A = gallery('binomial',n) возвращает n-by- n матрица с целочисленными значениями, такими что A^2 = 2^(n-1)*eye(n).

Матрица B = A*2^((1-n)/2) является инволюторным (матрица, которая является ее собственной обратной).

A = gallery('cauchy',x,y) возвращает n-by- n матрица с записями A(i,j) = 1/(x(i)+y(j)). Аргументы x и y являются векторами длины n. Если вы проходите в скалярах для x и y, они интерпретируются как векторы 1:x и 1:y.

A = gallery('cauchy',x) возвращает то же, что и выше, с y = x. Другими словами, A(i,j) = 1/(x(i)+x(j)).

Явные формулы известны для обратной и определяющей матрицы Коши.

Определяющий det(C) ненулевое, если x и y оба имеют отдельные элементы.

C полностью положительно, если 0 < x(1) < ... < x(n) и 0 < y(1) < ... < y(n).

A = gallery('chebspec',n,k) возвращает матрицу спектральной дифференцировки Чебышева размера n-by- n. Аргументы в k, который может взять значение 0 (по умолчанию) или 1, определяет символ выходной матрицы.

Для k = 0 (без граничных условий), A является nilpotent, что означает, что существует положительное целое число c таким образом A^c = 0. Матрица A имеет вектор null ones(n,1).

Для k = 1, A является несингулярным и хорошо обусловленным, и его собственные значения имеют отрицательные реальные части.

Для k = 0, матрица A аналогичен матрице Жордана размера n с собственным значением нуль. Две матрицы A и B называются аналогичными, если существует инвертируемая матрица P того же размера, такого что B = inv(P)*A*P.

Для обоих k, собственная векторная матрица матрицы спектральной дифференцировки Чебышёва плохо обусловлена.

A = gallery('chebvand',x) производит основную матрицу Чебышева Вандермонде на основе вектора точек x, который определяет, где вычисляется полином Чебышева. Аргументы в x является вектором длины nи размер A является n-by- n. Записи A являются A(i, j) = <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> _{– 1} (x(j)), где T _{i - 1} - Полином Чебышева первого рода степеней i – 1. Если x является скаляром, тогда x равномерно разнесенные точки на интервале [0,1] используются для вычисления A.

A = gallery('chebvand',m,x) создает прямоугольный вариант вышеописанного с m строки, где m является скаляром.

A = gallery('chow',n,alpha,delta) возвращает матрицу Чау порядка <reservedrangesplaceholder0>, который является n-by- n нижняя Матрица Хессенберга. Матрица A определяется как

где элементы матрицы H α _H α (i, j) = α^{(i – j + 1)} для (i - j + 1) ≥ 0, δ является коэффициентом, а I является n-by- n единичная матрица.

A = gallery('chow',n) использует значения по умолчанию 1 и 0 для alpha и delta, соответственно.

H α имеет p = floor(n/2) собственных значений, которые равны нулю. Остальные собственные значения равны 4*alpha*cos(k*pi/(n+2))^2, где k = 1:(n-p).

A = gallery('circul',v) возвращает n-by- n циркулянтная матрица, чья первая строка является вектором v длины n. Циркулянтная матрица является особым видом матрицы Теплица, где каждая строка получается из предыдущей путем циклического перемещения записей на одно место вправо. Если v является скаляром, тогда A = gallery('circul',1:v).

Собственная система A известен явно. Если t является nпервый корень единства, затем скалярное произведение v и w = [1 t t^2 ... t^(n – 1)] является собственным значением A и w(n:-1:1) является собственным вектором.

A = gallery('clement',n,k) возвращает n-by- n тридиагональная матрица с нулями на основной диагонали. Для k = 0 (по умолчанию), A является несимметричным. Для k = 1, A симметрично.

A = gallery('clement',n,1) по диагонали аналогичен B = gallery('clement',n,0), где существует диагональная матрица D того же размера, что и B = inv(D)*A*D.

Если n нечетно, тогда A является сингулярной матрицей.

Собственные значения A явно известны, которые включают в себя плюс и минус числа n-1, n-3, n-5, ..., 1 или 0.

Два предыдущих свойства также относятся к gallery('tridiag',x,y,z), где y = zeros(n,1). Если длина входного вектора y или n нечетно, тогда gallery('tridiag',x,y,z) сингулярно. Собственные значения по-прежнему приходят в плюс и минус парах, но они явным образом неизвестны.

