smooth
Класс: ssm
Обратная рекурсия моделей пространства состояний
Описание
X = smooth(Mdl,Y)X) выполнением обратной рекурсии полностью заданной модели пространства состояний Mdl. То есть smooth применяет стандартный фильтр Калмана, используя Mdl и наблюдаемые ответы Y.
X = smooth(Mdl,Y,Name,Value)Name,Value аргументы в виде пар.
Если Mdl не полностью задан, тогда необходимо задать неизвестные параметры в известные скаляры с помощью Params Name,Value аргумент в виде пары.
[ использует любой из входных параметров в предыдущих синтаксисах, чтобы дополнительно вернуть значение логарифмической правдоподобности (X,logL,Output]
= smooth(___)logL) и массив структуры output (Output) содержащие:
Сглаженные состояния и их предполагаемая ковариационная матрица
Сглаженные нарушения порядка состояния и их предполагаемая ковариационная матрица
Сглаженные инновации наблюдений и их предполагаемая ковариационная матрица
Значение логарифмической правдоподобности
Скорректированный коэффициент усиления Калмана
И вектор, указывающий, какие данные использовало программное обеспечение для фильтрации
Входные параметры
Выходные аргументы
Примеры
Сглаживание состояний инвариантной по времени модели пространства состояний
Предположим, что латентный процесс является AR (1). Уравнение состояния
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,5.
Сгенерируйте случайную серию из 100 наблюдений , принимая, что серия начинается с 1,5.
T = 100; ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',0.5^2); x0 = 1.5; rng(1); % For reproducibility x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);
Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной ошибке измерения. Уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,05. Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний.
Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = x + 0.05*randn(T,1);
Задайте четыре матрицы коэффициентов.
A = 0.5; B = 0.5; C = 1; D = 0.05;
Задайте модель пространства состояний, используя матрицы коэффициентов.
Mdl = ssm(A,B,C,D)
Mdl =
State-space model type: ssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + (0.50)u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.05)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 0.33
State types
x1
Stationary
Mdl является ssm модель. Проверьте, что модель правильно задана, используя отображение в Командном окне. Программное обеспечение делает вывод, что процесс состояния является стационарным. Впоследствии программное обеспечение устанавливает среднее значение начального состояния и ковариацию в среднее значение и отклонение стационарного распределения модели AR (1).
Сглаживайте состояния для периодов с 1 по 100. Постройте график значений истинного состояния и сглаженных состояний.
SmoothedX = smooth(Mdl,y); figure plot(1:T,x,'-k',1:T,SmoothedX,':r','LineWidth',2) title({'State Values'}) xlabel('Period') ylabel('State') legend({'True state values','Smoothed state values'})
Сглаживайте состояния модели пространства состояний, содержащей регрессионый компонент
Предположим, что интерес представляет линейная связь между изменением уровня безработицы и номинальным темпом роста валового национального продукта (ННП). Предположим далее, что первым различием уровня безработицы является серия ARMA (1,1). Символически, и в форме пространство состояний, модель является
где:
- изменение уровня безработицы в момент t.
является фиктивным состоянием для эффекта MA (1).
- наблюдаемый уровень безработицы, отклоняемый темпами роста nGNP ().
- Гауссов ряд нарушений порядка состояния, имеющих среднее 0 и стандартное отклонение 1.
- гауссов ряд инноваций наблюдений, имеющих среднее 0 и стандартное отклонение .
Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит, среди прочего, уровень безработицы и серию nGNP.
load Data_NelsonPlosserПредварительно обработайте данные, взяв естественный логарифм серии nGNP и первое различие каждой серии. Также удалите стартовую NaN значения из каждой серии.
isNaN = any(ismissing(DataTable),2); % Flag periods containing NaNs gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN); u = DataTable.UR(~isNaN); T = size(gnpn,1); % Sample size Z = [ones(T-1,1) diff(log(gnpn))]; y = diff(u);
Хотя этот пример удаляет отсутствующие значения, программное обеспечение может включать серии, содержащие отсутствующие значения в среде фильтра Калмана.
Задайте матрицы коэффициентов.
A = [NaN NaN; 0 0]; B = [1; 1]; C = [1 0]; D = NaN;
Задайте модель пространства состояний используя ssm.
Mdl = ssm(A,B,C,D);
Оцените параметры модели. Задайте регрессионный компонент и его начальное значение для оптимизации с помощью 'Predictors' и 'Beta0' Аргументы пары "имя-значение", соответственно. Ограничьте оценку ко всем положительным, вещественным числам.
params0 = [0.3 0.2 0.2]; % Chosen arbitrarily [EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,... 'Beta0',[0.1 0.2],'lb',[-Inf,-Inf,0,-Inf,-Inf]);
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Sample size: 61
Logarithmic likelihood: -99.7245
Akaike info criterion: 209.449
Bayesian info criterion: 220.003
| Coeff Std Err t Stat Prob
----------------------------------------------------------
c(1) | -0.34098 0.29608 -1.15164 0.24948
c(2) | 1.05003 0.41377 2.53771 0.01116
c(3) | 0.48592 0.36790 1.32079 0.18657
y <- z(1) | 1.36121 0.22338 6.09358 0
y <- z(2) | -24.46711 1.60018 -15.29024 0
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | 1.01264 0.44690 2.26592 0.02346
x(2) | 0.77718 0.58917 1.31912 0.18713
EstMdl является ssm модель, и вы можете получить доступ к ее свойствам с помощью записи через точку.
Сглаживайте состояния. EstMdl не хранит данные или коэффициенты регрессии, поэтому вы должны пройти в них с помощью аргументов пары "имя-значение" 'Predictors' и 'Beta', соответственно. Постройте график сглаженных состояний. Напомним, что первое состояние - это изменение уровня безработицы, а второе государство помогает строить первое.
SmoothedX = smooth(EstMdl,y,'Predictors',Z,'Beta',estParams(end-1:end)); figure plot(dates(end-(T-1)+1:end),SmoothedX(:,1)); xlabel('Period') ylabel('Change in the unemployment rate') title('Smoothed Change in the Unemployment Rate')
Совет
Mdlне сохраняет данные отклика, данные предиктора и коэффициенты регрессии. Поставляйте данные по мере необходимости с помощью соответствующих входов или аргументов пары "имя-значение".Чтобы ускорить оценку для маломерных, инвариантных по времени моделей, задайте
'Univariate',true. Используя эту спецификацию, программное обеспечение последовательно обновляется, а не обновляется все сразу в процессе фильтрации.
Алгоритмы
Фильтр Калмана принимает отсутствующие данные, не обновляя фильтрованные оценки состояния, соответствующие отсутствующим наблюдениям. Другими словами, предположим, что в период t отсутствует наблюдение. Затем прогноз состояния для t периода на основе предыдущих наблюдений t-1 и отфильтрованного состояния для t периода эквивалентны.
Для явно определенных моделей пространства состояний,
smoothприменяет все предикторы к каждой серии откликов. Однако каждая серия откликов имеет свой собственный набор коэффициентов регрессии.
Ссылки
[1] Дурбин Дж., и С. Дж. Копман. Анализ временных рядов по методам пространства состояний. 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2012.