Найти точки в наборе Парето
x = paretosearch(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x, так что x всегда находится в области значений lb ≤ x ≤ ub. Если линейных равенств не существует, задайте Aeq = [] и beq = []. Если x(i) не имеет нижней границы, установите lb(i) = -Inf. Если x(i) не имеет верхней границы, установите ub(i) = Inf.
x = paretosearch(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)c(x) определено в nonlcon. The paretosearch функция находит недоминированные точки, такие что c(x) ≤ 0. Если никаких границ не существует, задайте lb = [], ub = [], или и то, и другое.
Примечание
В настоящее время, paretosearch не поддерживает нелинейные ограничения равенства ceq(x) = 0.
Найти точки на фронте Парето двухцелевой функции двумерной переменной.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте график решения как график поля точек.
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
Теоретически решением этой задачи является прямая линия от [-2,-1] на [1,2]. paretosearch возвращает равномерно расположенные точки рядом с этой линией.
Создайте фронт Парето для двухцелевой задачи в двух размерностях, удовлетворяющих линейному ограничению x(1) + x(2) <= 1.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; A = [1,1]; b = 1; rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2,A,b);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте график решения как график поля точек.
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
Теоретически решением этой задачи является прямая линия от [-2,-1] на [0,1]. paretosearch возвращает равномерно расположенные точки рядом с этой линией.
Создайте фронт Парето для двухцелевой задачи в двух размерностях, удовлетворяющих границам x(1) >= 0 и x(2) <= 1.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [0,-Inf]; % x(1) >= 0 ub = [Inf,1]; % x(2) <= 1 rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте график решения как график поля точек.
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
Все точки решения находятся на границах ограничений x(1) = 0 или x(2) = 1.
Создайте фронт Парето для двухцелевой задачи в двух размерностях, удовлетворяющих границам -1.1 <= x(i) <= 1.1 и нелинейное ограничение norm(x)^2 <= 1.2. Нелинейная функция ограничения появляется в конце этого примера и работает, если запустить этот пример как live скрипт. Чтобы запустить этот пример в противном случае, включите нелинейную функцию ограничения в качестве файла в пути MATLAB ®.
Чтобы лучше увидеть эффект нелинейного ограничения, установите опции, чтобы использовать большой размер набора Парето.
rng default % For reproducibility fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-1.1,-1.1]; ub = [1.1,1.1]; options = optimoptions('paretosearch','ParetoSetSize',200); x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,@circlecons,options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте график решения как график поля точек. Включите график круговой границы ограничений.
figure plot(x(:,1),x(:,2),'k*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)') hold on rectangle('Position',[-1.2 -1.2 2.4 2.4],'Curvature',1,'EdgeColor','r') xlim([-1.2,0.5]) ylim([-0.5,1.2]) axis square hold off
Точки решения, которые имеют положительную x(1) значения или отрицательные x(2) значения близки к границе нелинейных ограничений.
function [c,ceq] = circlecons(x) ceq = []; c = norm(x)^2 - 1.2; end
Следить за прогрессом paretosearch, задайте 'psplotparetof' постройте график функции.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; options = optimoptions('paretosearch','PlotFcn','psplotparetof'); lb = [-4,-4]; ub = -lb; x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Решение выглядит как четвертичная дуга с радиусом 18, которая может быть показана как аналитическое решение.
Получите фронт Парето в пространстве функций и пространстве параметров путем вызова paretosearch с обоими x и fval выходы. Установите опции, чтобы построить график набора Парето в пространстве функций и пространстве параметров.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-4,-4]; ub = -lb; options = optimoptions('paretosearch','PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'}); rng default % For reproducibility [x,fval] = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Аналитическое решение в пространстве целевых функций является четвертичной дугой радиуса 18. В пространстве параметров аналитическим решением является прямая линия от [-2,-1] на [1,2]. Точки решения близки к аналитическим кривым.
Установите опции, чтобы контролировать процесс установки решения Парето. Кроме того, получите больше выходов от paretosearch чтобы позволить вам понять процесс решения.
options = optimoptions('paretosearch','Display','iter',... 'PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'}); fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-4,-4]; ub = -lb; rng default % For reproducibility [x,fval,exitflag,output] = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Iter F-count NumSolutions Spread Volume 0 60 11 - 3.7872e+02 1 386 12 - 3.4654e+02 2 702 27 9.4324e-01 2.9452e+02 3 1029 27 - 2.9904e+02 4 1357 40 0.0000e+00 3.0154e+02 5 1697 60 1.4903e-01 3.0369e+02 6 1841 60 1.4515e-01 3.0439e+02 7 1961 60 1.7716e-01 3.0465e+02 8 2075 60 1.6123e-01 3.0475e+02 9 2189 60 1.7419e-01 3.0449e+02 Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Исследуйте дополнительные выходы.
fprintf('Exit flag %d.\n',exitflag)Exit flag 1.
disp(output)
iterations: 10
funccount: 2189
volume: 304.4256
averagedistance: 0.0215
spread: 0.1742
maxconstraint: 0
message: 'Pareto set found that satisfies the constraints. ...'
rngstate: [1x1 struct]
Получите и исследуйте невязки ограничений спереди Парето. Создайте задачу с линейным ограничением неравенства sum(x) <= -1/2 и нелинейное ограничение неравенства norm(x)^2 <= 1.2. Для повышения точности используйте 200 точек на фронте Парето и ParetoSetChangeTolerance от 1e-7, и дайте естественные границы -1.2 <= x(i) <= 1.2.
Нелинейная функция ограничения появляется в конце этого примера и работает, если запустить этот пример как live скрипт. Чтобы запустить этот пример в противном случае, включите нелинейную функцию ограничения в качестве файла в пути MATLAB ®.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; A = [1,1]; b = -1/2; lb = [-1.2,-1.2]; ub = -lb; nonlcon = @circlecons; rng default % For reproducibility options = optimoptions('paretosearch','ParetoSetChangeTolerance',1e-7,... 'PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'},'ParetoSetSize',200);
Функции paretosearch использование всех выходов.
[x,fval,exitflag,output,residuals] = paretosearch(fun,2,A,b,[],[],lb,ub,nonlcon,options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Ограничения неравенства уменьшают размер набора Парето по сравнению с без ограничений набором. Осмотрите возвращённые невязки.
fprintf('The maximum linear inequality constraint residual is %f.\n',max(residuals.ineqlin))The maximum linear inequality constraint residual is 0.000000.
fprintf('The maximum nonlinear inequality constraint residual is %f.\n',max(residuals.ineqnonlin))The maximum nonlinear inequality constraint residual is -0.002619.
Максимально возвращенные невязки отрицательны, что означает, что все возвращенные точки допустимы. Максимально возвращенные невязки близки к нулю, что означает, что каждое ограничение активно для некоторых точек.
function [c,ceq] = circlecons(x) ceq = []; c = norm(x)^2 - 1.2; end
paretosearch использует поиск шаблона для поиска точек на фронте Парето. Для получения дополнительной информации смотрите Алгоритм Паретозарха.
Задача Optimize Live Editor обеспечивает визуальный интерфейс для paretosearch.