Документация

Создание матриц

MATLAB имеет много функций, которые создают различные виды матриц. Для примера можно создать симметричную матрицу с записями, основанными на треугольнике Паскаля:

A = pascal(3)

A =
       1     1     1
       1     2     3
       1     3     6

Или можно создать несимметричную магическую квадратную матрицу, которая имеет равные суммы строк и столбцов:

B = magic(3)

B =
       8     1     6
       3     5     7
       4     9     2

Другой пример является прямоугольной матрицей 3 на 2 случайных целых чисел. В этом случае первый вход в randi описывает область значений возможных значений для целых чисел, а вторые два входов описывают количество строк и столбцов.

C = randi(10,3,2)

C =

     9    10
    10     7
     2     1

Вектор-столбец является матрицей m -by-1, вектор-строка является матрицей 1-by- n, а скаляром является матрица 1 на 1. Чтобы задать матрицу вручную, используйте квадратные скобки [ ] для обозначения начала и конца массива. В скобках используйте точку с запятой ; для обозначения конца строки. В случае скаляра (матрица 1 на 1) скобки не требуются. Для примера эти утверждения создают вектор-столбец, вектор-строку и скаляр:

u = [3; 1; 4]

v = [2 0 -1]

s = 7

u =
       3
       1
       4

v =
       2     0    -1

s =
       7

Для получения дополнительной информации о создании и работе с матрицами смотрите Создание , конкатенация и расширение матрицы.

Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц и массивов выполняется поэлементно или поэлементно. Для примера, добавления A на B а затем вычитание A из результата восстанавливается B:

X = A + B

X =
       9     2     7
       4     7    10
       5    12     8

Y = X - A

Y =
       8     1     6
       3     5     7
       4     9     2

Сложение и вычитание требуют, чтобы обе матрицы имели совместимые размерности. Если размерности несовместимы, возникает ошибка:

X = A + C

Error using  + 
Matrix dimensions must agree.

Для получения дополнительной информации смотрите Array vs. Матричные операции.

Векторные продукты и транспонирование

Векторы-строки и вектор-столбец одинаковой длины могут быть умножены в любом порядке. Результатом является либо скаляр, называемый скалярным произведением, либо матрица, называемая векторным произведением:

u = [3; 1; 4];
v = [2 0 -1];
x = v*u

x =

     2

X = u*v

X =

     6     0    -3
     2     0    -1
     8     0    -4

Для реальных матриц, перемещать <reservedrangesplaceholder6> <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> обменов операции и <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1>. Для сложных матриц другим фактором является то, принимать ли комплексный сопряженный комплексных элементов в массиве, чтобы сформировать комплексное сопряженное транспонирование. MATLAB использует оператор апострофа (') для выполнения комплексного сопряженного транспонирования и оператора «точка-апостроф» (.') транспонировать без сопряжения. Для матриц, содержащих все действительные элементы, два оператора возвращают один и тот же результат.

Матрица примеров A = pascal(3) симметрично, так A' равно A. Однако B = magic(3) не симметрична, поэтому B' имеет элементы, отраженные по основной диагонали:

B = magic(3)

B =

     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

X = B'

X =

     8     3     4
     1     5     9
     6     7     2

Для векторов транспозиция превращает вектор-строку в вектор-столбец (и наоборот):

x = v'

x =
       2
       0
      -1

Если x и y оба являются реальными векторами-столбцами, затем продуктом x*y не определен, но два продуктов

x'*y

и

y'*x

получите тот же скалярный результат. Это количество используется так часто, что у него есть три разных имен: скалярное произведение, скалярный продукт или скалярный продукт. Существует даже специальная функция для точечных продуктов с именем dot.