Для нечетных n = 2*m+1 и k = 0, gallery('clement',n,0) имеет m+1 сингулярные значения, которые равны sqrt((2*m+1)^2 - (2*t+1).^2) для t = 0:m.

A = gallery('compar',B,k) возвращает матрицу сравнения B.

Для k = 0 (по умолчанию), A(i,j) = abs(B(i,j)) если i == j и A(i,j) = -abs(B(i,j)) в противном случае.

Для k = 1, A = gallery('compar',B,1) заменяет каждый диагональный элемент B с его абсолютным значением и заменяет каждый off-диагональный элемент отрицательным от наибольшего абсолютного значения off-диагональных элементов в одной строке.

Если B является треугольным, тогда A = gallery('compar',B,1) также треугольный.

A = gallery('condex',n,k,alpha) возвращает матрицу контрпримера в оценщик числа обусловленности. Он принимает скалярный параметр alpha (по умолчанию 100) и возвращает матрицу размера n-by- n.

Матрица, ее естественный размер и оценка, к которой она применяется, заданы k.

Если n не равен натуральному размеру матрицы, затем матрица заполняется тождествами матрицей в порядок n.

A = gallery('cycol',n,k) возвращает n-by- n матрица с циклически повторяющимися столбцами, где один цикл состоит из столбцов, заданных как randn(n,k). Таким образом, ранг матричных A не может превышать k, и k должно быть скаляром. Аргументы в k является скаляром со значением по умолчанию round(n/4)и ему не нужно равномерно делиться n.

A = gallery('cycol',[m n],k) возвращает m-by- n матрица с циклически повторяющимися столбцами, где один цикл состоит из столбцов, заданных как randn(m,k).

A = gallery('dorr',n,theta) возвращает матрицу Дорра, которая является n-by- n, строка по диагонали доминирующая, тридиагональная матрица, которая плохо обусловлена для малых неотрицательных значений theta. Значение по умолчанию theta является 0.01.

[v1,v2,v3] = gallery('dorr',n,alpha) возвращает векторы, которые задают матрицу Дорра. Сама матрица Дорра аналогична gallery('tridiag',v1,v2,v3).

A = gallery('dramadah',n,k) возвращает n-by- n матрица 0и 1. n и k должны быть оба скаляров. Для k = 0 и 1, mu(A) = norm(inv(A),'fro') относительно большой, хотя и не обязательно максимальный [2]. Аргументы в k определяет символ выходной матрицы, как указано ниже.

A = gallery('fiedler',x), где x - длина n вектор, возвращает n-by- n симметричная матрица с элементами A(i,j) = abs(x(i)-x(j)). Для скалярных x, A = gallery('fiedler',1:x).

Матричные A имеет доминирующее положительное собственное значение, и все другие собственные значения отрицательны.

Явные формулы для inv(A) и det(A) приведены в [3] и приписываются Фидлеру. Эти формулы указывают, что inv(A) является тридиагональным, за исключением ненулевого (1,n) и (n,1) элементы.

A = gallery('forsythe',n,alpha,lambda) возвращает n-by- n матрица, равная матрице Жордана с собственным значением lambda, кроме того A(n,1) = alpha. Значения по умолчанию для скаляров alpha и lambda являются sqrt(eps) и 0, соответственно.

Характеристический полином A задается det(A-t*I) = (lambda-t)^n - alpha*(-1)^n.

A = gallery('frank',n,k) возвращает матрицу Франка размера n-by- n для значения по умолчанию k = 0. Матрица Франка является верхней матрицей Хессенберга с определяющим 1. Если k = 1, элементы отражаются вокруг антидиагональной, (1,n), (2,n-1), …, (n,1).

Собственные значения A может быть получен в терминах нулей многочленов Эрмита. Они положительны и происходят в взаимных парах.

Если n нечетно, тогда 1 является собственным значением.

Наименьшая половина собственных значений или наименьшая floor(n/2) собственные значения, плохо обусловлены.

A = gallery('gcdmat',n) возвращает n-by- n матрица с A(i,j) равно gcd(i,j).

Матричные A симметрично положительно определено, и A.^r симметричный положительный полуопределенный для всех неотрицательных r.

