Класс: ssm
Обратная рекурсия моделей пространства состояний
X = smooth(Mdl,Y)X) выполнением обратной рекурсии полностью заданной модели пространства состояний Mdl. То есть smooth применяет стандартный фильтр Калмана, используя Mdl и наблюдаемые ответы Y.
X = smooth(Mdl,Y,Name,Value)Name,Value аргументы в виде пар.
Если Mdl не полностью задан, тогда необходимо задать неизвестные параметры в известные скаляры с помощью Params Name,Value аргумент в виде пары.
[ использует любой из входных параметров в предыдущих синтаксисах, чтобы дополнительно вернуть значение логарифмической правдоподобности (X,logL,Output]
= smooth(___)logL) и массив структуры output (Output) содержащие:
Сглаженные состояния и их предполагаемая ковариационная матрица
Сглаженные нарушения порядка состояния и их предполагаемая ковариационная матрица
Сглаженные инновации наблюдений и их предполагаемая ковариационная матрица
Значение логарифмической правдоподобности
Скорректированный коэффициент усиления Калмана
И вектор, указывающий, какие данные использовало программное обеспечение для фильтрации
Предположим, что латентный процесс является AR (1). Уравнение состояния
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,5.
Сгенерируйте случайную серию из 100 наблюдений , принимая, что серия начинается с 1,5.
T = 100; ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',0.5^2); x0 = 1.5; rng(1); % For reproducibility x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);
Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной ошибке измерения. Уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,05. Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний.
Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = x + 0.05*randn(T,1);
Задайте четыре матрицы коэффициентов.
A = 0.5; B = 0.5; C = 1; D = 0.05;
Задайте модель пространства состояний, используя матрицы коэффициентов.
Mdl = ssm(A,B,C,D)
Mdl =
State-space model type: ssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + (0.50)u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.05)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 0.33
State types
x1
Stationary
Mdl является ssm модель. Проверьте, что модель правильно задана, используя отображение в Командном окне. Программное обеспечение делает вывод, что процесс состояния является стационарным. Впоследствии программное обеспечение устанавливает среднее значение начального состояния и ковариацию в среднее значение и отклонение стационарного распределения модели AR (1).
Сглаживайте состояния для периодов с 1 по 100. Постройте график значений истинного состояния и сглаженных состояний.
SmoothedX = smooth(Mdl,y); figure plot(1:T,x,'-k',1:T,SmoothedX,':r','LineWidth',2) title({'State Values'}) xlabel('Period') ylabel('State') legend({'True state values','Smoothed state values'})
Предположим, что интерес представляет линейная связь между изменением уровня безработицы и номинальным темпом роста валового национального продукта (ННП). Предположим далее, что первым различием уровня безработицы является серия ARMA (1,1). Символически, и в форме пространство состояний, модель является
где:
- изменение уровня безработицы в момент t.
является фиктивным состоянием для эффекта MA (1).
- наблюдаемый уровень безработицы, отклоняемый темпами роста nGNP ().
- Гауссов ряд нарушений порядка состояния, имеющих среднее 0 и стандартное отклонение 1.
- гауссов ряд инноваций наблюдений, имеющих среднее 0 и стандартное отклонение .
Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит, среди прочего, уровень безработицы и серию nGNP.
load Data_NelsonPlosserПредварительно обработайте данные, взяв естественный логарифм серии nGNP и первое различие каждой серии. Также удалите стартовую NaN значения из каждой серии.
isNaN = any(ismissing(DataTable),2); % Flag periods containing NaNs gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN); u = DataTable.UR(~isNaN); T = size(gnpn,1); % Sample size Z = [ones(T-1,1) diff(log(gnpn))]; y = diff(u);
Хотя этот пример удаляет отсутствующие значения, программное обеспечение может включать серии, содержащие отсутствующие значения в среде фильтра Калмана.
Задайте матрицы коэффициентов.
A = [NaN NaN; 0 0]; B = [1; 1]; C = [1 0]; D = NaN;
Задайте модель пространства состояний используя ssm.
Mdl = ssm(A,B,C,D);
Оцените параметры модели. Задайте регрессионный компонент и его начальное значение для оптимизации с помощью 'Predictors' и 'Beta0' Аргументы пары "имя-значение", соответственно. Ограничьте оценку ко всем положительным, вещественным числам.
params0 = [0.3 0.2 0.2]; % Chosen arbitrarily [EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,... 'Beta0',[0.1 0.2],'lb',[-Inf,-Inf,0,-Inf,-Inf]);
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Sample size: 61
Logarithmic likelihood: -99.7245
Akaike info criterion: 209.449
Bayesian info criterion: 220.003
| Coeff Std Err t Stat Prob
----------------------------------------------------------
c(1) | -0.34098 0.29608 -1.15164 0.24948
c(2) | 1.05003 0.41377 2.53771 0.01116
c(3) | 0.48592 0.36790 1.32079 0.18657
y <- z(1) | 1.36121 0.22338 6.09358 0
y <- z(2) | -24.46711 1.60018 -15.29024 0
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | 1.01264 0.44690 2.26592 0.02346
x(2) | 0.77718 0.58917 1.31912 0.18713
EstMdl является ssm модель, и вы можете получить доступ к ее свойствам с помощью записи через точку.
Сглаживайте состояния. EstMdl не хранит данные или коэффициенты регрессии, поэтому вы должны пройти в них с помощью аргументов пары "имя-значение" 'Predictors' и 'Beta', соответственно. Постройте график сглаженных состояний. Напомним, что первое состояние - это изменение уровня безработицы, а второе государство помогает строить первое.
SmoothedX = smooth(EstMdl,y,'Predictors',Z,'Beta',estParams(end-1:end)); figure plot(dates(end-(T-1)+1:end),SmoothedX(:,1)); xlabel('Period') ylabel('Change in the unemployment rate') title('Smoothed Change in the Unemployment Rate')
Mdl не сохраняет данные отклика, данные предиктора и коэффициенты регрессии. Поставляйте данные по мере необходимости с помощью соответствующих входов или аргументов пары "имя-значение".
Чтобы ускорить оценку для маломерных, инвариантных по времени моделей, задайте 'Univariate',true. Используя эту спецификацию, программное обеспечение последовательно обновляется, а не обновляется все сразу в процессе фильтрации.
Фильтр Калмана принимает отсутствующие данные, не обновляя фильтрованные оценки состояния, соответствующие отсутствующим наблюдениям. Другими словами, предположим, что в период t отсутствует наблюдение. Затем прогноз состояния для t периода на основе предыдущих наблюдений t-1 и отфильтрованного состояния для t периода эквивалентны.
Для явно определенных моделей пространства состояний, smooth применяет все предикторы к каждой серии откликов. Однако каждая серия откликов имеет свой собственный набор коэффициентов регрессии.
[1] Дурбин Дж., и С. Дж. Копман. Анализ временных рядов по методам пространства состояний. 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2012.