Документация

Разложение по собственному значению

Собственное значение и собственный вектор квадратной матричной A являются, соответственно, скалярным λ и ненулевым векторным υ, которые удовлетворяют

С собственными значениями на диагонали диагональной матрицы, и соответствующими собственными векторами, образующими столбцы матрицы V, вы имеете

Если V несингулярна, это становится собственным значением разложения

Хорошим примером является матрица коэффициентов дифференциального уравнения dx/ dt = A x:

A =
     0    -6    -1
     6     2   -16
    -5    20   -10

Решение этого уравнения выражено в терминах матричного экспоненциального x (t) = e^tAx (0). Оператор

lambda = eig(A)

создает вектор-столбец, содержащую собственные значения A. Для этой матрицы собственные значения являются комплексными:

lambda =
     -3.0710         
     -2.4645+17.6008i
     -2.4645-17.6008i

Реальная часть каждого из собственных значений отрицательна, так что e^λt приближается к нулю, когда t увеличивается. Ненулевая мнимая часть двух собственных значений, ± ω, способствует колебательному компоненту, sin (ω t), в решение дифференциального уравнения.

С двумя выходными аргументами, eig вычисляет собственные векторы и сохраняет собственные значения в диагональной матрице:

[V,D] = eig(A)

V =
  -0.8326         0.2003 - 0.1394i   0.2003 + 0.1394i
  -0.3553        -0.2110 - 0.6447i  -0.2110 + 0.6447i
  -0.4248        -0.6930            -0.6930          

D =
  -3.0710                 0                 0         
        0           -2.4645+17.6008i        0         
        0                 0           -2.4645-17.6008i

Первый собственный вектор действителен, а два других вектора являются комплексными сопряжениями друг друга. Все три вектора нормированы, чтобы иметь евклидову длину, norm(v,2), равный единице.

Матрица V*D*inv(V), который может быть написан более кратко как V*D/V, находится в пределах округлой ошибки A. И, inv(V)*A*V, или V\A*V, находится в пределах округлой ошибки D.

Несколько собственных значений

Некоторые матрицы не имеют собственного векторного разложения. Эти матрицы не являются диагонализируемыми. Для примера:

A = [ 1    -2    1 
      0     1    4 
      0     0    3 ]

Для этой матрицы

[V,D] = eig(A)

производит

V =

    1.0000    1.0000   -0.5571
         0    0.0000    0.7428
         0         0    0.3714


D =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     3

Существует двойное собственное значение при λ = 1. Первый и второй столбцы V те же самые. Для этой матрицы полного множества линейно независимых собственных векторов не существует.

Разложение Шура

Многие расширенные матричные расчеты не требуют собственного разложения собственных значений. Они основаны, вместо этого, на разложении Шура

где U - ортогональная матрица, и S блок верхне-треугольная матрица с 1 на 1 и блоки 2 на 2 на диагонали. Собственные значения раскрываются диагональными элементами и блоками S, в то время как столбцы U обеспечивают ортогональный базис, который имеет намного лучшие числовые свойства, чем набор собственных векторов.

Для примера сравните собственное значение и разложение Шура этой дефектной матрицы:

A = [ 6    12    19 
     -9   -20   -33 
      4     9    15 ];

[V,D] = eig(A)

V =

  -0.4741 + 0.0000i  -0.4082 - 0.0000i  -0.4082 + 0.0000i
   0.8127 + 0.0000i   0.8165 + 0.0000i   0.8165 + 0.0000i
  -0.3386 + 0.0000i  -0.4082 + 0.0000i  -0.4082 - 0.0000i


D =

  -1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   1.0000 - 0.0000i

[U,S] = schur(A)

U =

   -0.4741    0.6648    0.5774
    0.8127    0.0782    0.5774
   -0.3386   -0.7430    0.5774


S =

   -1.0000   20.7846  -44.6948
         0    1.0000   -0.6096
         0    0.0000    1.0000

Матрица A дефектен, поскольку не имеет полного набора линейно независимых собственных векторов (второй и третий столбцы V те же). Поскольку не все столбцы V являются линейно независимыми, он имеет большое число обусловленности около ~ 1e8. Однако, schur способен вычислить три различных базиса векторов в U. Начиная с U ортогонально, cond(U) = 1.

Матрица S имеет действительное собственное значение в качестве первой записи на диагонали и повторное собственное значение, представленное нижним правым блоком 2 на 2. Собственные значения блока 2 на 2 также являются собственными значениями A:

eig(S(2:3,2:3))

ans =

   1.0000 + 0.0000i
   1.0000 - 0.0000i