A = gallery('gearmat',n,i,j) возвращает n-by- n матрица с 1на поддиагональной и сверхдиагональной, sign(i) в (1,abs(i)) положение, sign(j) в (n,n+1-abs(j)) положение и 0где бы то ни было. Аргументы i и j по умолчанию это n и -n, соответственно. Они должны быть целыми числами в области значений -n на n.

Матричные A сингулярна, может иметь двойные и тройные собственные значения и может быть дефектной.

Все собственные значения имеют вид 2 * cos (a), а собственные векторы имеют вид [sin (w + a), sin (w + 2 a),..., sin (w + n a)], где a и w приведены в [4].

A = gallery('grcar',n,k) возвращает n-by- n Матрица Теплица с -1на поддиагонали, 1на основной диагонали, и 1включен k диагонали выше основной диагонали. k должно быть целым числом, а значение по умолчанию k = 3. A имеет собственные значения, которые чувствительны к возмущению.

A = gallery('hanowa',n,alpha) возвращает 2-by- 2 блочная матрица с четырьмя n/2-by- n/2 блоки формы:

[alpha*eye(n/2) -diag(1:n/2)
diag(1:n/2)     alpha*eye(n/2)]

Аргументы в n должно быть четным целым числом. Значение по умолчанию alpha является -1. A имеет сложные собственные значения вида alpha ± k*i, для 1 <= k <= n/2.

[v,beta] = gallery('house',x) принимает x, скаляром или n-элементный вектор-столбец и возвращает v и beta таким образом H = eye(n) - beta*v*v' является матрицей Housholder. Матрица Домохозяина H удовлетворяет свойству

H*x = -sign(x(1))*norm(x)*e1 

где e1 - первый столбец eye(n).

Обратите внимание, что если x комплексно, тогда sign(x) = exp(i*arg(x)), что равно x./abs(x) когда x является ненулевым. Если x равен нулю, тогда v равен нулю и beta = 1.

[v,beta,s] = gallery('house',x,k) принимает x, an n-элементный вектор-столбец и возвращает v и beta таким образом H*x = s*e1. В этом выражении e1 - первый столбец eye(n), abs(s) = norm(x), и H = eye(n) - beta*v*v' является матрицей Housholder.

k определяет знак s как указано ниже.

Если x равен нулю, или если x = alpha*e1 (alpha >= 0) и любое из них k = 1 или k = 2, затем v равен нулю, beta = 1, и s = x(1). В этом случае H = eye(n) является матрицей тождеств, которая не является строго матрицей Housholder.

A = gallery('integerdata',imax,[m,n,...],k) возвращает m-by- nоколо-... массивы направленности A значения которых являются выборкой из равномерного распределения по целым числам 1:imax. k является случайным seed и должно быть целым значением в интервале [0,2^32-1]. Вызывающие gallery('integerdata',...) с различными значениями k возвращает различные массивы. Повторные вызовы в gallery('integerdata',...) с тем же imax, вектор размера и k всегда возвращает тот же массив.

При любом вызове gallery('integerdata',...) можно подставить отдельные входы m,n,... для входного параметра вектора размера [m,n,...]. Для примера, gallery('integerdata',7,[1,2,3,4],5) эквивалентно gallery('integerdata',7,1,2,3,4,5).

A = gallery('integerdata',[imin imax],[m,n,...],k) возвращает m-by- nоколо-... массивы направленности A значения которых являются выборкой из равномерного распределения по целым числам imin:imax.

[A1,A2,...,Am] = gallery('integerdata',[imin imax],[m,n,...],k) возвращает несколько m-by- nоколо-... массивы A1, A2..., Am содержащие различные значения.

[A1,A2,...,Am] = gallery('integerdata',[imin imax],[m,n,...],k,typename) создает массивы с элементами типа typename. typename должен быть 'double' (по умолчанию), 'single', 'uint8', 'uint16', 'uint32', 'int8', 'int16', или int32'.

A = gallery('invhess',x,y), где x - длина n вектор и y - длина n-1 вектор, возвращает матрицу с элементами A(i,j) = x(j) если i <= j, и A(i,j) = y(i) в противном случае. Нижний треугольник A основан на векторе x, и строгий верхний треугольник основан на y. Аргументы в y по умолчанию является -x(1:n-1).

Для скалярного n, gallery('invhess',n) то же, что и gallery('invhess',1:n).

Матрица A является несингулярным, если x(1) ~= 0 и x(i+1) ~= y(i) для всех i.

Обратная A является верхней матрицей Хессенберга.