Для комплексного вектора или матрицы, z, количество z' не только транспонирует вектор или матрицу, но и преобразует каждый комплексный элемент в его комплексный сопряженный. То есть изменяется знак мнимой части каждого сложного элемента. Для примера рассмотрим комплексную матрицу

z = [1+2i 7-3i 3+4i; 6-2i 9i 4+7i]

z =

   1.0000 + 2.0000i   7.0000 - 3.0000i   3.0000 + 4.0000i
   6.0000 - 2.0000i   0.0000 + 9.0000i   4.0000 + 7.0000i

Область комплексного сопряженного транспонирования z является:

z'

ans =

   1.0000 - 2.0000i   6.0000 + 2.0000i
   7.0000 + 3.0000i   0.0000 - 9.0000i
   3.0000 - 4.0000i   4.0000 - 7.0000i

Неконъюгированная комплексная транспозиция, где комплексная часть каждого элемента сохраняет свой знак, обозначается z.':

z.'

ans =

   1.0000 + 2.0000i   6.0000 - 2.0000i
   7.0000 - 3.0000i   0.0000 + 9.0000i
   3.0000 + 4.0000i   4.0000 + 7.0000i

Для комплексных векторов два скалярных продукты x'*y и y'*x являются комплексными сопряженными друг с другом и скалярным продуктом x'*x комплексного вектора с самим собой реально.

Умножение матриц

Умножение матриц определяется способом, который отражает состав базовых линейных преобразований и позволяет компактно представлять системы одновременных линейных уравнений. Матричный продукт C = AB определяется, когда размерность столбца A равна размерности строки B, или когда один из них является скаляром. Если A m -by- p и B p -by- n, то их C продукта m -by- n. Продукт может быть фактически определен с помощью MATLABfor циклы, colon запись и векторные точечные продукты:

A = pascal(3);
B = magic(3);
m = 3; 
n = 3;
for i = 1:m
     for j = 1:n
        C(i,j) = A(i,:)*B(:,j);
     end
end

MATLAB использует звездочку, чтобы обозначить матричное умножение, как в C = A*B. Умножение матриц не коммутативно; то есть A*B обычно не равно B*A:

X = A*B

X =
      15    15    15
      26    38    26
      41    70    39

Y = B*A

Y =
      15    28    47
      15    34    60
      15    28    43

Матрица может быть умножена справа на вектор-столбец, а слева на вектор-строку:

u = [3; 1; 4];
x = A*u

x =

     8
    17
    30

v = [2 0 -1];
y = v*B

y =

    12    -7    10

Прямоугольные матричные умножения должны удовлетворять условиям совместимости размерностей. Начиная с A 3 на 3 и C 3 на 2, можно умножить их, чтобы получить результат 3 на 2 (общая внутренняя размерность отменяет):

X = A*C

X =

    24    17
    47    42
    79    77

Однако умножение не работает в обратном порядке:

Y = C*A

Error using  * 
Incorrect dimensions for matrix multiplication. Check that the number of columns 
in the first matrix matches the number of rows in the second matrix. To perform 
elementwise multiplication, use '.*'.

Можно умножить все что угодно скаляром:

s = 10;
w = s*y

w =

   120   -70   100

Когда вы умножаете массив на скаляр, скаляр неявно расширяется так, чтобы быть таким же размером, как и другой вход. Это часто упоминается как скалярное расширение.

Единичная матрица

Общепринятая математическая запись использует I заглавных букв для обозначения единичных матриц, матриц различных размеров с таковыми на основной диагонали и нулями в другом месте. Эти матрицы имеют свойство, которое A I = A и I A = A всякий раз, когда размерности совместимы.

Исходная версия MATLAB не могла использовать I для этой цели, потому что она не различала заглавные и строчные буквы и i уже служила нижним индексом и сложным модулем. Так был введен английский язык каламбура. Функция

eye(m,n)

возвращает m -by n прямоугольную единичную матрицу и eye(n) возвращает n -by n квадратную единичную матрицу.

Обратная матрица

Если матрица A квадратное и неисключительный (отличный от нуля определяющий), тогда у уравнений <reservedrangesplaceholder7> <reservedrangesplaceholder6> = I и <reservedrangesplaceholder4> <reservedrangesplaceholder3> = I есть то же решение X. Это решение называется обратной A и обозначается A^-1. inv функцию и выражение A^-1 оба вычисляют обратную матрицу.

