xlabel('Period') ylabel('Responses') legend({'Observations','Forecasted observations','95% forecast intervals'},... 'Location','Best') hold off
Предположим, что интерес представляет линейная связь между изменением уровня безработицы и номинальным темпом роста валового национального продукта (ННП). Предположим далее, что первым различием уровня безработицы является серия ARMA (1,1). Символически, и в форме пространство состояний, модель является
где:
- изменение уровня безработицы в момент t.
является фиктивным состоянием для эффекта MA (1).
наблюдаемое изменение уровня безработицы отклоняется темпами роста nGNP ().
- Гауссов ряд нарушений порядка состояния, имеющих среднее 0 и стандартное отклонение 1.
- гауссов ряд инноваций наблюдений, имеющих среднее 0 и стандартное отклонение .
Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит, среди прочего, уровень безработицы и серию nGNP.
load Data_NelsonPlosserПредварительно обработайте данные, взяв естественный логарифм серии nGNP и первое различие каждой серии. Также удалите стартовую NaN значения из каждой серии.
isNaN = any(ismissing(DataTable),2); % Flag periods containing NaNs gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN); u = DataTable.UR(~isNaN); T = size(gnpn,1); % Sample size Z = [ones(T-1,1) diff(log(gnpn))]; y = diff(u);
Хотя этот пример удаляет отсутствующие значения, программное обеспечение может включать серии, содержащие отсутствующие значения в среде фильтра Калмана.
Чтобы определить, насколько хорошо модель прогнозирует наблюдения, удалите последние 10 наблюдений для сравнения.
numPeriods = 10; % Forecast horizon isY = y(1:end-numPeriods); % In-sample observations oosY = y(end-numPeriods+1:end); % Out-of-sample observations ISZ = Z(1:end-numPeriods,:); % In-sample predictors OOSZ = Z(end-numPeriods+1:end,:); % Out-of-sample predictors
Задайте матрицы коэффициентов.
A = [NaN NaN; 0 0]; B = [1; 1]; C = [1 0]; D = NaN;
Задайте модель пространства состояний используя ssm.
Mdl = ssm(A,B,C,D);
Оцените параметры модели и используйте случайный набор начальных значений параметров для оптимизации. Задайте регрессионный компонент и его начальное значение для оптимизации с помощью 'Predictors' и 'Beta0' Аргументы пары "имя-значение", соответственно. Ограничьте оценку ко всем положительным, вещественным числам. Для числовой устойчивости задайте Гессиана, когда программное обеспечение вычисляет ковариационную матрицу параметра, используя 'CovMethod' аргумент пары "имя-значение".
params0 = [0.3 0.2 0.1]; % Chosen arbitrarily [EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,isY,params0,'Predictors',ISZ,... 'Beta0',[0.1 0.2],'lb',[-Inf,-Inf,0,-Inf,-Inf],'CovMethod','hessian');
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Sample size: 51
Logarithmic likelihood: -87.2409
Akaike info criterion: 184.482
Bayesian info criterion: 194.141
| Coeff Std Err t Stat Prob
----------------------------------------------------------
c(1) | -0.31780 0.19429 -1.63572 0.10190
c(2) | 1.21242 0.48882 2.48031 0.01313
c(3) | 0.45583 0.63930 0.71301 0.47584
y <- z(1) | 1.32407 0.26313 5.03201 0
y <- z(2) | -24.48733 1.90115 -12.88024 0
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | -0.38117 0.42842 -0.88971 0.37363
x(2) | 0.23402 0.66222 0.35339 0.72380
EstMdl является ssm модель, и вы можете получить доступ к ее свойствам с помощью записи через точку.
Прогнозные наблюдения за прогнозным горизонтом. EstMdl не хранит набор данных, поэтому необходимо передать его в соответствующих аргументах пары "имя-значение".
[fY,yMSE] = forecast(EstMdl,numPeriods,isY,'Predictors0',ISZ,... 'PredictorsF',OOSZ,'Beta',estParams(end-1:end));
fY вектор 10 на 1, содержащий прогнозируемые наблюдения и yMSE вектор 10 на 1, содержащий отклонения прогнозируемых наблюдений.
Получите 95% интервалы прогноза типа Wald. Постройте график прогнозируемых наблюдений с их истинными значениями и интервалами прогноза.
ForecastIntervals(:,1) = fY - 1.96*sqrt(yMSE); ForecastIntervals(:,2) = fY + 1.96*sqrt(yMSE); figure h = plot(dates(end-numPeriods-9:end-numPeriods),isY(end-9:end),'-k',... dates(end-numPeriods+1:end),oosY,'-k',... dates(end-numPeriods+1:end),fY,'--r',... dates(end-numPeriods+1:end),ForecastIntervals,':b',... dates(end-numPeriods:end-numPeriods+1),... [isY(end)*ones(3,1),[oosY(1);ForecastIntervals(1,:)']],':k',... 'LineWidth',2); xlabel('Period') ylabel('Change in the unemployment rate') legend(h([1,3,4]),{'Observations','Forecasted responses',... '95% forecast intervals'}) title('Observed and Forecasted Changes in the Unemployment Rate')
Эта модель, по-видимому, хорошо прогнозирует изменения уровня безработицы.
Предположим, что латентный процесс является AR (1). Уравнение состояния
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 1.
Сгенерируйте случайную серию из 100 наблюдений , принимая, что серия начинается с 1,5.
T = 100; ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1); x0 = 1.5; rng(1); % For reproducibility x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);
Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной ошибке измерения. Уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,75. Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний.
Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = x + 0.75*randn(T,1);
Задайте четыре матрицы коэффициентов.
A = 0.5; B = 1; C = 1; D = 0.75;
Задайте модель пространства состояний, используя матрицы коэффициентов.
Mdl = ssm(A,B,C,D);
Mdl является ssm модель.
Спрогнозируйте состояния на 10 периодов в будущее и оцените их отклонения.
numPeriods = 10; [~,~,ForecastedX,XMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,y);
Постройте график прогнозов с сглаженными состояниями и 95% интервалами прогноза типа Wald.
smoothX = smooth(Mdl,y); ForecastIntervals(:,1) = ForecastedX - 1.96*sqrt(XMSE); ForecastIntervals(:,2) = ForecastedX + 1.96*sqrt(XMSE); figure plot(T-20:T,smoothX(T-20:T),'-k',T+1:T+numPeriods,ForecastedX,'-.r',... T+1:T+numPeriods,ForecastIntervals,'-.b',... T:T+1,[smoothX(end)*ones(3,1),[ForecastedX(1);ForecastIntervals(1,:)']],... ':k','LineWidth',2) hold on title({'Smoothed and Forecasted States'}) xlabel('Period') ylabel('States') legend({'Smoothed states','Forecasted states','95% forecast intervals'},... 'Location','Best') hold off
Mdl не сохраняет данные отклика, данные предиктора и коэффициенты регрессии. Поставляйте их при необходимости с помощью соответствующих входов или аргументов пары "имя-значение".
Фильтр Калмана принимает отсутствующие данные, не обновляя фильтрованные оценки состояния, соответствующие отсутствующим наблюдениям. Другими словами, предположим, что в период t отсутствует наблюдение. Затем прогноз состояния для t периода на основе предыдущих наблюдений t-1 и отфильтрованного состояния для t периода эквивалентны.
[1] Дурбин Дж., и С. Дж. Копман. Анализ временных рядов по методам пространства состояний. 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2012.
estimate | filter | smooth | ssm