A = gallery('invol',n) возвращает n-by- n инволюторная матрица, где A*A = eye(n) и A является плохо обусловленной. Это диагонально масштабируемая версия hilb(n).

Матрицы B = (eye(n)-A)/2 и B = (eye(n)+A)/2 являются идемпотентными, где B*B = B.

[A,beta] = gallery('ipjfact',n,k) возвращает n-by- n Матрица Ханкеля A и его определяющий beta, что известно явно. Обратная A также известно явным образом.

Если k = 0 (по умолчанию), затем элементы A являются A(i,j) = factorial(i+j). Если k = 1, затем элементы A являются A(i,j) = 1/factorial(i+j).

A = gallery('jordbloc',n,lambda) возвращает n-by- n Матрица Жордана с собственным значением lambda. Значение по умолчанию для lambda является 1.

A = gallery('kahan',n,theta,pert) возвращает верхнюю трапецию матрицы, которая имеет интересные свойства в отношении оценки условия и ранга. Например, матрица Каана иллюстрирует, что использование простого в столбце QR-разложения может не дать хорошую оценку ранга матрицы.

Если n является двухэлементным вектором, тогда A является n(1)-by- n(2); в противном случае A является n-by- n. Полезная область значений theta является 0 < theta < pi, со значением по умолчанию 1.2.

Чтобы убедиться, что QR-факторизация с поворотом столбца не меняет столбцы при наличии ошибок округления, главная диагональ возмущается pert*eps*diag([n:-1:1]). Значение по умолчанию pert является 1e3, что не обеспечивает никаких взаимозамен для gallery('kahan',n) по крайней мере, до n = 100 в IEEE^® арифметика (для значения по умолчанию theta = 1.2).

A = gallery('kms',n,rho) возвращает n-by- n Матрица Каца-Мердока-Сегё Теплица такая, что A(i,j) = rho^(abs(i-j)) для реальных rho. Для сложных rhoэта же формула имеет место за исключением того, что элементы ниже диагонали сопряжены. rho значение по умолчанию 0,5.

Существует LDL-разложение A с L = inv(gallery('triw',n,-rho,1))', и D = (1-abs(rho)^2)*eye(n), кроме первого элемента D является D(1,1) = 1.

A положительно определено тогда и только тогда, когда 0 < abs(rho) < 1.

Обратное inv(A) является тридиагональным.

A = gallery('krylov',B,x,k) возвращает матрицу Крылова, где B является n-by- n матрица, x - вектор с длиной n, и k должно быть целым числом. Матрица Крылова равна

[x, B*x, B^2*x, ..., B^(k-1)*x]

для вектора-столбца x. Если вы не задаете аргументы x и k, они берут значения по умолчанию x = ones(n,1) и k = n.

A = gallery('krylov',n) для скалярного n то же, что и gallery('krylov',B) с B = randn(n).

A = gallery('lauchli',n,mu) возвращает (n+1)-by- n матрица вида [ones(1,n); mu*eye(n)]. Аргументы в mu по умолчанию является sqrt(eps).

Матрица Лаухли является хорошо известным примером в наименьших квадратах и других задачах, который показывает опасность формирования A'*A при решении уравнения $$A^{T}A\widehat{x}=A^{T}b$$. Матрица A'*A в целом более чувствителен к ошибкам округления, чем начальная матрица A.

A = gallery('lehmer',n) возвращает симметричное положительное определенное n-by- n матрица такая, что A(i,j) = i/j для j >= i и A(i,j) = j/i в противном случае.

A полностью неотрицательна.

Обратное inv(A) является тридиагональным и явно известным.

The порядка <reservedrangesplaceholder0> удовлетворяет n <= cond(A) <= 4*n*n.

A = gallery('leslie',x,y) является n-by- n матрица из модели населения Лесли со средними числами рождений x(1:n) и показатели выживания y(1:n-1). Элементы матрицы в основном равны нулю, кроме первой строки, которая содержит x(i) и первую поддиагональную, которая содержит y(i). Для действительной модели элементы x неотрицательны, и элементы y положительны и ограничены 1, где 0 < y(i) <= 1.

A = gallery('leslie',n) генерирует матрицу Лесли с x = ones(n,1) и y = ones(n-1,1).

A = gallery('lesp',n) возвращает n-by- n матрица, собственные значения которой действительны и плавно распределены в интервале [-2*n-3.5,-4.5].

