Шаг 1. Задайте модель GARCH.

Задайте модель GARCH (1,1)$${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t,$$ где распределение $$z_t$$ является Гауссовым и

Mdl = garch('Constant',0.01,'GARCH',0.7,'ARCH',0.25)

Mdl = 
  garch with properties:

     Description: "GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               Q: 1
        Constant: 0.01
           GARCH: {0.7} at lag [1]
            ARCH: {0.25} at lag [1]
          Offset: 0

Шаг 2. Симулируйте из модели, не используя предварительный образец данных.

Симулируйте пять путей длины 100 из модели GARCH (1,1), не задавая никаких предварительных примеров инноваций или условных отклонений. Отобразите первое условное отклонение для каждого из пяти путей расчета. Моделируемая модель не имеет среднего смещения, поэтому серия откликов является рядом инноваций .

rng default; % For reproducibility
[Vn,Yn] = simulate(Mdl,100,'NumPaths',5);

Vn(1,:) % Display variances

ans = 1×5

    0.1645    0.3182    0.4051    0.1872    0.1551

figure
subplot(2,1,1)
plot(Vn)
xlim([0,100])
title('Conditional Variances')

subplot(2,1,2)
plot(Yn)
xlim([0,100])
title('Innovations')

Начальные условные отклонения различаются для каждой реализации, потому что никакие данные предварительного образца не были заданы.

Шаг 3. Симулируйте из модели с помощью предварительного образца данных.

Симулируйте пять путей длины 100 от модели, задавая один из необходимых предварительных образцов инноваций и условного отклонения. Отобразите первое условное отклонение для каждого из пяти путей расчета.

rng default;
[Vw,Yw] = simulate(Mdl,100,'NumPaths',5,...
    'E0',0.05,'V0',0.001);
 
Vw(1,:)

ans = 1×5

    0.0113    0.0113    0.0113    0.0113    0.0113

 
figure
subplot(2,1,1)
plot(Vw)
xlim([0,100])
title('Conditional Variances')
 
subplot(2,1,2)
plot(Yw)
xlim([0,100])
title('Innovations')

Все пять путей расчета имеют одинаковое начальное условное отклонение, вычисленную с помощью предварительных данных.

Обратите внимание, что даже при том же начальном отклонении реализации инновационной серии имеют различные начальные точки. Это потому, что каждый $${\epsilon }_1$$ является случайным рисунком из Гауссова распределения со средним 0 и отклонением $${\sigma }_1=0.0113$$.

Шаг 4. Посмотрите на безусловные отклонения.

Симулируйте 10 000 путей расчета длины 500 из указанной модели GARCH. Постройте график выборки безусловных отклонений симуляций Монте-Карло и сравните их с теоретическим безусловным отклонением,

sig2 = 0.01/(1-0.7-0.25);

rng default;
[V,Y] = simulate(Mdl,500,'NumPaths',10000);

figure
plot(var(Y,0,2),'Color',[.7,.7,.7],'LineWidth',1.5)
xlim([0,500])
hold on
plot(1:500,ones(500,1)*sig2,'k--','LineWidth',2)
legend('Simulated','Theoretical','Location','NorthWest')
title('Unconditional Variance')
hold off

Моделируемые безусловные отклонения колеблются вокруг теоретического безусловного отклонения.