A = pascal(3)

A =
       1     1     1
       1     2     3
       1     3     6

X = inv(A)

X =

    3.0000   -3.0000    1.0000
   -3.0000    5.0000   -2.0000
    1.0000   -2.0000    1.0000

A*X

ans =

    1.0000         0         0
    0.0000    1.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000    1.0000

Определяющий, рассчитанный det является мерой масштабирующего коэффициента линейного преобразования, описываемого матрицей. Когда определяющий в точности равен нулю, матрица сингулярна и обратной не существует.

d = det(A)

d =

     1

Некоторые матрицы почти сингулярны, и, несмотря на то, что обратная матрица существует, вычисление восприимчиво к числовым ошибкам. cond функция вычисляет число обусловленности для инверсии, что дает указание на точность результатов от инверсии матрицы. Значение числа обусловленности областей значений от 1 для численно стабильной матрицы, чтобы Inf для сингулярной матрицы.

c = cond(A)

c =

   61.9839

Редко необходимо сформировать явную обратную матрицу. Частое неправильное использование inv возникает при решении системы линейных уравнений A x = b. Лучший способ решить это уравнение с точки зрения как времени выполнения, так и числовой точности - использовать матричный оператор обратной косой черты x = A\b. Посмотрите mldivide для получения дополнительной информации.

Тензор Кронекера

Продукт Kronecker, kron(X,Y), из двух матриц является большой матрицей, образованной из всех возможных продуктов элементов X с таковыми у Y. Если X m -by - n и Y p -by - q, тогда kron(X,Y) mp -by - nq. Элементы расположены так, что каждый элемент X умножается на целую матрицу Y:

[X(1,1)*Y  X(1,2)*Y  . . .  X(1,n)*Y
                     . . .
 X(m,1)*Y  X(m,2)*Y  . . .  X(m,n)*Y]

Продукт Кронекера часто используется с матрицами нулей и таковых, чтобы создать повторные копии малых матриц. Для примера, если X - матрица 2 на 2

X = [1   2
     3   4]

и I = eye(2,2) является единичной матрицей 2 на 2, тогда:

kron(X,I)

ans =

     1     0     2     0
     0     1     0     2
     3     0     4     0
     0     3     0     4

и

kron(I,X)

ans =

     1     2     0     0
     3     4     0     0
     0     0     1     2
     0     0     3     4

В стороне от kron, некоторые другие функции, которые полезны для репликации массивов repmat, repelem, и blkdiag.

Векторные и матричные нормы

p -norm векторного x,

вычисляется по norm(x,p). Эта операция определяется для любого значения p > 1, но наиболее распространенными значениями p являются 1, 2 и ∞. Значение по умолчанию p = 2, что соответствует Евклидовой длине или векторной величине:

v = [2 0 -1];
[norm(v,1) norm(v) norm(v,inf)]

ans =

    3.0000    2.2361    2.0000

p -norm матричной A,

можно вычислить для p = 1, 2 и ∞ по norm(A,p). Снова, значение по умолчанию p = 2:

A = pascal(3);
[norm(A,1) norm(A) norm(A,inf)]

ans =

   10.0000    7.8730   10.0000

В случаях, когда необходимо вычислить норму каждой строки или столбца матрицы, можно использовать vecnorm:

vecnorm(A)

ans =

    1.7321    3.7417    6.7823

Использование многопоточных расчетов с линейными алгебраическими функциями

MATLAB поддерживает многопоточные расчеты для ряда линейных алгебр и поэлементных числовых функций. Эти функции автоматически выполняются в нескольких потоках. Чтобы функция или выражение выполнялись быстрее на нескольких центральных процессорах, ряд условий должен быть true:

Матрица умножает (X*Y) и матричная степень (X^p) операторы показывают значительное увеличение скорости на больших массивах двойной точности (порядка 10 000 элементов). Функции матричного анализа det, rcond, hess, и expm также показывают значительное увеличение скорости на больших массивах двойной точности.