Чувствительность собственных значений увеличивается экспоненциально, когда собственные значения становятся более отрицательными.

Матрица подобна симметричной тридиагональной матрице B с теми же диагональными элементами и с off-diagonal входами 1 посредством преобразования подобия A = inv(D)*B*D, где D = diag(factorial(1:n)).

A = gallery('lotkin',n) возвращает Гильбертову матрицу с первой строкой, измененной на все 1.

Матрица Лоткина A является несимметричным, плохо обусловленным и имеет много отрицательных собственных значений малой величины.

Его обратная переменная имеет целочисленные значения и известна явно [5].

A = gallery('minij',n) возвращает n-by- n симметричная положительно определенная матрица с записями A(i,j) = min(i,j).

A имеет собственные значения 0.25*sec(r*pi/(2*n+1)).^2, где r = 1:n.

Обратное inv(A) является тридиагональным и равным -1 умножить на вторую матрицу различий, за исключением ее (n,n) элемент 1.

Матрица 2*A-ones(size(A)) имеет тридиагональную обратную и собственные значения 0.5*sec((2*r-1)*pi/(4*n)).^2, где r = 1:n.

A = gallery('moler',n,alpha) возвращает симметричное положительное определенное n-by- n матрица U'*U, где U = gallery('triw',n,alpha). Для значения по умолчанию alpha = -1, A(i,j) = min(i,j)-2, и A(i,i) = i.

Для alpha = -1, одно из собственных значений A является маленьким, который отличается многими порядками величины по сравнению с остальными собственными значениями.

A = gallery('neumann',n) возвращает разреженную n-by- n сингулярная, строковая диагонально доминирующая матрица, возникающая в результате дискретизации задачи Неймана с обычным пятиточечным оператором на регулярной сетке. Аргументы в n должно быть идеальным квадратным целым числом. A разрежен и имеет одномерное ядро с пространством null ones(n,1).

A = gallery('neumann',[m n]) возвращает идентичную матрицу, но с размером m*n-by- m*n. Аргументы m и n должны быть положительными целыми числами, где m должно быть больше 1.

A = gallery('normaldata',[m,n,...],k) возвращает m-by- nоколо-... массивы направленности A. Элементы A являются случайной выборкой чисел из стандартного нормального распределения. k является случайным seed и должно быть целым значением в интервале [0, 2^32-1]. Вызывающие gallery('normaldata',...) с различными значениями k возвращает различные массивы. Повторные вызовы в gallery('normaldata',...) с тем же вектором размера [m,n,...] и то же значение k всегда возвращает тот же массив.

При любом вызове gallery('normaldata',...) можно подставить отдельные входы m,n,... для входного параметра вектора размера [m,n,...]. Для примера, gallery('normaldata',[1,2,3,4],5) эквивалентно gallery('normaldata',1,2,3,4,5).

[A1,A2,...,Am] = gallery('normaldata',[m,n,...],k) возвращает несколько m-by- nоколо-... массивы A1, A2..., Am содержащие различные значения.

[A1,A2,...,Am] = gallery('normaldata',[m,n,...],k,typename) создает массивы с элементами типа typename. typename должно быть либо 'double'(по умолчанию) или 'single'.

A = gallery('orthog',n,k) возвращает kПервый тип матрицы порядок <reservedrangesplaceholder0>, где k > 0 возвращает точно ортогональные матрицы и k < 0 возвращает различные диагональные масштабирования ортогональных матриц.

A = gallery('parter',n) возвращает матрицу A таким образом A(i,j) = 1/(i-j+0.5).

A является матрицей Коши и Теплица.

Большинство сингулярных значений A очень близки к pi.

A = gallery('pei',n,alpha), где alpha является скаляром, возвращает симметричную матрицу alpha*eye(n) + ones(n). Значение по умолчанию для alpha является 1. Матрица сингулярна для alpha равны любому из 0 или -n.

A = gallery('poisson',n) возвращает разреженную блоком трехугольную матрицу порядка <reservedrangesplaceholder0> в результате дискретизации уравнения Пуассона оператором с 5 точками на n-by- n mesh.

A = gallery('prolate',n,alpha) возвращает n-by- n проляция матрицы параметром alpha. Это симметричная, плохо обусловленная матрица Теплица. Если 0 < alpha < 0.5, затем A положительно определено.

Собственные значения A отличаются, лежат в интервале (0,1)и, как правило, объединяются вокруг 0 и 1.

Значение по умолчанию w составляет 0,25.

A = gallery('randcolu',n) генерирует случайный n-by- n матрица с нормированными столбцами модуля 2-норма и случайными сингулярными значениями от равномерного распределения.

A'*A является корреляционной матрицей подобной формы, произведенной gallery('randcorr',n). Собственные значения последних распределены равномерно, в то время как для первых квадратные корни собственных значений распределены равномерно.

A = gallery('randcolu',x), где x является вектором длины n (n > 1), создает случайное n-by- n матрица с сингулярными значениями, заданными вектором x. Векторная x должны иметь неотрицательные элементы, сумма квадратов которых n. Эта матрица также имеет нормированные столбцы модуля 2-нормы.

A = gallery('randcolu',__,m), где m >= n, создает m-by- n матрица.

A = gallery('randcolu',__,m,k) предоставляет дополнительные опции, основанные на k.

A = gallery('randcorr',n) является случайным n-by- n матрица корреляции со случайными собственными значениями из равномерного распределения. Матрица корреляции является симметричной положительной полуопределенной матрицей с 1на диагонали.

A = gallery('randcorr',x) производит матрицу случайной корреляции с собственными значениями, заданными вектором x, где length(x) > 1. Векторная x должны иметь неотрицательные элементы, сумма которых length(x).

A = gallery('randcorr',x,k) предоставляет дополнительные опции, основанные на k.

A = gallery('randhess',n) возвращает n-by- n вещественная, случайная, ортогональная верхняя матрица Хессенберга.

A = gallery('randhess',x) создает A непередаваемое использование элементов x как параметры. x должен быть вектор действительных чисел с длиной n, где n > 1.

В обоих случаях матричные A построен из продукта n-1 Вращений Givens.

A = gallery('randjorth',n) создает случайную n-by- n J-ортогональная матрица A который удовлетворяет отношению A'*J*A = J (такие матрицы также известны как гиперболические). Здесь, J = blkdiag(eye(ceil(n/2)),-eye(floor(n/2))), и cond(A) = sqrt(1/eps).

A = gallery('randjorth',n,m), для положительных целых чисел n и m, создает случайный (n+m) -by- (n+m) J-ортогональная матрица A. Здесь, J = blkdiag(eye(n),-eye(m)), и cond(A) = sqrt(1/eps).

A = gallery('randjorth',n,m,alpha,symm,method)

использует следующие необязательные входные параметры:

A = gallery('rando',n,k) возвращает случайное n-by- n матрица. Входной параметр k определяет элементы матрицы из одного из следующих дискретных распределений.

A = gallery('rando',[n m],k) возвращает случайное n-by- m матрица.

A = gallery('randsvd',n,kappa,mode,kl,ku) возвращает полосчатую (мультидиагональ) случайную матрицу порядка <reservedrangesplaceholder0> с числом обусловленности cond(A) = abs(kappa), который должен быть больше или равен 1. Если n является двухэлементным вектором, A имеет размер n(1)-by- n(2).

Значение по умолчанию kappa является sqrt(1/eps). Режим распределения mode определяет сингулярные значения матрицы.

Аргументы kl и ku задайте количество нижних и верхних задних диагоналей в A, соответственно. Если они опущены, создается полная матрица с kl = n-1 и ku = kl. Если только kl присутствует, ku по умолчанию является kl.

Доступные значения mode перечислены ниже.

В особом случае kappa <= 1, A - симметричная, положительно определенная матрица со cond(A) = -kappa и собственные значения, распределенные согласно mode. В этом случае аргументы kl и ku игнорируются.

A = gallery('randsvd',n,kappa,mode,kl,ku,method) определяет, как выполняются расчеты для генерации тестовой матрицы. method = 0 является значением по умолчанию, в то время как method = 1 использует альтернативный метод для вызова qr это намного быстрее для больших размерностей, хотя это использует больше операций с плавающей точкой в секунду.

A = gallery('redheff',n) возвращает n-by- n матрица 0и 1определяется как A(i,j) = 1, если j = 1 или если i делит j, и A(i,j) = 0 в противном случае.

A имеет n-floor(log2(n))-1 собственных значений, которые равны 1.

A имеет действительное собственное значение (и его спектральный радиус), которое приблизительно sqrt(n).

A имеет отрицательное собственное значение, которое приблизительно -sqrt(n).

Оставшиеся floor(log2(n))-1 собственные значения имеют относительно небольшие модули, которые лежат внутри круга $${\text{log}}_{2-\epsilon }n$$, для ε > 0 и достаточно большие n.

Гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда $$\left|\det (A)\right|=O(n^{1/2+\epsilon })$$ для каждого ε > 0.

Барретт и Джарвис догадываются, что floor(log2(n)) из малых собственных значений находятся внутри модуля круга abs(z) = 1. Доказательство этой догадки, вместе с доказательством того, что некоторые собственные значения имеют тенденцию к нулю как n имеет тенденцию к бесконечности, даст новое доказательство теоремы о простых числах [7].

A = gallery('riemann',n) возвращает n-by- n матрица, для которой гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда

для каждого ε > 0 [8].

Матрица Римана определяется A = B(2:n+1,2:n+1), где B(i,j) = i-1 если i делит j, и B(i,j) = -1 в противном случае.

Каждое собственное значение e(i) удовлетворяет abs(e(i)) <= m-1/m, где m = n+1.

Собственные значения также удовлетворяют i <= e(i) < i+1, самое большее с m-sqrt(m) исключения.

Все целые числа в интервале (m/3,m/2] являются собственными значениями.

A = gallery('ris',n) возвращает симметричное n-by- n Матрица Ханкеля с элементами A(i,j) = 0.5/(n-i-j+1.5). Собственные значения A кластер вокруг π/2 и - π/2.

A = gallery('sampling',x), где x является вектором длины n, возвращает n-by- n несимметричная матрица. Элементы матрицы A(i,j) = x(i)/(x(i)-x(j)) для i ~= j и A(j,j) равен сумме недиагональных элементов в столбце j. Если x является скаляром, тогда A = gallery('sampling',1:x).

A имеет целочисленные собственные значения 0:n-1 которые плохо обусловлены.

Для собственных значений 0 и n-1, соответствующие собственные векторы x и ones(n,1), соответственно.

A имеет свойство, которое A(i,j) + A(j,i) = 1 для i ~= j.

Явные формулы доступны для левых собственных векторов A.

Частный случай этой матрицы появился в теории дискретизации, где ее правые собственные векторы, если они правильно нормализованы, дают вероятности включения условного проекта выборки Пуассона [9].

A = gallery('smoke',n) возвращает n-by- n матрица с 1находится на супердиагонали и 1 в (n,1) положение. Диагональ состоит из множества всех nпервые корни единства.

A = gallery('smoke',n,1) возвращает то же, что и выше, за исключением того, что элемент A(n,1) равен нулю.

Собственные значения gallery('smoke',n,1) являются ли nпервые корни единства.

Собственные значения gallery('smoke',n) являются ли nПервые корни времени единства 2^(1/n).

Псевдоспектр матричной A может быть вычислен путем нахождения минимального сингулярного значения матричной zI - A в комплексной плоскости. Здесь z представляет точки в комплексной плоскости, а I является матрицей тождеств. Псевдоспектров gallery('smoke',n) и gallery('smoke',n,1) иметь «звонок дыма» шаблонов около собственных значений.

A = gallery('toeppd',n,m,x,theta) возвращает n-by- n симметричная матрица Теплица, составленная из суммы m Матрицы Теплица (с рангом 1 или 2). x и theta являются векторами длины m. Матрица A положительно определено, если все элементы x положительны. В частности, A сгенерирован

A = x(1)*T1 + ... + x(k)*Tk + ... + x(m)*Tm

где Tk является n-by- n матрица, которая зависит от theta(k). Элементы Tk являются Tk(i,j) = cos(2*pi*theta(k)*(i-j)).

По умолчанию m = n, x = rand(m,1), и theta = rand(m,1).

A = gallery('toeppen',n,a,b,c,d,e) возвращает n-by- n разреженная пятиугольная матрица Теплица с элементами: a на второй диагонали ниже основной диагонали, b на поддиагонали, c на основной диагонали, d на супердиагонали, и e на второй диагонали выше основной диагонали, где a, b, c, d, и e являются скалярами.

По умолчанию (a,b,c,d,e) = (1,-10,0,10,1), получая матрицу, которая была первоначально введена Рутисхаузером [10]. Эта матрица имеет собственные значения, лежащие приблизительно на кривой 2*cos(2*t) + 20*i*sin(t) в комплексной плоскости.

A = gallery('tridiag',n) возвращает разреженную трехугольную матрицу размера n-by- n с поддиагональными элементами -1, диагональные элементы 2, и сверхдиагональные элементы -1. Эта матрица имеет собственные значения 2 + 2*cos(k*pi/(n+1)), где k = 1:n.

Сгенерированная матрица является симметричной положительно определенной M-матрицей с действительными неотрицательными собственными значениями. Эта матрица также является отрицательной для второй матрицы различий.

A = gallery('tridiag',c,d,e) возвращает тридиагональную матрицу с поддиагональной c, диагональные d, и сверхдиагональные e задается векторами c, d, и e. Длина векторов c и e должен быть length(d)-1.

A = gallery('tridiag',n,c,d,e), где c, d, и e все скаляры, приводит к тридиагональной матрице Теплица размера n-by- n с поддиагональными элементами c, диагональные элементы d, и сверхдиагональные элементы e. Эта матрица имеет собственные значения d + 2*sqrt(c*e)*cos(k*pi/(n+1)), где k = 1:n.

A = gallery('triw',n,alpha,k) возвращает верхнюю треугольную матрицу с 1 на диагонали и alphaна первом k >= 0 супердиагонали. По умолчанию alpha = -1, и k = n-1.

The порядка <reservedrangesplaceholder0> может быть вектором с 2 элементами, в этом случае матрица n(1)-by- n(2) и верхнюю трапецию.

Для alpha = 2, число обусловленности матрицы удовлетворяет:

cond(gallery('triw',n,2)) = cot(pi/(4*n))^2,

Для больших abs(alpha), cond(gallery('triw',n,alpha)) приблизительно abs(alpha)^n*sin(pi/(4*n-2)).

Матрица A = gallery('triw',n) становится сингулярным, когда вы добавляете -2^(2-n) к своему (n,1) элемент. Матрица также становится сингулярной, когда вы добавляете -2^(1-n) к его элементам в первом столбце.

A = gallery('uniformdata',[m,n,...],k) возвращает m-by- nоколо-... массивы направленности A. Элементы A являются случайной выборкой чисел из стандартного равномерного распределения. k является случайным seed и должно быть целым значением в интервале [0, 2^32-1]. Вызывающие gallery('uniformdata',...) с различными значениями k возвращает различные массивы. Повторные вызовы в gallery('uniformdata',...) с тем же вектором размера [m,n,...] и то же значение k всегда возвращает тот же массив.

При любом вызове gallery('uniformdata',...) можно подставить отдельные входы m,n,... для входного параметра вектора размера [m,n,...]. Для примера, gallery('uniformdata',[1,2,3,4],5) эквивалентно gallery('uniformdata',1,2,3,4,5).

[A1,A2,...,Am] = gallery('uniformdata',[m,n,...],k) возвращает несколько m-by- nоколо-... массивы A1, A2..., Am содержащие различные значения.

[A1,A2,...,Am] = gallery('uniformdata',[m,n,...],k,typename) создает массивы с элементами типа typename. typename должно быть либо 'double' (по умолчанию) или 'single'.

A = gallery('wathen',nx,ny) возвращает разреженный, случайный, n-by- n матрица конечных элементов, где n = 3*nx*ny + 2*nx + 2*ny + 1.

Матричные A является именно «последовательной большой матрицей» для регулярной nx-by- ny сетка из 8-узловых (serendipity) элементов в двух размерностях. A симметрично, положительно определено для любых (положительных) значений «плотности» rho(nx,ny), который выбирается случайным образом.

B = gallery('wathen',nx,ny,1) возвращает диагонально масштабированную матрицу, основанную на предыдущем синтаксисе, где B = diag(diag(A))\A. Собственные значения этой матрицы удовлетворяют

0.25 <= eig(B) <= 4.5

для любых положительных целых чисел nx и ny и любые плотности rho(nx,ny).

[U,b] = gallery('wilk',3) возвращает верхнюю треугольную систему U*x = b иллюстрирует неточное решение.

[L,b] = gallery('wilk',4) возвращает нижнюю треугольную систему L*x = b, что плохо обусловлено.

A = gallery('wilk',5) возвращает симметричную положительно определенную матрицу A = B(1:5,2:6)*1.8144, где B = hilb(6).

A = gallery('wilk',21) возвращает W21+, тридиагональная матрица с парами почти одинаковых собственных значений. Для получения дополнительной информации см. раздел [11].